Una tortuga en los juegos olímpicos

La paradoja de Aquiles y la tortuga se debe a Zenón de Elea. Este filósofo del siglo V a.c., defensor de las ideas de Parménides propuso una serie de paradojas en las que negaba la posibilidad del movimiento. A la más famosa (la de Aquiles y la tortuga) se referirá Borges en dos breves ensayos: “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” y “Avatares de la tortuga”. Dada la importancia que da Savater a la obra de Borges hubiera sido divertido titular este capítulo “Savateres de la tortuga”, sin embargo he creído que dado que los juegos olímpicos proceden de Grecia, no era incongruente hacer correr a la tortuga en uno de ellos. Lo primero sería la exposición de las paradojas de Zenón. Lsa primera de ellas es la de la . Dicotomía. Carl B. Boyer, en su "Historia de la matemática" la expone así:

“La primera arfirma que antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero aún antes de recorrer ésta deberá recorrer el primer cuarto de la distancia inicial, y antes aún el octavo, y así indefinidamente a través de una cantidad infinita de subdivisiones. El corredor que quiere iniciar su carrera debe realizar un número infinito de etapas sin ninguna primera en un tiempo finito; pero es obviamente imposible agotar una colección infinita y, por tanto, el mismísimo comienzo del movimiento es imposible”

La segunda de las paradojas ––la que utilizará Borges–– es la de Aquiles y la tortuga.

“La segunda de las paradojas es parecida a la primera, salvo que ahora la subdivisión indefinida es en sentido progresivo en vez de regresivo; aquí nos encontramos a Aquiles ‘el de los pies ligeros’ compitiendo en una carrera con una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial, y en la paradoja se trata de demostrar que Aquiles, por muy velozmente que corra, no podrá alcanzar ni, por supuesto, adelantar nunca a la tortuga, por muy El lenguaje de las matemáticaslentamente que ésta se mueva. Pues para cuando Aquiles haya alcanzado la posición inicial de la tortuga, ésta habrá avanzado alguna distancia aunque sea pequeña, y cuando Aquiles haya recorrido esta distancia, la tortuga habrá avanzado algo más lejos, y así el proceso continúa indefinidamente, con el resultado de que el veloz Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga”.

No es la única paradoja de Zenón que trata, ya que se refiere en el poema “Cosas” del libro El oro de los tigres al

“Instante en que la flecha del eleata
Inmóvil en el aire da en el blanco”

“En la Flecha sostiene Zenón que un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo, y que lo que siempre ocupa un lugar igual a sí mismo no puede estar en movimiento; por lo tanto, la flecha está en reposo en todos los ionstantes durante su vuelo, luego su movimiento no es más que una ilusión”.

Quienquiera saber la paradoja del Estadio que consulte a Carl B. Boyer,(Historia de la matemática, Alianza Universidad) pags. 109 y 110. Con lo expuesto ya tenemos bastante para lo que me interesa en este caso.

Borges da una solución a la segunda paradoja de Zenón. Suponiendo que Aquiles está a 10 metros de la tortuga y que ésta avanza 10 veces más lento que Aquiles, Aquiles avanza 10 metros, la tortuga un metro. Aquiles avanza un metro, la tortuga la décima parte de un metro. Aquiles avanza la décima parte de un metro, la tortuga avanza un centímetro. La solución, es decir, el punto en que Aquiles alcanza a la tortuga es la suma de la serie 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000, es decir 1,1111111111...

Borges relaciona la crítica aristotélica al argumento de Zenón con su “argumento del tercer hombre”.

“Aristóteles interroga si los muchos hombre y el Hombre ––los individuos temporales y el Arquetipo–– tienen atributos comunes. Es notorio que sí; tienen los atributos generales de la humanidad. En ese caso, afirma Aristóteles, habrá que postular otro arquetipo que los abarque a todos y después un cuarto”

Borges atribuye a un tal Patricio de Azcárate esta versión, quizá más clara:

“Si lo que se afirma de muchas cosas a la vez es un ser aparte, distinto de las cosas que se afirma (y esto es lo que pretenden los platonianos), es preciso que haya un tercer hombre. Es una denominación que se aplica a los individuos y a la idea. Hay, pues, un tercer hombre distinto de los hombres particulares y de la idea. Hay al mismo tiempo un cuarto que estará en la misma relación con éste y con la idea de los hombres particulares; después un quinto y así hasta el infinito”

Éste argumento, que puede parecer un tanto sofisticado y hasta traído por los pelos se parece a una nueva paradoja que inventará Lewis Carrol, una nueva variación sobre el tema de Aquiles y la tortuga. Douglas Hoftstadter dedicará una parte de su libro tanto a la paradoja original de Zenón como a la de Lewis Carrol. De hecho, buena parte de su libro consiste en supuestos diálogos de Aquiles y la tortuga sobre temas de filosofía o de la matemática moderna. Curiosamente, Borges, en su libro, cita también la paradoja de Lewis Carrol. La Enciclopedia Oxford de Filosofía es poco misericordiosa con Lewis Carrol:

“Llegado en las postrimerías del agonizante programa de la lógica aristotélica, sus contribuciones a la lógica formal son inevitablemente insignificantes, residiendo su único valor perdurable en el testimonio de su inimitable talento para diseñar silogismos extraordinarios. El artículo filosóficamente más importante de Carrol es característicamente el original y engañosamente luminoso “What the tortoise said to Achiles” [Lo que la tortuga le dijo a Aquiles} publicado en Mind (1895). En él plantea un serio problema acerca de la epistemología de la inferencia válida, demostrando que la aceptación de una regla de inferencia no puede ser identificada con la aceptación de una proposición condicional”.

El diálogo es, efectivamente, típico de Lewis Carrol, tanto que casi podría aparecer en Alicia en en el país de las maravillas. Empieza con Aquiles subido en el caparazón de la tiortuga después de haber completado su carrera. El diálogo comienza con el planteamiento de dos premisas y una conclusión

A)Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
B)Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
Z)Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.


Entonces, para demostrar z, la tortuga alega que es necesario aceptar primero una nueva premisa.

C)Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.

Pero si el hecho de que A , B y C sean verdaderas hace verdadero Z, la tortuga añade que antes de hacer la inferencia se debe presuponerAvatar lo siguiente:

D) Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.

Pero antes de admitir esto habría que admitir otra proposición:

E)Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera.

La tortuga añade “Hasta que yo haya admitido eso es claro que no tengo por qué admitir Z. De modo que se trata de un paso totalmente necesario. ¿Lo ve usted?”

Como se puede observar, la paradoja se parece mucho a la paradoja aristotélica mencionada por Borges y, en este contexto, no es extraño que el argentino citara la de Lewis Carrol.

Otro autor que habla de las paradojas de Zenón es Keith Devlin en su libro El lenguaje de las matemáticas. Hablando de la paradoja, Keith Devlin dice que

“el rompecabezas de Zenón es una paradoja genuina si se considera el espacio como atómico, consistente en una multiplicidad de puntos adyacentes, y el tiempo como formado por una sucesión de instantes discretos”.

Me parece dudoso que sea una “paradoja genuina”, si por esto se entiende una contradicción real. En el mundo real, Aquiles no tiene ningún problema para alcanzar a la tortuga. Además, el tiempo y el espacio podrían ser discretos, No está nada claro que no haya una unidad mínima de materia. Otra cosa es que para explicar el movimiento en el mundo real nos basta con la idealización de los llamados números “reales”.

Keith Devlin utiliza para refutar la paradoja de Aquiles y la tortuga la misma serie infinita de Borges.

S = 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...

Pero añade la idea de multiplicar la serie por 10.

10 S = 100 +10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...

A continuación hace la operación siguiente:

“Si ahora se resta la primera identidad de esta segunda, todos los términos de la parte de la derecha se cancelan por pares, con excepción del 100 inicial de la segunda serie”

Devlin llega al mismo resultado que habíamos obtenido más atrás mediante las siguientes operaciones:

10 S – S = 100
9S = 100
S= 100/9 = 11 1/9

Que coincide con el resultado que dábamos más arriba ya que 100/9 = 11.1111111111...

La teoría es una de las más fértiles ideas del pensamiento humano. En términos de cálculo infinitesimal, la paradoja de Zenón es, simplemente, la de una serie infinita de números cuya suma es finita (una serie convergente). Los descubrimientos de Leibniz y Newton (y más tarde Cauchy y Weierstrass) hacen que ya no nos maraville esta antigua paradoja. Cuando calculamos una integral, dividimos el área bajo una curva en infinitos rectángulos. El infinito, que alguna vez estremeció a los filósofos, hoy sólo nos sirve como un artificio del cálculo.