Toda obra de arte es una combinación de elementos discretos. En el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel” aparece la idea de una biblioteca de todos los libros posibles, bajo la forma de variaciones con repetición de todos los signos del alfabeto.
Todos los cuadros se pueden reducir a una colección de píxels coloreados, q ue puede codificarse mediante números enteros.
Igualmente, una obra musical puede reducirse a una curva continua, o a un conjunto discreto de unos y ceros codificados en un CD. Una vez, mi vana imaginación inventó la biblioteca de Bach que contenía todos los discos posibles.
En una entrada anterior me preguntaba si se podría hallar por azar en la biblioteca el Canon de Pachelbel. La respuesta es que no. Martin Gardner se pregunta si puede existior un algoritmo que discrimine cuales son las grandes composiciones.
En 1792 se publicó un libro atribuido a Mozart donde se mostraba un método de componer mediante tiradas de dados tantos valses como se quieran. El sistema permite componer 11^14 valses de inequívoco sabor mozartiano.
Con losd ordenadores actuales se puede escribir obras musicales en el estilo de Chopin, aunque probablemente no serán obra maestras. Paradójicamente, resulta más difícil comnponer una melodía popular con gancho. Como dice Martin Gardner "La música contemporámnea está tan llena “de aleatoriedad y disonancia que uno duda si repetir lo que dijera Mark Twain de la música de Wagner: es mejor de lo que suena."
Se han construido programas de ordenador que producen combinatoriamente textos de filosofía postmoderna carentes del menor sentido.
Todavía esperamos que un ordenador produzca algo que pueda competir con Yesterday o con Angie.
martes, 6 de noviembre de 2007
domingo, 8 de julio de 2007
Las máquinas de Turing y el infinito
Existen conjuntos de números que nunca podrán ser generados por una máquina de Turing. Por ejemplo, los subconjuntos de N. El conjunto Partes de N es no numerable mientras que el conjunto de funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo, numerable.
Existen funciones que nunca podremos calcular, por muy avanzados que sean los computadores que usemos.
Las funciones que pueden imaginarse son funciones de N a N. Ahora bien, imaginemos todas las funciones de N a {0,1}. Es evidente que son menos que las funciones de N a N.
Para cada subconjunto X de N hay una función característica:
f(n)=1 si n pertenece a X
f(n)=0 si n no pertenece a X.
Pero los subconjuntos de N forman un conjunto no numerable. Y el conjunto de las funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo numerable. Por tanto, existen funciones que no pueden ser computables.
Por último, existen números reales que nunca podremos generar mediante máquinas de Turing. Veamos, un número real como Pi es computable si existe una máquina de Turing tal que cuando el input es 0 genera la parte entera del número, cuando el input es 1 genera la primera cifra decimal del número, cuando el input es 2 genera la segunda cifra decimal del número, etc. Bien, pues como el número de máquinas de Turing es, a lo sumo, numerable, existen infinitos reales que no son computables.
Todas estas pruebas se basan en la teoría de los números transfinitos de Cantor. Uno de los problemas de la teoría de los números transfinitos es que no es falsable. Por ejemplo, nunca vamos a conseguir un número infinito numerable de máquinas de Turing. Por lo que nunca vamos a comprobar si las pruebas que usan números transfinitos son reales o son una fantasmagoría.
Existen funciones que nunca podremos calcular, por muy avanzados que sean los computadores que usemos.
Las funciones que pueden imaginarse son funciones de N a N. Ahora bien, imaginemos todas las funciones de N a {0,1}. Es evidente que son menos que las funciones de N a N.
Para cada subconjunto X de N hay una función característica:
f(n)=1 si n pertenece a X
f(n)=0 si n no pertenece a X.
Pero los subconjuntos de N forman un conjunto no numerable. Y el conjunto de las funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo numerable. Por tanto, existen funciones que no pueden ser computables.
Por último, existen números reales que nunca podremos generar mediante máquinas de Turing. Veamos, un número real como Pi es computable si existe una máquina de Turing tal que cuando el input es 0 genera la parte entera del número, cuando el input es 1 genera la primera cifra decimal del número, cuando el input es 2 genera la segunda cifra decimal del número, etc. Bien, pues como el número de máquinas de Turing es, a lo sumo, numerable, existen infinitos reales que no son computables.
Todas estas pruebas se basan en la teoría de los números transfinitos de Cantor. Uno de los problemas de la teoría de los números transfinitos es que no es falsable. Por ejemplo, nunca vamos a conseguir un número infinito numerable de máquinas de Turing. Por lo que nunca vamos a comprobar si las pruebas que usan números transfinitos son reales o son una fantasmagoría.
martes, 19 de junio de 2007
"Caos y orden" de Escohotado
Publico esta reseña de un libro ya viejo por dos motivos. El primero es que el libro me parece ejemplificador de cierta actitud de ignorancia y hostilidad hacia la ciencia. El segundo que hace tiempo publiqué una versión reducida de este artículo en una revista, versión de la que no me siento demasiado satisfecho. Con el fin de corregir aquella torpe "versión reducida", publico en mi blog una edición más amplia, en la que tengo el espacio suficiente para discutir con mayor amplitud el libro en sus virtudes y defectos.
1.
La teoría del caos podría definirse en pocas palabras diciendo que en algunos procesos existe una enorme sensibilidad a las condiciones iniciales.
En mi opinión se confunde a los lectores cuando se hace equivaler el caos a aleatoriedad o indeterminismo. Indeterminismo, propiamente dicho, se da en el mundo microscópico de la física cuántica. Pero no está nada claro que este indeterminismo a escala subatómica nos afecte a nosotros (del mismo modo que no afecta excesivamente a la trayectoria de la Tierra la masa de un piojo). Si no es de indeterminismo, ¿de qué se trata entonces? Yo lo llamaría intratabilidad. En teoría de la computación se dice que es intratable un problema tan complejo que el ordenador no tiene capacidad de procesarlo. Muchos problemas colapsarían hasta los más potentes ordenadores. Por ejemplo, un modelo del clima que partiera de la situación de todas y cada una de las moléculas de la atmósfera es un ejemplo de problema intratable.
Para hacer más tratables este tipo de problemas se hace uso de la estadística, con lo que se simplifica mucho, reduciendo el comportamiento independiente de miles de millones de moléculas a una serie de pautas a gran escala. Sin embargo, los modelos a gran escala no pueden captar los pequeños detalles. Y estos pequeños detalles (paradigmáticamente, la mariposa que mueve sus alas en Australia) hacen que, a largo plazo, el modelo predictivo falle. Ésta es la razón por la que los pronósticos meteorológicos para un futuro más allá de cinco días tienden a fallar.
Muchos libros se han escrito en los últimos años acerca del caos. Muchos de ellos son honestos, inteligentes, dan exposiciones sencillas y resultan útiles para entender qué demonios es esa cosa del “caos”.
Quien se acerque al libro de Escohotado con el objetivo de aprender un poco sobre qué es el caos, seguramente, saldrá decepcionado. En general este libro mezcla un montón de cosas que no tienen nada que ver, la teoría del caos y la física cuántica, la crisis de la mecánica newtoniana y la crisis de las sociedades autoritarias, etc.
De entre todas estas mezclas y confusiones, una que me parece fundamental es la confusión entre los aspectos socio-económicos de la ciencia y sus aspectos puramente teóricos.
Dicho con un ejemplo sencillo: un sistema totalitario que (como el imaginado por Orwell en 1984), dedicara una gran inversión a convencer a la gente de que “2 + 2 = 5” quizá podría convencer a alguien de que eso es una verdad científica. Pero, aun así, el que juntara dos manzanas con otras dos manzanas, seguiría teniendo cuatro manzanas.
Escohotado coge ideas de aquí y de allá, con frecuencia alude a observaciones de científicos y, tal vez, cree que con eso está asegurado el rigor.
Cuando dos científicos descalificaron su libro en dos reseñas hostiles, Escohotado se justificó alegando que todo lo que escribe está tomado de autoridades en la materia. Bien, puede ser, pero con un montón de fragmentos de autoridades científicas adecuadamente sacados de contexto y distribuidos en un collage habilidoso se puede construir una teoría irracional, del mismo modo que al alejarse de algunos cuadros de Dalí, la Madonna se transforma en una oreja, o Gala en Abraham Lincoln.
Pero además, parece como si Escohotado ignorara que la ciencia no se hace apelando a autoridades. El científico estudia los fundamentos de la ciencia en un manual y, luego, si se trata de un científico empírico, comprueba lo que ha estudiado mediante prácticas en un laboratorio. Si es un matemático, simplemente, aprende a argumentar de forma lógica a partir de premisas autoevidentes.
Pero Escohotado no hace nada de esto, sino que expone los manjares precocinados de diversos científicos, y los mezcla en un singular plato combinado de producción propia. Es como si cogiera algo de Arzak, otro poco de Berasategui, lo de más allá de Arguiñano, todo mezclado, metido en el microondas y añadiéndole una salsa propia, made in Escohotado.
Por otro lado, las ideas que un científico expone en un libro divulgativo (a diferencia de las que expone en revistas especializadas, dirigidas exclusivamente a sus colegas) son debidamente simplificadas y, con frecuencia, reducidas a un slogan[1].
Escohotado mezcla un montón de cosas, utilizando el caos más como un slogan que como un concepto bien definido. El libro de Escohotado, no sé si define bien el caos, pero, acaso, lo ejemplifica.
2.
Uno de las ideas fundamentales de Escohotado es el paralelismo entre la ciencia y la sociedad. A la física newtoniana corresponde el orden teocrático. A la teoría del caos, el orden democrático.
Esto esconde una falacia. A diferencia de la física cuántica, la teoría del caos no se opone al determinismo de la física newtoniana. El comportamiento del clima o de un fluido son fenómenos explicables en términos de física newtoniana, por más que sean caóticos. Como dice Ian Stewart “el caos es fundamentalmente un concepto de mecánica clásica”.
El caos no es un paradigma alternativo a la mecánica de Newton, sino una extensión de la mecánica newtoniana a fenómenos complejos.
Sin embargo, lo fundamental para Escohotado no es la argumentación científica, sino el aspecto político. Como hemos dicho, Escohotado ve una correlación entre el triunfo la teoría del caos y el auge de los regímenes democráticos.
Escohotado parte de una idea, en algunos aspectos, muy sugestiva: la de que, en ocasiones, a partir de un estado desordenado puede surgir orden.
Esta idea me parece interesante, y en otros lugares la he defendido con el ejemplo de Thomas Huxley, según el cual un mono escribiendo a máquina durante suficiente tiempo acabaría (por puro azar) por escribir el Salmo 24.
Considero necesario insistir en que, por muy raras que sean estas ocasiones, existen momentos en que una estructura compleja surge del puro azar. Sin ir más lejos, la vida.
Sin embargo, Escohotado no utiliza la idea de que en ocasiones surge orden a partir del azar como argumento en una polémica con los creacionistas, sino que lo utiliza para defender una especie de anarcocapitalismo.
El argumento de Escohotado viene a ser el siguiente: el azar siempre crea orden, por tanto, el mercado es siempre superior al control estatal.
Esto es objetable. Por un lado, el azar no siempre crea orden. La mayoría de lo que escribe un mono son series de letras sin ningún sentido.
Por otro lado, el mercado sin una organización estatal, nos llevaría a una lucha de organizaciones mafiosas. Es lo mismo que propugna la trilogía de El padrino de Coppola. Como el estado es corrupto por naturaleza debe dejarse a los mafiosos que arreglen sus asuntos entre ellos.
Por otro lado, sin leyes que la regulen, la competencia por los recursos naturales sería terrible, y acabarían por expoliarse todas las fuentes de riqueza natural.
3.
Lo más interesante del libro de Escohotado son los capítulos dedicados a la economía. Creo que si el libro se hubiera centrado exclusivamente en esto hubiera sido un buen libro.
Adorno decía de Spengler que parecía ansioso por liquidar su capital de conocimientos humanísticos con el objeto de invertir en la industria pesada. Algo parecido podría decirse de Escohotado, salvo que éste donde invertiría sería en las nuevas tecnologías.
Desde la creación de la Sociedad Anónima como empresa capaz de beneficios infinitos y de pérdidas limitadas, hasta las empresas compradas de forma que el pago de la compra se efectúa hipotecando la propia empresa, el libro de Escohotado llama la atención sobre una serie de puntos escasamente conocidos del mundo económico, que resulta muy interesante tener en cuenta.
En contraste con las austeras categorías de los científicos y los políticos (que sufren constantes y demoledoras críticas por parte de Escohotado), la fauna de los tiburones de la bolsa y los especuladores financieros tiene toda su simpatía. Esta postura lo emparenta, una vez más, con los anarcocapitalistas, que buscan la desaparición total del estado, con el objeto de que las empresas hagan sus negocios sin ningún problema.
Evidentemente, Escohotado es un anarquista. Pero los viejos anarquistas (véase el ejemplo de la Escuela Moderna de Ferrer y Guardia) querían sustituir la oscuridad de la superstición por las luces de la ciencia y el progreso.
En cambio, Escohotado ataca a la ciencia como si ésta fuera autoritaria, y no precisamente la que nos iba a liberar del oscurantismo (como creyeron los ilustrados). No se trata de que Escohotado tenga miedo a que los avances de la biogenética produzcan razas inferiores o superiores (lo que, al fin y al cabo, sería razonable). Se trata de otra cosa.
Escohotado protesta contra un supuesto "autoritarismo" de la ciencia newtoniana. y cree encontrar en la teoría del caos, una salida democrática y libertaria (naturalmente, juzgar de esta manera la ciencia en términos políticos es una soberana estupidez).
Escohotado se centra en los aspectos más problemáticos de la ciencia. Por ejemplo, habla de una supuesta crisis de los fundamentos de las matemáticas, cuyo mayor ejemplo es, al parecer, la existencia de funciones continuas no diferenciables. Sin embargo, un historiador de la matemática como Carl Boyer no considera que la aparición de las funciones continuas no diferenciables supusiera una crisis del análisis matemático. Todo el periodo de Cauchy (que para Escohotado es de crisis total), para Boyer es de avance fructífero.
Con respecto al teorema de Gödel (que para Escohotado es la otra gran crisis de la matemática), Boyer encuentra que, pese a su importancia teórica, apenas ha tenido repercusiones en la matemática práctica de cada día.
En realidad, Escohotado ni siquiera se detiene demasiado en estas cosas. Despacha en dos líneas un tema como el teorema de Gödel, al que Douglas Hofstadter dedica casi 1.000 páginas. No importa: el lector queda asombrado de que el autor sepa tanto de tantas cosas diferentes. Mientras el lector sigue mudo de asombro, Escohotado ya ha pasado a la crítica de los juicios sintéticos a priori de Kant o al comportamiento de las partículas suspendidas en un fluido.
En resumen, me parece que el libro de Escohotado es (como ya han señalado otros de sus reseñadores) un ejemplo de impostura intelectual, que utiliza conceptos científicos, sin saber cómo ni para qué. Aunque el estilo es desenvuelto, la actitud de Escohotado le lleva a unos párrafos de absurda grandilocuencia, como cuando habla de “La sacrosanta casa del infalible profeta numérico”, para referirse a la ciencia.
Por otro lado, la insistencia en considerar que las leyes de la ciencia son tan arbitrarias como las leyes de, por ejemplo, una constitución, le lleva a un extremo relativismo que resulta indefendible.
[1] Puestos a hacer sociología de la ciencia (que tanto le gusta a Escohotado), yo diría que en algunos libros sobre el caos se trata de presentar esta teoría (de por sí importante) como más revolucionaria de lo que ya es.
El motivo es obvio: en la medida en que a un científico se le considere revolucionario y creador de un nuevo paradigma, mayor será su prestigio, y mayor será la dotación de sus proyectos de investigación.
De ahí la avalancha de propaganda sobre el caos, que da la impresión de que la ciencia está en el límite de la catástrofe, casi al borde de lo irracional.
Sin embargo, no creo que la teoría del caos sea tan innovadora, ya que ni siquiera es tan radical como la física cuántica (cuyo indeterminismo ha llevado a más de uno por caminos peligrosos).
1.
La teoría del caos podría definirse en pocas palabras diciendo que en algunos procesos existe una enorme sensibilidad a las condiciones iniciales.
En mi opinión se confunde a los lectores cuando se hace equivaler el caos a aleatoriedad o indeterminismo. Indeterminismo, propiamente dicho, se da en el mundo microscópico de la física cuántica. Pero no está nada claro que este indeterminismo a escala subatómica nos afecte a nosotros (del mismo modo que no afecta excesivamente a la trayectoria de la Tierra la masa de un piojo). Si no es de indeterminismo, ¿de qué se trata entonces? Yo lo llamaría intratabilidad. En teoría de la computación se dice que es intratable un problema tan complejo que el ordenador no tiene capacidad de procesarlo. Muchos problemas colapsarían hasta los más potentes ordenadores. Por ejemplo, un modelo del clima que partiera de la situación de todas y cada una de las moléculas de la atmósfera es un ejemplo de problema intratable.
Para hacer más tratables este tipo de problemas se hace uso de la estadística, con lo que se simplifica mucho, reduciendo el comportamiento independiente de miles de millones de moléculas a una serie de pautas a gran escala. Sin embargo, los modelos a gran escala no pueden captar los pequeños detalles. Y estos pequeños detalles (paradigmáticamente, la mariposa que mueve sus alas en Australia) hacen que, a largo plazo, el modelo predictivo falle. Ésta es la razón por la que los pronósticos meteorológicos para un futuro más allá de cinco días tienden a fallar.
Muchos libros se han escrito en los últimos años acerca del caos. Muchos de ellos son honestos, inteligentes, dan exposiciones sencillas y resultan útiles para entender qué demonios es esa cosa del “caos”.
Quien se acerque al libro de Escohotado con el objetivo de aprender un poco sobre qué es el caos, seguramente, saldrá decepcionado. En general este libro mezcla un montón de cosas que no tienen nada que ver, la teoría del caos y la física cuántica, la crisis de la mecánica newtoniana y la crisis de las sociedades autoritarias, etc.
De entre todas estas mezclas y confusiones, una que me parece fundamental es la confusión entre los aspectos socio-económicos de la ciencia y sus aspectos puramente teóricos.
Dicho con un ejemplo sencillo: un sistema totalitario que (como el imaginado por Orwell en 1984), dedicara una gran inversión a convencer a la gente de que “2 + 2 = 5” quizá podría convencer a alguien de que eso es una verdad científica. Pero, aun así, el que juntara dos manzanas con otras dos manzanas, seguiría teniendo cuatro manzanas.
Escohotado coge ideas de aquí y de allá, con frecuencia alude a observaciones de científicos y, tal vez, cree que con eso está asegurado el rigor.
Cuando dos científicos descalificaron su libro en dos reseñas hostiles, Escohotado se justificó alegando que todo lo que escribe está tomado de autoridades en la materia. Bien, puede ser, pero con un montón de fragmentos de autoridades científicas adecuadamente sacados de contexto y distribuidos en un collage habilidoso se puede construir una teoría irracional, del mismo modo que al alejarse de algunos cuadros de Dalí, la Madonna se transforma en una oreja, o Gala en Abraham Lincoln.
Pero además, parece como si Escohotado ignorara que la ciencia no se hace apelando a autoridades. El científico estudia los fundamentos de la ciencia en un manual y, luego, si se trata de un científico empírico, comprueba lo que ha estudiado mediante prácticas en un laboratorio. Si es un matemático, simplemente, aprende a argumentar de forma lógica a partir de premisas autoevidentes.
Pero Escohotado no hace nada de esto, sino que expone los manjares precocinados de diversos científicos, y los mezcla en un singular plato combinado de producción propia. Es como si cogiera algo de Arzak, otro poco de Berasategui, lo de más allá de Arguiñano, todo mezclado, metido en el microondas y añadiéndole una salsa propia, made in Escohotado.
Por otro lado, las ideas que un científico expone en un libro divulgativo (a diferencia de las que expone en revistas especializadas, dirigidas exclusivamente a sus colegas) son debidamente simplificadas y, con frecuencia, reducidas a un slogan[1].
Escohotado mezcla un montón de cosas, utilizando el caos más como un slogan que como un concepto bien definido. El libro de Escohotado, no sé si define bien el caos, pero, acaso, lo ejemplifica.
2.
Uno de las ideas fundamentales de Escohotado es el paralelismo entre la ciencia y la sociedad. A la física newtoniana corresponde el orden teocrático. A la teoría del caos, el orden democrático.
Esto esconde una falacia. A diferencia de la física cuántica, la teoría del caos no se opone al determinismo de la física newtoniana. El comportamiento del clima o de un fluido son fenómenos explicables en términos de física newtoniana, por más que sean caóticos. Como dice Ian Stewart “el caos es fundamentalmente un concepto de mecánica clásica”.
El caos no es un paradigma alternativo a la mecánica de Newton, sino una extensión de la mecánica newtoniana a fenómenos complejos.
Sin embargo, lo fundamental para Escohotado no es la argumentación científica, sino el aspecto político. Como hemos dicho, Escohotado ve una correlación entre el triunfo la teoría del caos y el auge de los regímenes democráticos.
Escohotado parte de una idea, en algunos aspectos, muy sugestiva: la de que, en ocasiones, a partir de un estado desordenado puede surgir orden.
Esta idea me parece interesante, y en otros lugares la he defendido con el ejemplo de Thomas Huxley, según el cual un mono escribiendo a máquina durante suficiente tiempo acabaría (por puro azar) por escribir el Salmo 24.
Considero necesario insistir en que, por muy raras que sean estas ocasiones, existen momentos en que una estructura compleja surge del puro azar. Sin ir más lejos, la vida.
Sin embargo, Escohotado no utiliza la idea de que en ocasiones surge orden a partir del azar como argumento en una polémica con los creacionistas, sino que lo utiliza para defender una especie de anarcocapitalismo.
El argumento de Escohotado viene a ser el siguiente: el azar siempre crea orden, por tanto, el mercado es siempre superior al control estatal.
Esto es objetable. Por un lado, el azar no siempre crea orden. La mayoría de lo que escribe un mono son series de letras sin ningún sentido.
Por otro lado, el mercado sin una organización estatal, nos llevaría a una lucha de organizaciones mafiosas. Es lo mismo que propugna la trilogía de El padrino de Coppola. Como el estado es corrupto por naturaleza debe dejarse a los mafiosos que arreglen sus asuntos entre ellos.
Por otro lado, sin leyes que la regulen, la competencia por los recursos naturales sería terrible, y acabarían por expoliarse todas las fuentes de riqueza natural.
3.
Lo más interesante del libro de Escohotado son los capítulos dedicados a la economía. Creo que si el libro se hubiera centrado exclusivamente en esto hubiera sido un buen libro.
Adorno decía de Spengler que parecía ansioso por liquidar su capital de conocimientos humanísticos con el objeto de invertir en la industria pesada. Algo parecido podría decirse de Escohotado, salvo que éste donde invertiría sería en las nuevas tecnologías.
Desde la creación de la Sociedad Anónima como empresa capaz de beneficios infinitos y de pérdidas limitadas, hasta las empresas compradas de forma que el pago de la compra se efectúa hipotecando la propia empresa, el libro de Escohotado llama la atención sobre una serie de puntos escasamente conocidos del mundo económico, que resulta muy interesante tener en cuenta.
En contraste con las austeras categorías de los científicos y los políticos (que sufren constantes y demoledoras críticas por parte de Escohotado), la fauna de los tiburones de la bolsa y los especuladores financieros tiene toda su simpatía. Esta postura lo emparenta, una vez más, con los anarcocapitalistas, que buscan la desaparición total del estado, con el objeto de que las empresas hagan sus negocios sin ningún problema.
Evidentemente, Escohotado es un anarquista. Pero los viejos anarquistas (véase el ejemplo de la Escuela Moderna de Ferrer y Guardia) querían sustituir la oscuridad de la superstición por las luces de la ciencia y el progreso.
En cambio, Escohotado ataca a la ciencia como si ésta fuera autoritaria, y no precisamente la que nos iba a liberar del oscurantismo (como creyeron los ilustrados). No se trata de que Escohotado tenga miedo a que los avances de la biogenética produzcan razas inferiores o superiores (lo que, al fin y al cabo, sería razonable). Se trata de otra cosa.
Escohotado protesta contra un supuesto "autoritarismo" de la ciencia newtoniana. y cree encontrar en la teoría del caos, una salida democrática y libertaria (naturalmente, juzgar de esta manera la ciencia en términos políticos es una soberana estupidez).
Escohotado se centra en los aspectos más problemáticos de la ciencia. Por ejemplo, habla de una supuesta crisis de los fundamentos de las matemáticas, cuyo mayor ejemplo es, al parecer, la existencia de funciones continuas no diferenciables. Sin embargo, un historiador de la matemática como Carl Boyer no considera que la aparición de las funciones continuas no diferenciables supusiera una crisis del análisis matemático. Todo el periodo de Cauchy (que para Escohotado es de crisis total), para Boyer es de avance fructífero.
Con respecto al teorema de Gödel (que para Escohotado es la otra gran crisis de la matemática), Boyer encuentra que, pese a su importancia teórica, apenas ha tenido repercusiones en la matemática práctica de cada día.
En realidad, Escohotado ni siquiera se detiene demasiado en estas cosas. Despacha en dos líneas un tema como el teorema de Gödel, al que Douglas Hofstadter dedica casi 1.000 páginas. No importa: el lector queda asombrado de que el autor sepa tanto de tantas cosas diferentes. Mientras el lector sigue mudo de asombro, Escohotado ya ha pasado a la crítica de los juicios sintéticos a priori de Kant o al comportamiento de las partículas suspendidas en un fluido.
En resumen, me parece que el libro de Escohotado es (como ya han señalado otros de sus reseñadores) un ejemplo de impostura intelectual, que utiliza conceptos científicos, sin saber cómo ni para qué. Aunque el estilo es desenvuelto, la actitud de Escohotado le lleva a unos párrafos de absurda grandilocuencia, como cuando habla de “La sacrosanta casa del infalible profeta numérico”, para referirse a la ciencia.
Por otro lado, la insistencia en considerar que las leyes de la ciencia son tan arbitrarias como las leyes de, por ejemplo, una constitución, le lleva a un extremo relativismo que resulta indefendible.
[1] Puestos a hacer sociología de la ciencia (que tanto le gusta a Escohotado), yo diría que en algunos libros sobre el caos se trata de presentar esta teoría (de por sí importante) como más revolucionaria de lo que ya es.
El motivo es obvio: en la medida en que a un científico se le considere revolucionario y creador de un nuevo paradigma, mayor será su prestigio, y mayor será la dotación de sus proyectos de investigación.
De ahí la avalancha de propaganda sobre el caos, que da la impresión de que la ciencia está en el límite de la catástrofe, casi al borde de lo irracional.
Sin embargo, no creo que la teoría del caos sea tan innovadora, ya que ni siquiera es tan radical como la física cuántica (cuyo indeterminismo ha llevado a más de uno por caminos peligrosos).
martes, 29 de mayo de 2007
La época nefanda que nos ha tocado vivir
En los últimos tiempos, numerosos agoreros hablan de lo nefasta que es la educación de nuestra época. Se llega a decir que un bachiller de hace años sabía más que un licenciado de la época actual. Esto son grandes exageraciones.
Por otro lado, es evidente que el título universitario ha dejado de ser algo sólo accesible a los privilegiados. “[En 1975] el 69% de la población tenía sólo estudios primarios, el 12% estudios medios y no alcanzaba el 2% la proporción de quienes habían realizado estudios superiores” (Charles Powell, España en democracia, 1975-2000). Hoy en día, las estadísticas aireadas por los medios de comunicación dicen que el porcentaje de titulados universitarios entre 25 y 64 años estaría en España en torno al 25% y el porcentaje de estudiantes que inician estudios universitarios en las nuevas promociones está en torno al 40%. Es decir, ¡hay más titulados universitarios hoy que bachilleres hace 35 años!
Además, me parece muy dudoso que un bachiller del franquismo tuviera la excelencia que le atribuyen los que le cantan elegías. Quizás antes se hacían menos faltas de ortografías. Pero sólo hay que ver los documentales para ver lo engolado y ridículo de la retórica de los gobernantes e incluso muchos de los intelectuales de la época. Hay que decir que para 1972, la educación había avanzado mucho: tengo un libro de matemáticas de COU de editorial Bruño de ese año, y entonces ya se estudiaba la moderna teoría de conjuntos.
Actualmente, en primer curso de cualquier ingeniería se estudia no sólo teoría de conjuntos, sino estructuras algebraicas, matrices, espacios vectoriales y bastantes cosas más (normalmente en la asignatura de Álgebra). En los colegios, se estudia menos de teoría de conjuntos que en 1972 (quizás porque hoy día se considera poco pedagógica). Pero los ingenieros de hoy saben mucho más que los bachilleres de ayer (de eso no hay duda) e incluso probablemente que los ingenieros de ayer: muchas asignaturas, como la programación informática, entonces ni existían, y hoy son la clave del desarrollo tecnológico. Naturalmente, esto es debido mucho más al avance tecnológico que a las reformas educativas (en muchos casos inútiles y hasta contraproducentes).
Algunos dirán que el desastre educativo actual no se demuestra precisamente en las ciencias sino en las humanidades (antaño llamadas “letras”).
Véase una semblanza de lo que era el estudio de Filosofía en España en aquellos años.
“Quien, a diferencia de Víctor[Sánchez Zavala], cedía a una comprensible tentación y no iba a tomar apuntes a clase, podía sacar partido de exactamente tres títulos a lo largo de aquellos años. Eran éstos el manual de filosofía de Millán Puelles y el de historia de la filosofía de González Álvarez, catedráticos respectivamente de los cursos primero y segundo, comunes a todas las especialidades; luego, ya entre filósofos, la Filosofía del saber de don Leopoldo Eulogio Palacios, único catedrático de Lógica. De este último volumen tenemos los de entonces un recuerdo particularmente afectuoso, pese a que, por comparación con él, nos ha costado luego justipreciar a Monty Python. No vacile el lector en buscarlo por las bibliotecas. Allí encontrará inolvidables distinciones entre arte indumentaria y arte edificatoria, las dos destinadas a cubrir al hombre con distintos grados de rigidez, o pesquisas sobre la categoría ontológica que, con castiza pluma, se llamaba trastulo, bagatela o fruslería, ejemplificada por la muleta del torero. Hay mucho más, estoy seguro, y mejor todavía.
“Si esta era la lógica, la psicología y la antropología estaban ambas en manos de un señor Fagoaga y su hermano simétrico. Nada de libros en este caso. Se aprobaba la segunda materia mediante un examen tipo test que incluía preguntas del orden de ¿Cómo son los chinos?, para lo cual la única respuesta correcta era Laboriosos”. (Carlos Piera, “Alrededores de Víctor Sánchez de Zavala”, Revista de occidente nº 196, septiembre 1997, pags. 74-88).
El relato de Fernando Savater sobre la filosofía que se estudiaba en la época (Fernando Savater, Mira por donde. Autobiografía razonada) es igualmente demoledor: la única lógica que enseñaba el profesor titular de la Complutense era la tomista (si bien, el profesor sustituto era Alfredo Deaño, experto en lógica matemática que años después publicaría un exitoso manual).
Si esto era en Madrid, qué sería en las universidades de provincias (sólo que entonces había muy pocas facultades en provincias).
En comparación con el paupérrimo curriculum de la Filosofía al franquista modo, la que yo estudié entre 1995 y 1999 era un Gran Salto Adelante (por utilizar la metáfora del amigo Mao). Estudiábamos la lógica matemática (no la tomista) y hasta llegamos a dar el teorema de Gödel (y eso en una universidad de provincias, la UPV-EHU). Dábamos incluso una asignatura sobre álgebra y teoría de conjuntos (Filosofía y Matemáticas I) y otra sobre historia de la física cuántica. Estudiamos las corrientes más modernas del pensamiento humanista (como la semiótica) y también los filósofos modernos más pujantes (como Popper y Thomas Kuhn) además de los clásicos que se estudiaron siempre: Platón, Aristóteles, Kant…
En resumen. Puede que la enseñanza primaria y secundaria de hoy sea deficiente. Puede que mucha gente llegue a la universidad sin grandes instrumentos conceptuales. Puede (y puede ser una rémora para el país, sin duda). Pero, al menos, la educación superior se ha democratizado y, además, ha mejorado en muchos aspectos. Tenemos más universitarios y más preparados que nunca.
Por otro lado, es evidente que el título universitario ha dejado de ser algo sólo accesible a los privilegiados. “[En 1975] el 69% de la población tenía sólo estudios primarios, el 12% estudios medios y no alcanzaba el 2% la proporción de quienes habían realizado estudios superiores” (Charles Powell, España en democracia, 1975-2000). Hoy en día, las estadísticas aireadas por los medios de comunicación dicen que el porcentaje de titulados universitarios entre 25 y 64 años estaría en España en torno al 25% y el porcentaje de estudiantes que inician estudios universitarios en las nuevas promociones está en torno al 40%. Es decir, ¡hay más titulados universitarios hoy que bachilleres hace 35 años!
Además, me parece muy dudoso que un bachiller del franquismo tuviera la excelencia que le atribuyen los que le cantan elegías. Quizás antes se hacían menos faltas de ortografías. Pero sólo hay que ver los documentales para ver lo engolado y ridículo de la retórica de los gobernantes e incluso muchos de los intelectuales de la época. Hay que decir que para 1972, la educación había avanzado mucho: tengo un libro de matemáticas de COU de editorial Bruño de ese año, y entonces ya se estudiaba la moderna teoría de conjuntos.
Actualmente, en primer curso de cualquier ingeniería se estudia no sólo teoría de conjuntos, sino estructuras algebraicas, matrices, espacios vectoriales y bastantes cosas más (normalmente en la asignatura de Álgebra). En los colegios, se estudia menos de teoría de conjuntos que en 1972 (quizás porque hoy día se considera poco pedagógica). Pero los ingenieros de hoy saben mucho más que los bachilleres de ayer (de eso no hay duda) e incluso probablemente que los ingenieros de ayer: muchas asignaturas, como la programación informática, entonces ni existían, y hoy son la clave del desarrollo tecnológico. Naturalmente, esto es debido mucho más al avance tecnológico que a las reformas educativas (en muchos casos inútiles y hasta contraproducentes).
Algunos dirán que el desastre educativo actual no se demuestra precisamente en las ciencias sino en las humanidades (antaño llamadas “letras”).
Véase una semblanza de lo que era el estudio de Filosofía en España en aquellos años.
“Quien, a diferencia de Víctor[Sánchez Zavala], cedía a una comprensible tentación y no iba a tomar apuntes a clase, podía sacar partido de exactamente tres títulos a lo largo de aquellos años. Eran éstos el manual de filosofía de Millán Puelles y el de historia de la filosofía de González Álvarez, catedráticos respectivamente de los cursos primero y segundo, comunes a todas las especialidades; luego, ya entre filósofos, la Filosofía del saber de don Leopoldo Eulogio Palacios, único catedrático de Lógica. De este último volumen tenemos los de entonces un recuerdo particularmente afectuoso, pese a que, por comparación con él, nos ha costado luego justipreciar a Monty Python. No vacile el lector en buscarlo por las bibliotecas. Allí encontrará inolvidables distinciones entre arte indumentaria y arte edificatoria, las dos destinadas a cubrir al hombre con distintos grados de rigidez, o pesquisas sobre la categoría ontológica que, con castiza pluma, se llamaba trastulo, bagatela o fruslería, ejemplificada por la muleta del torero. Hay mucho más, estoy seguro, y mejor todavía.
“Si esta era la lógica, la psicología y la antropología estaban ambas en manos de un señor Fagoaga y su hermano simétrico. Nada de libros en este caso. Se aprobaba la segunda materia mediante un examen tipo test que incluía preguntas del orden de ¿Cómo son los chinos?, para lo cual la única respuesta correcta era Laboriosos”. (Carlos Piera, “Alrededores de Víctor Sánchez de Zavala”, Revista de occidente nº 196, septiembre 1997, pags. 74-88).
El relato de Fernando Savater sobre la filosofía que se estudiaba en la época (Fernando Savater, Mira por donde. Autobiografía razonada) es igualmente demoledor: la única lógica que enseñaba el profesor titular de la Complutense era la tomista (si bien, el profesor sustituto era Alfredo Deaño, experto en lógica matemática que años después publicaría un exitoso manual).
Si esto era en Madrid, qué sería en las universidades de provincias (sólo que entonces había muy pocas facultades en provincias).
En comparación con el paupérrimo curriculum de la Filosofía al franquista modo, la que yo estudié entre 1995 y 1999 era un Gran Salto Adelante (por utilizar la metáfora del amigo Mao). Estudiábamos la lógica matemática (no la tomista) y hasta llegamos a dar el teorema de Gödel (y eso en una universidad de provincias, la UPV-EHU). Dábamos incluso una asignatura sobre álgebra y teoría de conjuntos (Filosofía y Matemáticas I) y otra sobre historia de la física cuántica. Estudiamos las corrientes más modernas del pensamiento humanista (como la semiótica) y también los filósofos modernos más pujantes (como Popper y Thomas Kuhn) además de los clásicos que se estudiaron siempre: Platón, Aristóteles, Kant…
En resumen. Puede que la enseñanza primaria y secundaria de hoy sea deficiente. Puede que mucha gente llegue a la universidad sin grandes instrumentos conceptuales. Puede (y puede ser una rémora para el país, sin duda). Pero, al menos, la educación superior se ha democratizado y, además, ha mejorado en muchos aspectos. Tenemos más universitarios y más preparados que nunca.
domingo, 27 de mayo de 2007
Pensamientos célebres
"Desde que los matemáticos se han dedicado a estudiar mi teoría de la relatividad, he dejado de entenderla” (Albert Einstein)
"No se preocupen por sus dificultades con las matemáticas. Les aseguro que las mías son mayores" (Albert Einstein)
“Entre todas las virtudes de Dios destaca una: su inexistencia” (Abraham Magnus)
“El poder para legalizar un partido no es nada comparado con el poder de la Fuerza” (Darth Baader)
“A thing is obvious mathematically after you see it”(Carmichael)
“How dare we speak of the laws of chance? Is not chance the antithesis of all law?” (Bertrand Russell)
"El más pequeño de los números infinitos es el límite de los enteros finitos, aunque todos ellos estén a una distancia infinita de ese límite" (Bertrand Russell”)
“Las matemáticas pueden definirse como la disciplina en que nunca sabemos de qué hablamos ni si lo que decimos es verdad” (Bertrand Russell)
“Calculus required continuity, and continuity was supposed to require the infinitely little; but nobody could discover what the infinitely little might be” (Bertrand Russell)
"No se preocupen por sus dificultades con las matemáticas. Les aseguro que las mías son mayores" (Albert Einstein)
“Entre todas las virtudes de Dios destaca una: su inexistencia” (Abraham Magnus)
“El poder para legalizar un partido no es nada comparado con el poder de la Fuerza” (Darth Baader)
“A thing is obvious mathematically after you see it”(Carmichael)
“How dare we speak of the laws of chance? Is not chance the antithesis of all law?” (Bertrand Russell)
"El más pequeño de los números infinitos es el límite de los enteros finitos, aunque todos ellos estén a una distancia infinita de ese límite" (Bertrand Russell”)
“Las matemáticas pueden definirse como la disciplina en que nunca sabemos de qué hablamos ni si lo que decimos es verdad” (Bertrand Russell)
“Calculus required continuity, and continuity was supposed to require the infinitely little; but nobody could discover what the infinitely little might be” (Bertrand Russell)
domingo, 6 de mayo de 2007
La Biblioteca de Bach
A imagen de "La Biblioteca de Babel" se me ha ocurrido muchas veces conjeturar otro objeto ideal, lo que llamo la Biblioteca de Juan Sebastián Bach. Ésta, que quizá deberíamos llamar “discoteca”, se compone de todos los sonidos susceptibles de ser grabados en un CD. Veamos: en primer lugar, una primera aproximación la tendríamos en todas las melodías posibles, pero además cada melodía podría ser tocada más alto o más bajo en la escala musical; además cada melodía puede ser tocada con distintos acompañamientos, puede ser cantada o tocada con diferentes instrumentos, si es cantada lo puede ser por personas con diferente timbre de voz, etc.
La tecnología antigua, de las cintas de cassette o de los discos de vinilo era analógica. Se grababan en el soporte unos ruidos procedentes de una fuente de sonido, y se reproducían al pasar por el radiocassette. Pero el sonido del compact disc no se reproduce analógicamente. El compact disc tiene toda la información sobre el sonido que reproduce en forma de unos y ceros. Pues bien, esto es lo que hace el CD: guarda la información en forma de bits, y luego la reproduce al producir sonidos de una determinada longitud de onda. Esto ha posibilitado que veamos la discoteca de Juan Sebastián Bach como una biblioteca: un número limitado de combinaciones de símbolos, en este caso unos y ceros, es decir de bits de información. Si supiéramos cuántas unidades de información, cuántos unos y ceros caben en un compact disc podrímos saber cuántos compact disc distintos era posible grabar. Tiene que ser una cifra astronómica. Imagínese, las canciones de Elvis Presley cantadas por el cantante de Pet Shop Boys, las sinfonías de Beethoven dirigidas por Von Karajan o por otro director famoso, yo qué sé, Luis Cobos, cualquier nueva variación responde a una distinta combinación de sonidos que queda registrada digitalmente. De hecho un compact disc es capaz de guardar 650 megabytes de información, es decir más de 650 millones de bytes. Como un byte son 8 bits, hay 2^5200.000.000 posibles compact disc.
El sonido responde a una determinada longitud de onda y amplitud, y eso es lo que almacena y reproduce el compact disc. Es como la diferencia entre un computador analógico y uno digital. El analógico registra señales continuas, mientras que el computador digital registra señales discretas. Por ejemplo, el computador digital no registra las variaciones de temperatura, sino que registra la temperatura en cada segundo, y sobre esa base, traza una línea que se parece a una línea de desarrollo en el tiempo. Las magnitudes o variables analógicas tienen un rango de variación continuo de valores, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un intervalo definido en el campo de los números reales (números como 1,3456 o Pi). Las magnitudes o variables digitales sólo pueden tomar valores discretos, estando sus valores definidos dentro de intervalos fijados en el campo de los números enteros (1, 2, 3, -1...). La información analógica es tal que, se podría imaginar, es potencialmente infinita dado que el conjunto de los números reales es denso: entre dos números reales, por muy cerca que estén entre sí, siempre hay otro. Sin embargo, algún límite debe de haber, debido al tamaño de la aguja del tocadiscos, por ejemplo. Además, es probable que exista una unidad mínima de materia.
Dentro de los discos de la Biblioteca de Bach son más los dodecafónicos que los normales, ya que son más las combinaciones posibles entre los doce sonidos de la escala que entre las siete notas. Aún más son los discos ruidistas, ya que el caos de unos sonidos sin hilazón alguna es más probable, por motivos de entropía, que las combinaciones de los doce sonidos de la escala. Recuérdese que hablamos de todo sonido susceptible de ser grabado por un compact disc, desde un gorrión a una tormenta, pasando por los ruidos más informes que pueda generar un sintetizador, o los que encontramos recorriendo las radios al azar. Incluso hay fragmentos de la Biblioteca de Babel en la biblioteca de Bach, por ejemplo, varios capítulos del Quijote grabados en compact disc. El lector se habrá dado cuenta que la mayoría de los discos de la Biblioteca de Bach serán al estilo de John Cage, es decir, vanguardismo ruidista más que al estilo de Bach. Sin embargo, me gusta el nombre de biblioteca de Bach, porque Bach exploró el concepto de todas las variaciones posibles en casos como las variaciones Goldberg. Woody Allen decía en Stardust memories que creía que las variaciones Goldberg eran algo que habían hecho los señores Goldberg en la noche de bodas, es decir que las confundía con el Kamasutra otra forma de combinatoria, esta vez no sólo finita sino más bien exigua (Roland Barthes habla en uno de sus ensayos de la gramática sexual de Sade, que recuerda, también al Kamasutra).
Es difícil obtener una de las grandes composiciones de la Biblioteca de Bach por un método azaroso. Sería como ganar el premio de la lotería mil veces. ¿Cuántas posibilidades hay de obtener, a partir de una generación de sonidos al azar el de Canon de Pachelbel? Pues, igualmente difícil sería encontrar una composición audible entre todas las de la Biblioteca de Bach. ¿Es posible que todas las músicas de la biosfera (las especies animales y vegetales) hayan surgido del puro azar? Los creacionistas siguen pensando que no. Ellos argumentan que sería como un mono tecleando una máquina de escribir. Para el caso podríamos imaginar al mono aporreando un piano, o escribiendo sinfonías en un pentagrama.
Sin embargo, esta imagen (la de que un mono escribiendo a máquina acabaría por producir un texto inteligible) fue propuesta, curiosamente, por uno de los más feroces defensores del darwinismo: Thomas Huxley. La idea es que, dado suficiente tiempo, pueden aparecer estructuras complejas a partir del azar.
Los creacionistas argumentan que no hay tiempo suficiente para que se lleve a cabo la evolución. En realidad, la selección no se hace aleatoriamente, viajando al azar por el espacio del diseño, sino que existe la selección natural, que elige las copias más interesantes (o para ser exactos, descarta las más fallidas). Exactamente como el método hipotético-deductivo en la ciencia, el azar propone un montón de hipótesis y la naturaleza es la que descarta las más inútiles para la subsistencia. La naturaleza es el crítico literario que nos dice si esta copia es equivalente al Quijote o a Hamlet y debe replicarse, o es un libro que merece caer en el olvido.
La tecnología antigua, de las cintas de cassette o de los discos de vinilo era analógica. Se grababan en el soporte unos ruidos procedentes de una fuente de sonido, y se reproducían al pasar por el radiocassette. Pero el sonido del compact disc no se reproduce analógicamente. El compact disc tiene toda la información sobre el sonido que reproduce en forma de unos y ceros. Pues bien, esto es lo que hace el CD: guarda la información en forma de bits, y luego la reproduce al producir sonidos de una determinada longitud de onda. Esto ha posibilitado que veamos la discoteca de Juan Sebastián Bach como una biblioteca: un número limitado de combinaciones de símbolos, en este caso unos y ceros, es decir de bits de información. Si supiéramos cuántas unidades de información, cuántos unos y ceros caben en un compact disc podrímos saber cuántos compact disc distintos era posible grabar. Tiene que ser una cifra astronómica. Imagínese, las canciones de Elvis Presley cantadas por el cantante de Pet Shop Boys, las sinfonías de Beethoven dirigidas por Von Karajan o por otro director famoso, yo qué sé, Luis Cobos, cualquier nueva variación responde a una distinta combinación de sonidos que queda registrada digitalmente. De hecho un compact disc es capaz de guardar 650 megabytes de información, es decir más de 650 millones de bytes. Como un byte son 8 bits, hay 2^5200.000.000 posibles compact disc.
El sonido responde a una determinada longitud de onda y amplitud, y eso es lo que almacena y reproduce el compact disc. Es como la diferencia entre un computador analógico y uno digital. El analógico registra señales continuas, mientras que el computador digital registra señales discretas. Por ejemplo, el computador digital no registra las variaciones de temperatura, sino que registra la temperatura en cada segundo, y sobre esa base, traza una línea que se parece a una línea de desarrollo en el tiempo. Las magnitudes o variables analógicas tienen un rango de variación continuo de valores, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un intervalo definido en el campo de los números reales (números como 1,3456 o Pi). Las magnitudes o variables digitales sólo pueden tomar valores discretos, estando sus valores definidos dentro de intervalos fijados en el campo de los números enteros (1, 2, 3, -1...). La información analógica es tal que, se podría imaginar, es potencialmente infinita dado que el conjunto de los números reales es denso: entre dos números reales, por muy cerca que estén entre sí, siempre hay otro. Sin embargo, algún límite debe de haber, debido al tamaño de la aguja del tocadiscos, por ejemplo. Además, es probable que exista una unidad mínima de materia.
Dentro de los discos de la Biblioteca de Bach son más los dodecafónicos que los normales, ya que son más las combinaciones posibles entre los doce sonidos de la escala que entre las siete notas. Aún más son los discos ruidistas, ya que el caos de unos sonidos sin hilazón alguna es más probable, por motivos de entropía, que las combinaciones de los doce sonidos de la escala. Recuérdese que hablamos de todo sonido susceptible de ser grabado por un compact disc, desde un gorrión a una tormenta, pasando por los ruidos más informes que pueda generar un sintetizador, o los que encontramos recorriendo las radios al azar. Incluso hay fragmentos de la Biblioteca de Babel en la biblioteca de Bach, por ejemplo, varios capítulos del Quijote grabados en compact disc. El lector se habrá dado cuenta que la mayoría de los discos de la Biblioteca de Bach serán al estilo de John Cage, es decir, vanguardismo ruidista más que al estilo de Bach. Sin embargo, me gusta el nombre de biblioteca de Bach, porque Bach exploró el concepto de todas las variaciones posibles en casos como las variaciones Goldberg. Woody Allen decía en Stardust memories que creía que las variaciones Goldberg eran algo que habían hecho los señores Goldberg en la noche de bodas, es decir que las confundía con el Kamasutra otra forma de combinatoria, esta vez no sólo finita sino más bien exigua (Roland Barthes habla en uno de sus ensayos de la gramática sexual de Sade, que recuerda, también al Kamasutra).
Es difícil obtener una de las grandes composiciones de la Biblioteca de Bach por un método azaroso. Sería como ganar el premio de la lotería mil veces. ¿Cuántas posibilidades hay de obtener, a partir de una generación de sonidos al azar el de Canon de Pachelbel? Pues, igualmente difícil sería encontrar una composición audible entre todas las de la Biblioteca de Bach. ¿Es posible que todas las músicas de la biosfera (las especies animales y vegetales) hayan surgido del puro azar? Los creacionistas siguen pensando que no. Ellos argumentan que sería como un mono tecleando una máquina de escribir. Para el caso podríamos imaginar al mono aporreando un piano, o escribiendo sinfonías en un pentagrama.
Sin embargo, esta imagen (la de que un mono escribiendo a máquina acabaría por producir un texto inteligible) fue propuesta, curiosamente, por uno de los más feroces defensores del darwinismo: Thomas Huxley. La idea es que, dado suficiente tiempo, pueden aparecer estructuras complejas a partir del azar.
Los creacionistas argumentan que no hay tiempo suficiente para que se lleve a cabo la evolución. En realidad, la selección no se hace aleatoriamente, viajando al azar por el espacio del diseño, sino que existe la selección natural, que elige las copias más interesantes (o para ser exactos, descarta las más fallidas). Exactamente como el método hipotético-deductivo en la ciencia, el azar propone un montón de hipótesis y la naturaleza es la que descarta las más inútiles para la subsistencia. La naturaleza es el crítico literario que nos dice si esta copia es equivalente al Quijote o a Hamlet y debe replicarse, o es un libro que merece caer en el olvido.
viernes, 4 de mayo de 2007
OFF TOPIC: Fernando Márquez. Con él llegó la polémica
Fernando Márquez fue un componente de Kaka de Luxe. Luego formó el grupo Paraíso (donde compuso la canción Para ti, a la que Diego A. Manrique llamó “himno de toda una generación”). Luego, con La Mode hizo el disco El eterno femenino, uno de los mejores de la historia del pop español. Recientemente se reeditó su disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80, que vio la luz por primera vez en el año 86
El Zurdo conserva su lengua viperina, y recuerda numerosas anécdotas de la movida. En una reciente entrevista en Onda Regional de Murcia contó cosas sobre Carlos Berlanga. En una época, después de compartir formación en Kaka de luxe, el Zurdo y Carlos Berlanga emprendieron el proyecto de Paraíso, pero aquello no llegó a fructificar. Según cuenta, el Zurdo, el concepto de Paraíso era de Carlos Berlanga. Berlanga quería hacer “una música muy acústica, un poco infantil”, y fue en esa línea que Fernando Márquez compuso una canción como Para ti, una de las canciones emblemáticas de la movida. El Zurdo contó en esa entrevista que Carlos Berlanga estaba enseñando a los músicos sus canciones. “Llegó Antonio Zancajo, se puso a tocar, haciendo una cosa muy virguera, y Berlanga le dijo: No es así. Zancajo le contestó: Estaba afinando. Después de eso, Berlanga se sintió tan humillado que quiso echarle del grupo. Carlos Berlanga quería que los músicos fueran esclavos a su servicio, pero tenían que tocar peor que él. Pero él sabía tocar muy poco, con lo cual hubiera sido un caos”.
Como sé que al Zurdo le gusta la polémica, le pregunto qué piensa del fenómeno comercial (que no musical) de OT. “No pienso. Pero no creo sea peor que la literatura teledirigida por el grupo PRISA (tan bien denunciada por Gª Viñó en su libro El País: La cultura como negocio) o que Pérez Reverte sea académico. Al menos, todo el asunto de OT resulta menos obsceno desde el punto de vista ético, aunque musicalmente, desde luego, apeste (no creo que más que fenómenos anteriores como la canción del verano o que la pseudocanción con mensaje de sujetos como Sabina)”. El Zurdo no ha aprendido mucha diplomacia desde sus tiempos de Kaka de Luxe. A propósito de Para ti (“es el tema que me da de comer”) la emprende con Almudena Grandes. “Su momento más sórdido tal vez sea que Almudena Grandes, sin sentir seguramente el menor aprecio por quien la escribió, usase una metáfora del Para ti para titular una novela suya”. Ya que estamos con los temas polémicos, le pregunto por unas declaraciones que hizo sobre Mecano en El Mundo, donde dijo que el nacimiento de Mecano era “el símbolo apocalíptico de que todo se iba a la mierda y de que llegaba la mentalidad industrial". Sin embargo él mismo versioneó Solo soy una persona de José María Cano. El Zurdo, citando uno de sus textos, me habla de “la pretenciosidad filistea” de José María Cano tras romperse el grupo “más cercana al pompierismo de un Cecil B. De Mille recreando Bayreuth con walkyrias de gran tonelaje que a la sensibilidad de un Visconti dirigiendo a la Callas” con lo cual concluye que Sólo soy una persona “fue más el sonido casual de la flauta que nos cuenta la fábula, y no el comienzo de un lenguaje propio lleno de momentos y recodos mágicos” A mí, personalmente, no es Sólo soy una persona la canción que más me gusta de Mecano, pero el inconformismo de Fernando Márquez me parece saludable, en un mundo tan aburguesado. En la radio, El Zurdo se quejaba de que ha tenido muchos problemas por tener una actitud de Quijote, y recordaba la crítica que le dedicó Patricia Godes en la Historia del rock de El País. “Era como una esquela que hablaba de mí en pasado, como un cantante que estaba ya muerto y enterrado”. Luego añade: “Fue la primera que habló de mí como un Quijote, y creo que dio en el clavo”. Le pregunto por Alaska y sus grupos: Pegamoides, Dinarama y Fangoria. “Me gustan mucho los Pegamoides (creo que son el grupo más redondo y perfecto que dio la Movida). De Dinarama me gusta sobre todo el primer LP. Y de Fangoria me aburre todo, desde sus canciones hasta su look (que no sólo me aburre sino que me quita las ganas de vivir y me dificulta la digestión)”.
Le hablo de La Mode, de su disco El eterno femenino (considerado por Efe eme entre los 100 mejores de la historia del pop español) El disco en cuestión está muy recargado de teclados tecno, (cosa que, en mi opinión, forma parte de su encanto). “Creo que lo que falla precisamente son los teclados (salvo en algunos temas ––El único juego de la ciudad, Aquella chica, Las chicas de la Inter o El eterno femenino donde sí se mantiene una cierta brillantez inasequible al paso del tiempo). Un Charlie Mysterio les habría sacado muchísimo más partido manteniendo la sensación de modernez, como puede comprobarse escuchando el reciente Con paciencia”.
Del disco 1984, la canción En cualquier fiesta me parece de una gran sensibilidad, con algo de masoquismo, porque fabula la decadencia. “Es un tema recurrente. La misma cara b del single, Panorama iba sobre lo mismo. También las canciones inspiradas en Alaska, Carolina y Aquella chica”. Me acuerdo de la canción Erección (“Siente como se levanta un imperio / mira como se levanta hasta el cielo…”), con su dialéctica casi sadomasoquista. “La idea me la dio un fragmento del film Network en el que Faye Dunaway (que encarna a una agresiva ejecutiva de tv), yaciendo con un decrépito William Holden (ex/compañero recién dimitido por representar los valores de la tv primigenia, más ética y tal), llega al orgasmo mientras calcula índices de audiencia de su nuevo programa”.
Recientemente se ha reeditado (con tres canciones nuevas) Pop Decó. La exposición internacional de los 80. Pop Decó empezó como un grupo tecno. Pero su concierto de presentación fue un desastre. Como dijo El Zurdo en aquella entrevista en la radio: “Las cintas pregrabadas sonaron mal y quedamos desacompasados. Alguna gente pensaba que era como el Metal Machine Music, una cosa conceptual”. Ahí se acabó Pop Decó Sin embargo, años después, Fernando Márquez resucita Pop Decó. “Había dejado La Mode, porque no podía dar conciertos, y Mario Pacheco me ofreció seguir grabando en Nuevos Medios y pensé en recuperar aquel repertorio de Pop Decó”. El disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80 lo produjo y arregló Teo Cardalda. “Pop Decó era tecno, pero el disco lo arregló Teo Cardalda con una instrumentación mucho más convencional. Suena algo a glam-rock y eso me gusta. Me gusta mucho más la música de los 70 que la new wave”. Considera que de todos sus discos es el mejor producido.
Se puede estar en desacuerdo con muchas de sus valoraciones, pero Fernando Márquez siempre causa polémica. Autor de muchas de las canciones más emblemáticas de los 80, sigue representando una actitud musical independiente, en las antípodas de los chicos de Operación Triunfo, que triunfan entre la juventud más conformista.
El Zurdo conserva su lengua viperina, y recuerda numerosas anécdotas de la movida. En una reciente entrevista en Onda Regional de Murcia contó cosas sobre Carlos Berlanga. En una época, después de compartir formación en Kaka de luxe, el Zurdo y Carlos Berlanga emprendieron el proyecto de Paraíso, pero aquello no llegó a fructificar. Según cuenta, el Zurdo, el concepto de Paraíso era de Carlos Berlanga. Berlanga quería hacer “una música muy acústica, un poco infantil”, y fue en esa línea que Fernando Márquez compuso una canción como Para ti, una de las canciones emblemáticas de la movida. El Zurdo contó en esa entrevista que Carlos Berlanga estaba enseñando a los músicos sus canciones. “Llegó Antonio Zancajo, se puso a tocar, haciendo una cosa muy virguera, y Berlanga le dijo: No es así. Zancajo le contestó: Estaba afinando. Después de eso, Berlanga se sintió tan humillado que quiso echarle del grupo. Carlos Berlanga quería que los músicos fueran esclavos a su servicio, pero tenían que tocar peor que él. Pero él sabía tocar muy poco, con lo cual hubiera sido un caos”.
Como sé que al Zurdo le gusta la polémica, le pregunto qué piensa del fenómeno comercial (que no musical) de OT. “No pienso. Pero no creo sea peor que la literatura teledirigida por el grupo PRISA (tan bien denunciada por Gª Viñó en su libro El País: La cultura como negocio) o que Pérez Reverte sea académico. Al menos, todo el asunto de OT resulta menos obsceno desde el punto de vista ético, aunque musicalmente, desde luego, apeste (no creo que más que fenómenos anteriores como la canción del verano o que la pseudocanción con mensaje de sujetos como Sabina)”. El Zurdo no ha aprendido mucha diplomacia desde sus tiempos de Kaka de Luxe. A propósito de Para ti (“es el tema que me da de comer”) la emprende con Almudena Grandes. “Su momento más sórdido tal vez sea que Almudena Grandes, sin sentir seguramente el menor aprecio por quien la escribió, usase una metáfora del Para ti para titular una novela suya”. Ya que estamos con los temas polémicos, le pregunto por unas declaraciones que hizo sobre Mecano en El Mundo, donde dijo que el nacimiento de Mecano era “el símbolo apocalíptico de que todo se iba a la mierda y de que llegaba la mentalidad industrial". Sin embargo él mismo versioneó Solo soy una persona de José María Cano. El Zurdo, citando uno de sus textos, me habla de “la pretenciosidad filistea” de José María Cano tras romperse el grupo “más cercana al pompierismo de un Cecil B. De Mille recreando Bayreuth con walkyrias de gran tonelaje que a la sensibilidad de un Visconti dirigiendo a la Callas” con lo cual concluye que Sólo soy una persona “fue más el sonido casual de la flauta que nos cuenta la fábula, y no el comienzo de un lenguaje propio lleno de momentos y recodos mágicos” A mí, personalmente, no es Sólo soy una persona la canción que más me gusta de Mecano, pero el inconformismo de Fernando Márquez me parece saludable, en un mundo tan aburguesado. En la radio, El Zurdo se quejaba de que ha tenido muchos problemas por tener una actitud de Quijote, y recordaba la crítica que le dedicó Patricia Godes en la Historia del rock de El País. “Era como una esquela que hablaba de mí en pasado, como un cantante que estaba ya muerto y enterrado”. Luego añade: “Fue la primera que habló de mí como un Quijote, y creo que dio en el clavo”. Le pregunto por Alaska y sus grupos: Pegamoides, Dinarama y Fangoria. “Me gustan mucho los Pegamoides (creo que son el grupo más redondo y perfecto que dio la Movida). De Dinarama me gusta sobre todo el primer LP. Y de Fangoria me aburre todo, desde sus canciones hasta su look (que no sólo me aburre sino que me quita las ganas de vivir y me dificulta la digestión)”.
Le hablo de La Mode, de su disco El eterno femenino (considerado por Efe eme entre los 100 mejores de la historia del pop español) El disco en cuestión está muy recargado de teclados tecno, (cosa que, en mi opinión, forma parte de su encanto). “Creo que lo que falla precisamente son los teclados (salvo en algunos temas ––El único juego de la ciudad, Aquella chica, Las chicas de la Inter o El eterno femenino donde sí se mantiene una cierta brillantez inasequible al paso del tiempo). Un Charlie Mysterio les habría sacado muchísimo más partido manteniendo la sensación de modernez, como puede comprobarse escuchando el reciente Con paciencia”.
Del disco 1984, la canción En cualquier fiesta me parece de una gran sensibilidad, con algo de masoquismo, porque fabula la decadencia. “Es un tema recurrente. La misma cara b del single, Panorama iba sobre lo mismo. También las canciones inspiradas en Alaska, Carolina y Aquella chica”. Me acuerdo de la canción Erección (“Siente como se levanta un imperio / mira como se levanta hasta el cielo…”), con su dialéctica casi sadomasoquista. “La idea me la dio un fragmento del film Network en el que Faye Dunaway (que encarna a una agresiva ejecutiva de tv), yaciendo con un decrépito William Holden (ex/compañero recién dimitido por representar los valores de la tv primigenia, más ética y tal), llega al orgasmo mientras calcula índices de audiencia de su nuevo programa”.
Recientemente se ha reeditado (con tres canciones nuevas) Pop Decó. La exposición internacional de los 80. Pop Decó empezó como un grupo tecno. Pero su concierto de presentación fue un desastre. Como dijo El Zurdo en aquella entrevista en la radio: “Las cintas pregrabadas sonaron mal y quedamos desacompasados. Alguna gente pensaba que era como el Metal Machine Music, una cosa conceptual”. Ahí se acabó Pop Decó Sin embargo, años después, Fernando Márquez resucita Pop Decó. “Había dejado La Mode, porque no podía dar conciertos, y Mario Pacheco me ofreció seguir grabando en Nuevos Medios y pensé en recuperar aquel repertorio de Pop Decó”. El disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80 lo produjo y arregló Teo Cardalda. “Pop Decó era tecno, pero el disco lo arregló Teo Cardalda con una instrumentación mucho más convencional. Suena algo a glam-rock y eso me gusta. Me gusta mucho más la música de los 70 que la new wave”. Considera que de todos sus discos es el mejor producido.
Se puede estar en desacuerdo con muchas de sus valoraciones, pero Fernando Márquez siempre causa polémica. Autor de muchas de las canciones más emblemáticas de los 80, sigue representando una actitud musical independiente, en las antípodas de los chicos de Operación Triunfo, que triunfan entre la juventud más conformista.
lunes, 2 de abril de 2007
El teorema de Gödel (2)
La forma de codificar de Gödel es muy interesante.. Escribir una fórmula lógica es permutar una serie de signos en una serie de espacios, de forma que Gödel atribuye un número a cada signo y un número a cada espacio que ocupa el signo. Para los espacios o lugares que ocupan los signos se utilizan los números primos. 2 para el primer lugar, 3 para el segundo, 5 para el tercero, etc. Para los signos números convencionales. Por ejemplo 59 para “f1”, 3 para”(“, 15 para “x1”, 5 para “)”. Así “f1” se codifica con el número 2^59. Que quiere decir “f1 en el primer lugar”. Tengamos por ejemplo
“f1(x1)”
f1 en el 1º lugar= 2^59
( enel 2º lugar= 3^3
x1 en el 3º lugar=5^15
) en el 4º lugar= 7^5
El número que surge de multiplicar (2^59 · 3^3 · 5^15 · 7^5) es el número de Gödel de la fórmula “f1(x1)”.
Hay otra manera menos complicada de poner los números de Gödel. Por ejemplo, supongamos que “a” se traduce como 123, e “=” como 111. Entonces, “a = a” se traduciría como:
123111123
Como se ve, ésta es una forma de reducir todas las fórmulas lógicas, y con ello todas las verdades de la aritmética a números. Pero las verdades de la aritmética tratan sobre números, y estas mismas verdades están codificadas por números. Supongamos que la fórmula 123 dice que “1=0”. (Obviamente, esto es una falsedad). Tengamos, ahora, la fórmula
“a no es un teorema en el sistema de Gödel”
Cuando en esta fórmula el signo a es sustituido por el número 123, tenemos una afirmación ambigua, ya que dice a la vez:
“123 no es un teorema en el sistema de Gödel” y “1=0 no es un teorema en el sistema de Gödel”.
Ahora se trata de construir una cadena que se refiera a sí misma[1]. Por ejemplo, tengamos la siguiente fórmula, donde S0 significa el sucesor de 0, o sea 1:
a = S0
Esta fórmula lleva el número 262,111,123,666. Bueno, pues sustituyamos a por el número 262,111,123,666.
La fórmula quedará así
SSSSSSSSS……SSSSS0= S0
262,111,123,666 eses
Esto demuestra que se puede introducir el número de Gödel de una fórmula dentro de la propia fórmula.
Esto lleva a Gödel a construir un extraña fórmula. Esa fórmula afirma (aproximadamente) lo siguiente:
“La fórmula que lleva el número 15215 no es demostrable”
Pero esa misma fórmula, en la demostración de Gödel, lleva el número 15215. Naturalmente es indiferente que lleve este número u otro, lo fundamental es que existe una fórmula que dice:
“Esta fórmula es indemostrable en el sistema”.
Veamos. Esta fórmula está diciendo una verdad, porque, efectivamente, la fórmula no es demostrable en el sistema. Pero, por mucho que sea verdad, no se puede demostrar, ya que si se demostrara sería mentira. Supongamos que se demuestra: en ese caso está diciendo mentira, ya que afirma su propia indemostrabilidad. Por tanto, es una afirmación verdadera que no es demostrable en el sistema.
Por artificioso que parezca, éste es el principal argumento que se utiliza para demostrar que la inteligencia no es mecanizable.
En la Biblioteca de Gödel hay cuatro tipos de cadenas de signos:
1) los teoremas (las verdades que vienen generadas por el programa)
2) las verdades
3) las cadenas bien formadas
4) el resto de las cadenas de signos
5) los números que no corresponden a números de Gödel
Los teoremas, la clase más restringida, son aquellas verdades que han sido demostradas en el sistema. Como hemos visto, hay proposiciones que son verdaderas pero que no son demostrables en el sistema. El conjunto de las verdades es más amplio que el de las verdades demostrables en el sistema, precisamente por el hecho de que hay verdades que no son demostrables como las paradojas del tipo de la de Gödel. Más amplio aún es el conjunto de las cadenas bien formadas. Pues puede haber una cadena lógica bien formada pero que exprese un significado no verdadero como “A y no A” o “3 + 2= 4”. De hecho, por ejemplo, la expresión “p & ¬p”, que significa, precisamente, “p y no p” es una cadena bien formada de la lógica proposicional, y por ello debe tener un lugar en la biblioteca de Gödel, pero no es un teorema, y ni siquiera una verdad no demostrable. Aún más amplio es el conjunto del resto de las cadenas de signos, es decir, todas aquellas cadenas que están mal construidas, tales como “(((((((((((((“, por ejemplo.
Resumiendo, tendríamos cadenas que expresan un teorema demostrable, lo que podríamos ejemplificar con una oración del tipo “2 + 2 = 4”, tendríamos verdades no demostrables como “Esta afirmación no es demostrable en el sistema”. Tendríamos cadenas bien formadas pero que no son verdades y, por último, cadenas que no están bien formadas. Esta última distinción podríamos ejemplificarla, en el lenguaje natural, con la diferencia entre las frases “Llueve y no llueve” y “lluevxsdfghhjklñ”. La primera es falsa, pero la segunda, simplemente, está mal formada. Tenemos, pues, el conjunto de todas las cadenas, y dentro de él un conjunto más restringido, el de las cadenas bien formadas. Dentro del conjunto de las cadenas bien formadas tenemos el conjunto más restringido de las verdades, y dentro de éste el conjunto aún más restringido de las verdades demostrables en el sistema.
Por último hay números que no son números de Gödel.
La biblioteca de Gödel puede tener un programa para discriminar cuáles son las cadenas bien formadas. Obviamente, tiene un programa para discriminar cuáles son los teoremas, porque un sistema formal que produce teoremas es lo mismo que un programa informático. Pero lo que no tiene es un programa para generar las y sólo las que son verdaderas. El conjunto de las fórmulas bien formadas es recursivamente enumerable, y también lo es el conjunto de los teoremas. Pero el conjunto de las verdades no es recursivamente enumerable.
El teorema de Gödel sufre una autorreflexión del tipo del mapa de Iglaterra que estaba sobre el suelo de Iglaterra, ya que para codificar las verdades acerca de los números naturales utiliza los números naturales. Pero esto genera una autorreflexión que acaba por producir verdades que son indemostrables en el sistema. Es como esa porción del mapa que es irreproducible en el mapa (porque contiene el propio mapa).
[1]Sigo el ejemplo y la demostión de Douglas Hofstadter en "Gödel, Escher, Bach"
“f1(x1)”
f1 en el 1º lugar= 2^59
( enel 2º lugar= 3^3
x1 en el 3º lugar=5^15
) en el 4º lugar= 7^5
El número que surge de multiplicar (2^59 · 3^3 · 5^15 · 7^5) es el número de Gödel de la fórmula “f1(x1)”.
Hay otra manera menos complicada de poner los números de Gödel. Por ejemplo, supongamos que “a” se traduce como 123, e “=” como 111. Entonces, “a = a” se traduciría como:
123111123
Como se ve, ésta es una forma de reducir todas las fórmulas lógicas, y con ello todas las verdades de la aritmética a números. Pero las verdades de la aritmética tratan sobre números, y estas mismas verdades están codificadas por números. Supongamos que la fórmula 123 dice que “1=0”. (Obviamente, esto es una falsedad). Tengamos, ahora, la fórmula
“a no es un teorema en el sistema de Gödel”
Cuando en esta fórmula el signo a es sustituido por el número 123, tenemos una afirmación ambigua, ya que dice a la vez:
“123 no es un teorema en el sistema de Gödel” y “1=0 no es un teorema en el sistema de Gödel”.
Ahora se trata de construir una cadena que se refiera a sí misma[1]. Por ejemplo, tengamos la siguiente fórmula, donde S0 significa el sucesor de 0, o sea 1:
a = S0
Esta fórmula lleva el número 262,111,123,666. Bueno, pues sustituyamos a por el número 262,111,123,666.
La fórmula quedará así
SSSSSSSSS……SSSSS0= S0
262,111,123,666 eses
Esto demuestra que se puede introducir el número de Gödel de una fórmula dentro de la propia fórmula.
Esto lleva a Gödel a construir un extraña fórmula. Esa fórmula afirma (aproximadamente) lo siguiente:
“La fórmula que lleva el número 15215 no es demostrable”
Pero esa misma fórmula, en la demostración de Gödel, lleva el número 15215. Naturalmente es indiferente que lleve este número u otro, lo fundamental es que existe una fórmula que dice:
“Esta fórmula es indemostrable en el sistema”.
Veamos. Esta fórmula está diciendo una verdad, porque, efectivamente, la fórmula no es demostrable en el sistema. Pero, por mucho que sea verdad, no se puede demostrar, ya que si se demostrara sería mentira. Supongamos que se demuestra: en ese caso está diciendo mentira, ya que afirma su propia indemostrabilidad. Por tanto, es una afirmación verdadera que no es demostrable en el sistema.
Por artificioso que parezca, éste es el principal argumento que se utiliza para demostrar que la inteligencia no es mecanizable.
En la Biblioteca de Gödel hay cuatro tipos de cadenas de signos:
1) los teoremas (las verdades que vienen generadas por el programa)
2) las verdades
3) las cadenas bien formadas
4) el resto de las cadenas de signos
5) los números que no corresponden a números de Gödel
Los teoremas, la clase más restringida, son aquellas verdades que han sido demostradas en el sistema. Como hemos visto, hay proposiciones que son verdaderas pero que no son demostrables en el sistema. El conjunto de las verdades es más amplio que el de las verdades demostrables en el sistema, precisamente por el hecho de que hay verdades que no son demostrables como las paradojas del tipo de la de Gödel. Más amplio aún es el conjunto de las cadenas bien formadas. Pues puede haber una cadena lógica bien formada pero que exprese un significado no verdadero como “A y no A” o “3 + 2= 4”. De hecho, por ejemplo, la expresión “p & ¬p”, que significa, precisamente, “p y no p” es una cadena bien formada de la lógica proposicional, y por ello debe tener un lugar en la biblioteca de Gödel, pero no es un teorema, y ni siquiera una verdad no demostrable. Aún más amplio es el conjunto del resto de las cadenas de signos, es decir, todas aquellas cadenas que están mal construidas, tales como “(((((((((((((“, por ejemplo.
Resumiendo, tendríamos cadenas que expresan un teorema demostrable, lo que podríamos ejemplificar con una oración del tipo “2 + 2 = 4”, tendríamos verdades no demostrables como “Esta afirmación no es demostrable en el sistema”. Tendríamos cadenas bien formadas pero que no son verdades y, por último, cadenas que no están bien formadas. Esta última distinción podríamos ejemplificarla, en el lenguaje natural, con la diferencia entre las frases “Llueve y no llueve” y “lluevxsdfghhjklñ”. La primera es falsa, pero la segunda, simplemente, está mal formada. Tenemos, pues, el conjunto de todas las cadenas, y dentro de él un conjunto más restringido, el de las cadenas bien formadas. Dentro del conjunto de las cadenas bien formadas tenemos el conjunto más restringido de las verdades, y dentro de éste el conjunto aún más restringido de las verdades demostrables en el sistema.
Por último hay números que no son números de Gödel.
La biblioteca de Gödel puede tener un programa para discriminar cuáles son las cadenas bien formadas. Obviamente, tiene un programa para discriminar cuáles son los teoremas, porque un sistema formal que produce teoremas es lo mismo que un programa informático. Pero lo que no tiene es un programa para generar las y sólo las que son verdaderas. El conjunto de las fórmulas bien formadas es recursivamente enumerable, y también lo es el conjunto de los teoremas. Pero el conjunto de las verdades no es recursivamente enumerable.
El teorema de Gödel sufre una autorreflexión del tipo del mapa de Iglaterra que estaba sobre el suelo de Iglaterra, ya que para codificar las verdades acerca de los números naturales utiliza los números naturales. Pero esto genera una autorreflexión que acaba por producir verdades que son indemostrables en el sistema. Es como esa porción del mapa que es irreproducible en el mapa (porque contiene el propio mapa).
[1]Sigo el ejemplo y la demostión de Douglas Hofstadter en "Gödel, Escher, Bach"
lunes, 5 de marzo de 2007
Encuestas
Recientemente, se hizo una encuesta en un foro de internet donde salía un 20% de votantes a IU. Teniendo en cuenta que este partido tiene aproximadamente un 5% de los votos, algo estaba mal en la encuesta.
Para que un sondeo tenga valor, debe realizarse aleatoriamente. Los componentes de aquel foro no eran una muestra insesgada de la población. Por ejemplo, gran parte de la población no participa en los foros (personas mayores, no poseedores de ordenador, quizá personas de bajo nivel cultural). Hay otros aspectos, como la ideología de los moderadores del foro (o del medio de comunicación) donde se hace la encuesta, que también pueden influir.
Por ejemplo, hay sondeos en medios afines a la derecha donde el 98% de la gente coincide con las ideas del PP. Esos sondeos están claramente sesgados. Esos sondeos no valen de nada.En algunos casos, en esos programas, hay un sociólogo, que sabe esto, y se calla, prestándose a una payasada.
Hace 70 años hubo una encuesta en EEUU a 2.000.000 de habitantes en que Franklin Delano Roosevelt salía perdedor. Naturalmente Roosevelt ganó. El elemento que hizo que la encuesta fuera sesgada fue que se hizo por telefono, y no todo el mundo tenía telefono.No importa cómo de grande sea una muestra. Si es sesgada no sirve para nada.
De hecho, una muestra puede ser sesgada aunque sea una muestra infinita. Por ejemplo, si yo escojo como muestra todos los números racionales entre 0 y 1, tengo una muestra infinita. Y en esa muestra no existe un sólo número irracional. Sin embargo ¡existen números irracionales entre 0 y 1!
Esto prueba que no sirve de nada que la muestra tenga un tamaño tan grande como se quiera. Si la muestra está sesgada, los resultados no sirven de nada.
Para que un sondeo tenga valor, debe realizarse aleatoriamente. Los componentes de aquel foro no eran una muestra insesgada de la población. Por ejemplo, gran parte de la población no participa en los foros (personas mayores, no poseedores de ordenador, quizá personas de bajo nivel cultural). Hay otros aspectos, como la ideología de los moderadores del foro (o del medio de comunicación) donde se hace la encuesta, que también pueden influir.
Por ejemplo, hay sondeos en medios afines a la derecha donde el 98% de la gente coincide con las ideas del PP. Esos sondeos están claramente sesgados. Esos sondeos no valen de nada.En algunos casos, en esos programas, hay un sociólogo, que sabe esto, y se calla, prestándose a una payasada.
Hace 70 años hubo una encuesta en EEUU a 2.000.000 de habitantes en que Franklin Delano Roosevelt salía perdedor. Naturalmente Roosevelt ganó. El elemento que hizo que la encuesta fuera sesgada fue que se hizo por telefono, y no todo el mundo tenía telefono.No importa cómo de grande sea una muestra. Si es sesgada no sirve para nada.
De hecho, una muestra puede ser sesgada aunque sea una muestra infinita. Por ejemplo, si yo escojo como muestra todos los números racionales entre 0 y 1, tengo una muestra infinita. Y en esa muestra no existe un sólo número irracional. Sin embargo ¡existen números irracionales entre 0 y 1!
Esto prueba que no sirve de nada que la muestra tenga un tamaño tan grande como se quiera. Si la muestra está sesgada, los resultados no sirven de nada.
viernes, 2 de marzo de 2007
El teorema de Gödel (I)
Hofstadter compara el teorema de Gödel a una curiosa idea. Supone un gramófono de alta fidelidad que pueda producir todos los sonidos posibles. El gramófono se llama X y hay un disco que se llama “No puedo ser escuchado por el gramófono X”. Resulta que si se pone ese disco en el gramófono, éste produce unos sonidos que destruyen el propio gramófono. Es posible usar un gramófono de baja fidelidad, que no producirá esos sonidos y no se autodestruirá. Pero entonces ya no será un gramófono que produzca todos los sonidos posibles.
El sistema de Gödel es una parte de la teoría de la computación. Uno de los conceptos fundamentales para entender el tema de la teoría de la computación es lo que los matemáticos llaman conjunto recursivamente enumerable.
¿Qué es un conjunto recursivamente enumerable? Un conjunto A es recursivamente enumerable si la función f(x) :
f(x) = 1 ( si x pertenece a A)
f(x) = indefinido (si x no pertenece a A)
es computable
Que un conjunto sea recursivamente enumerable es equivalente a que el conjunto sea generable por computador. Un conjunto es recursivo, si tanto él como su complemento son recursivamente enumerables.
En muchos casos el concepto de recursivamente enumerable se usa solo para subconjuntos de N (el conjunto de los números naturales). Por ejemplo, los primos son un conjunto recursivo en N. Consideremos otro conjunto, como los números que forman la sucesión de Fibonacci.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Los números de Fibonacci consisten en una serie en la que todo número excepto los dos primeros es la suma de los dos precedentes.
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5= 8
Yo mismo he ideado un programa en Q-Basic que genera la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci es un típico ejemplo de programa sencillo y también un ejemplo de conjunto recursivamente enumerable. De hecho, un conjunto es recursivamente enumerable si puede ser generado por algún programa. En su libro, Hofstadter produce la serie de Fibonacci por lo que él llama una red de transición recursiva. De hecho, la serie de Fibonacci es un programa muy sencillo, que es usado en los lenguajes de programación para aprendices. Consideremos otro programa de Q-Basic . Un programa que produzca la serie de los números primos hasta un número dado, que el usuario debe introducir en el ordenador. Por ejemplo, el conjunto de los números primos es recursivamente enumerable. Pero ¿el conjunto de los números no primos es recursivamente enumerable? Sí, basta con generar un programa que nos dé todo número m, tal que exista un número n (mayor que 1 y menor que m) para el que se cumpla que el resto de m dividido entre n da 0. Cuando sucede a un conjunto que tanto sus elementos como los elementos que no pertenecen a ese conjunto (los primos como los no primos) son generados mediante sus respectivos programas de ordenador, se dice que ese conjunto es recursivo. Se dice también que tanto el conjunto (los primos) como su complementario (los no primos) son recursivamente enumerables. Es decir, que si el conjunto P es recursivamente enumerable y el conjunto complementario de P es, también, recursivamente enumerable, P es recursivo.
Se plantea la interrogante de si todos los conjuntos recursivamente enumerables son, a su vez recursivos. Lo cierto es que no. Existen conjuntos cuyos elementos son generables mediante un programa, pero no tenemos un programa para generar todos y cada uno de los elementos que no pertenecen al conjunto.
Hofstadter supone que tenemos un conjunto I (por ejemplo los primos) y un conjunto O (Por ejemplo, los números compuestos). Juntos I y O abarcan todos los números naturales. El problema es que hay conjuntos en que podemos generar todos los números del conjunto I, pero no hay programa para generar todos los números del conjunto O.
“Es importante fijarse en que, si los miembros del conjunto I fueran generados siempre en orden creciente, podríamos en todo momento caracterizar a O. El problema es que muchos conjuntos r.e. [recursivamente enumerables] son generados a través de métodos
que diseminan los elementos en un orden arbitrario, así que nunca se sabe si un número omitido largo tiempo obtendrá, esperando un poco más, su inclusión”
Si alguien, al tropezar con estas reflexiones, se asombra de que sea posible que tengamos programa para generar un conjunto pero no para generar su complementario, no debe preocuparse, ya que el mismo Hoftadster confiesa su asombro al ver que no todos los complementos de conjuntos recursivamente enumerables eran recursivamente enumerables. Lo compara a una figura, tal que su borde se pudiera discernir, pero no pudiera verse el borde del fondo que hay entorno a la figura.
“Resultó que yo estaba acertado acerca de los primos, pero equivocado en general, lo cual me asombró, y continúa asombrándome todavía hoy”
Por ejemplo, para todo programa, el conjunto de los inputs para los cuales el programa se para es recursivamente enumerable. Pero no es necesariamente recursivo. Por ejemplo, hay muchos programas, que para determinados inputs, se pierden en un bucle infinito.
Gödel supuso que el conjunto de las verdades matemáticas era recursivamente enumerable. y se dispuso a fabricar un sistema lógico (el equivalente de un programa informático) para generar todas las verdades y sólo las verdades de la matemática. Este programa, además, decidiría, dada una proposición matemática, si ésta era verdaera o no.
La idea de Gödel puede parecer, en principio, muy alejada de la de la Biblioteca de Babel, pero, como veremos, tiene algunas semejanzas. (en realidad algo análogo a lo que lo que Gödel se planteaba parece incompatible con la idea que tenemos de la Biblioteca de Babel: se trataría de buscar un procedimiento para discriminar todos los volúmenes de la Biblioteca que dicen verdad). La Biblioteca de Babel no existía en la realidad, pero era un objeto que podíamos imaginar. Del mismo modo, la Biblioteca de Gödel, es decir aquella Biblioteca que contiene todas las verdades de la aritmética es un objeto concebible, ya que Gödel dio las reglas de su codificación. De hecho, para ser más exactos habría que decir que el procedimiento para discriminar cuáles son las verdades en el mundo de la Biblioteca de Gödel es la demostración lógica, que viene a ser una forma restringida y más técnica de la demostración filosófica. La forma de codificar la Biblioteca de Gödel puede parecer alambicada. En primer lugar hay que reducir todas las verdades de la aritmética (en principio, restrinjámoslas a las afirmaciones acerca de números naturales) a fórmulas lógicas. Esto es esencial, ya que si queremos que las verdades de la aritmética sean demostradas hay que reducirlas inevitablemente a fórmulas lógicas. En segundo lugar, Gödel inventa un código por el cual reduce las fórmulas lógicas a números naturales. Tenemos pues tres niveles:
1) En primer lugar todas las verdades aritméticas sobre los números naturales
2) En segundo lugar las fórmulas lógicas que expresan cada una de esas verdades
3) En tercer lugar los números naturales que codifican esas fórmulas lógicas
Aquí encontramos una suerte de autorreflexión, ya que los números naturales sirven para codificar verdades sobre los números naturales. Como veremos, esto dará lugar a una paradoja que será el resultado fundamental de Gödel.
El sistema de Gödel es una parte de la teoría de la computación. Uno de los conceptos fundamentales para entender el tema de la teoría de la computación es lo que los matemáticos llaman conjunto recursivamente enumerable.
¿Qué es un conjunto recursivamente enumerable? Un conjunto A es recursivamente enumerable si la función f(x) :
f(x) = 1 ( si x pertenece a A)
f(x) = indefinido (si x no pertenece a A)
es computable
Que un conjunto sea recursivamente enumerable es equivalente a que el conjunto sea generable por computador. Un conjunto es recursivo, si tanto él como su complemento son recursivamente enumerables.
En muchos casos el concepto de recursivamente enumerable se usa solo para subconjuntos de N (el conjunto de los números naturales). Por ejemplo, los primos son un conjunto recursivo en N. Consideremos otro conjunto, como los números que forman la sucesión de Fibonacci.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Los números de Fibonacci consisten en una serie en la que todo número excepto los dos primeros es la suma de los dos precedentes.
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5= 8
Yo mismo he ideado un programa en Q-Basic que genera la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci es un típico ejemplo de programa sencillo y también un ejemplo de conjunto recursivamente enumerable. De hecho, un conjunto es recursivamente enumerable si puede ser generado por algún programa. En su libro, Hofstadter produce la serie de Fibonacci por lo que él llama una red de transición recursiva. De hecho, la serie de Fibonacci es un programa muy sencillo, que es usado en los lenguajes de programación para aprendices. Consideremos otro programa de Q-Basic . Un programa que produzca la serie de los números primos hasta un número dado, que el usuario debe introducir en el ordenador. Por ejemplo, el conjunto de los números primos es recursivamente enumerable. Pero ¿el conjunto de los números no primos es recursivamente enumerable? Sí, basta con generar un programa que nos dé todo número m, tal que exista un número n (mayor que 1 y menor que m) para el que se cumpla que el resto de m dividido entre n da 0. Cuando sucede a un conjunto que tanto sus elementos como los elementos que no pertenecen a ese conjunto (los primos como los no primos) son generados mediante sus respectivos programas de ordenador, se dice que ese conjunto es recursivo. Se dice también que tanto el conjunto (los primos) como su complementario (los no primos) son recursivamente enumerables. Es decir, que si el conjunto P es recursivamente enumerable y el conjunto complementario de P es, también, recursivamente enumerable, P es recursivo.
Se plantea la interrogante de si todos los conjuntos recursivamente enumerables son, a su vez recursivos. Lo cierto es que no. Existen conjuntos cuyos elementos son generables mediante un programa, pero no tenemos un programa para generar todos y cada uno de los elementos que no pertenecen al conjunto.
Hofstadter supone que tenemos un conjunto I (por ejemplo los primos) y un conjunto O (Por ejemplo, los números compuestos). Juntos I y O abarcan todos los números naturales. El problema es que hay conjuntos en que podemos generar todos los números del conjunto I, pero no hay programa para generar todos los números del conjunto O.
“Es importante fijarse en que, si los miembros del conjunto I fueran generados siempre en orden creciente, podríamos en todo momento caracterizar a O. El problema es que muchos conjuntos r.e. [recursivamente enumerables] son generados a través de métodos
que diseminan los elementos en un orden arbitrario, así que nunca se sabe si un número omitido largo tiempo obtendrá, esperando un poco más, su inclusión”
Si alguien, al tropezar con estas reflexiones, se asombra de que sea posible que tengamos programa para generar un conjunto pero no para generar su complementario, no debe preocuparse, ya que el mismo Hoftadster confiesa su asombro al ver que no todos los complementos de conjuntos recursivamente enumerables eran recursivamente enumerables. Lo compara a una figura, tal que su borde se pudiera discernir, pero no pudiera verse el borde del fondo que hay entorno a la figura.
“Resultó que yo estaba acertado acerca de los primos, pero equivocado en general, lo cual me asombró, y continúa asombrándome todavía hoy”
Por ejemplo, para todo programa, el conjunto de los inputs para los cuales el programa se para es recursivamente enumerable. Pero no es necesariamente recursivo. Por ejemplo, hay muchos programas, que para determinados inputs, se pierden en un bucle infinito.
Gödel supuso que el conjunto de las verdades matemáticas era recursivamente enumerable. y se dispuso a fabricar un sistema lógico (el equivalente de un programa informático) para generar todas las verdades y sólo las verdades de la matemática. Este programa, además, decidiría, dada una proposición matemática, si ésta era verdaera o no.
La idea de Gödel puede parecer, en principio, muy alejada de la de la Biblioteca de Babel, pero, como veremos, tiene algunas semejanzas. (en realidad algo análogo a lo que lo que Gödel se planteaba parece incompatible con la idea que tenemos de la Biblioteca de Babel: se trataría de buscar un procedimiento para discriminar todos los volúmenes de la Biblioteca que dicen verdad). La Biblioteca de Babel no existía en la realidad, pero era un objeto que podíamos imaginar. Del mismo modo, la Biblioteca de Gödel, es decir aquella Biblioteca que contiene todas las verdades de la aritmética es un objeto concebible, ya que Gödel dio las reglas de su codificación. De hecho, para ser más exactos habría que decir que el procedimiento para discriminar cuáles son las verdades en el mundo de la Biblioteca de Gödel es la demostración lógica, que viene a ser una forma restringida y más técnica de la demostración filosófica. La forma de codificar la Biblioteca de Gödel puede parecer alambicada. En primer lugar hay que reducir todas las verdades de la aritmética (en principio, restrinjámoslas a las afirmaciones acerca de números naturales) a fórmulas lógicas. Esto es esencial, ya que si queremos que las verdades de la aritmética sean demostradas hay que reducirlas inevitablemente a fórmulas lógicas. En segundo lugar, Gödel inventa un código por el cual reduce las fórmulas lógicas a números naturales. Tenemos pues tres niveles:
1) En primer lugar todas las verdades aritméticas sobre los números naturales
2) En segundo lugar las fórmulas lógicas que expresan cada una de esas verdades
3) En tercer lugar los números naturales que codifican esas fórmulas lógicas
Aquí encontramos una suerte de autorreflexión, ya que los números naturales sirven para codificar verdades sobre los números naturales. Como veremos, esto dará lugar a una paradoja que será el resultado fundamental de Gödel.
jueves, 1 de marzo de 2007
Las paradojas de la lógica y los ordenadores
Uno de los problemas fundamentales de las matemáticas son las paradojas. Un ejemplo visual de lo que es una paradoja es la llamada paradoja del mapa, citada por Borges en su ensayo “Magias parciales del Quijote”
“Las invenciones de la filosofía no son menos fantásticas que las del arte: Josiah Royce, en el primer volumen de la obra The world and the individual (1899), ha formulado la siguiente: ‘Imaginemos que una porción del suelo de Inglaterra ha sido nivelada perfectamente y que en ella traza un cartógrafo un mapa de Inglaterra. La obra es perfecta; no hay detalle del suelo de Inglaterra, por diminuto que sea, que no esté registrado en el mapa; todo tiene ahí su correspondencia. Este mapa, en tal caso, debe contener un mapa del mapa, que debe contener un mapa del mapa del mapa, y así hasta lo infinito’...”
Un ejemplo literario de paradoja autorreflexiva aparece en la novela Cien años de soledad. Al final de Cien años de soledad de García Márquez, un personaje descifra unas escrituras cuyo contenido es precisamente Cien años de soledad. ¿Cómo la novela Cien años de soledad puede ser un libro que está dentro de la propia novela? Igualmente, el Quijote aparece dentro del Quijote como una novela.
Estas paradojas son formas gráficas de visualizar lo que son las verdaderas paradojas de la matemática.
La mayoría de las paradojas están relacionadas con el tema de la autorreflexión. Se trata de oraciones que, de algún modo, se refieren a sí mismas (del mismo modo que el mapa de Inglaterra contenía un mapa de sí mismo). Una paradoja célebre surge de la siguiente frase:
El número más pequeño que no se puede expresar con menos de 25 símbolos
Pero esta frase define a ese número con menos de 25 símbolos (si una palabra es igual a un símbolo), por lo que se produce, una situación paradójica. Algo parecido sucede con la siguiente frase:
Los números a los que no se hace referencia en esta frase
Efectivamente, si la frase no hace referencia a un número, entonces hace referencia a él. Y si hace referencia a él, entonces no hace referencia a él. Hay otra frase muy curiosa, la siguiente:
Estha fraze tiene tres errores
¿Dónde está el tercer error? Resulta que el tercer error es que el enunciado de la frase dice que la frase tiene tres errores, cuando solo tiene dos. Pero si esto es verdadero, ¡entonces decir que hay tres errores ya no es un error! Por tanto habría dos errores. Un momento ¡pero entonces hay tres errores! Esto no acaba nunca.
Otras paradojas, más al nivel del lenguaje común, pueden ser: Perdonen las disculpas. O la frase ¿Contestará a esta pregunta con un no? (esto me recuerda el chiste del gallego al que le preguntan si es verdad que los gallegos nunca contestan claramente con un sí o un no, y el gallego contesta: “No sé, puede”).
Imaginemos la frase:
Este enunciado no es autorreferente
No existe una forma de que un enunciado explicite el hecho de no ser autorreferente, sin que el enunciado sea autorreferente. De parejo modo, no hay forma de decir que un objeto no existe sin otorgarle una existencia como objeto del lenguaje (pensemos que tenemos símbolos para hablar de cosas que nadie ha visto, como Dios o el conjunto vacío).
El problema de las proposiciones autorreflexivas es que pueden analizarse de dos formas contradictorias. Por ejemplo, véase la proposición “Este enunciado es falso”.
1) Este enunciado Es falso
-----sujeto----------- predicado
Ésta sería una lectura sintáctica (hablando según lo haría un lingüista más que como un lógico). Hasta aquí no hay ningún problema. No es para hacerse ilusiones, ciertamente, ya que esto también es cierto para “Las ideas verdes duermen furiosamente”. Bien, desde el punto de vista sintáctico la frase es correcta. Ahora bien, si hacemos una lectura semántica, nos encontramos con que, la estructura profunda de esta oración sería:
2) “Este enunciado es falso” Es falso
----------sujeto------------------ predicado
Puesto que el enunciado es autorreferente. Si el argumento “Este enunciado es falso” es falso, entonces, por el principio del tercio excluso, no tiene más remedio que ser verdadero. Pero, en cuanto verdadero, no hace otra cosa que afirmar su propia falsedad.
.¿Qué sucede con nuestros amigos los ordenadores? ¿Entienden las paradojas? Pues va a ser que no. Un computador tiene unos transistores, cada uno de los cuales, tiene dos estados, encendido y apagado. No puede ser que un transistor esté, a la vez, encendido y apagado. El computador asigna un valor de verdad a una proposición, 1 ó 0, pero no puede asignarle, a la vez, los dos valores de verdad. Suponiendo que pudiéramos comunicar al computador una paradoja (algo complicado) lo más probable es que éste quedara en un estado en el que se perdería en un bucle infinito.
¿Qué es un bucle infinito? Una analogía se encuentra en el ensayo de Borges “Magias parciales del Quijote”.
“Algo parecido ha obrado el azar en Las Mil y Una Noches. Esta compilación de historias fantásticas duplica y reduplica hasta el vértigo la ramificación de un cuento central en cuentos adventicios, pero no trata de graduar sus realidades, y el efecto (que debió ser muy profundo) es superficial, como una alfombra persa. Es conocida la historia liminar de la serie: el desolado juramento del rey, que cada noche se desposa con una virgen que hace decapitar en el alba, y la resolución de Shahrazad, que lo distrae con fábulas, hasta que encima de los dos han girado mil y una noches y ella le muestra su hijo. La necesidad de copiar mil y un secciones obligó a los copistas de la obra a interpolaciones de todas clases. Ninguna tan perturbadora como la de la noche 602, mágica entre las noches. En esta noche, el rey oye de boca de la reina su propia historia. Oye el principio de la historia, que abarca a todas las demás, y también -de monstruoso modo- a sí misma. ¿Intuye claramente el lector la vasta posibilidad de esa interpolación, el curioso peligro? Que la reina persista y el inmóvil rey oirá para siempre la trunca historia de Las Mil y Una Noches, ahora infinita y circular...”
En un bucle infinito, el ordenador hace lo siguiente: Se encuentra en un proceso que, en un momento dado X, le manda recomenzar el proceso hasta que llega a X donde vuelve a recomenzar el proceso hasta que llega a X...¿tiene esto final? No, naturalmente, salvo que en muchos casos el ordenador nos dice que la memoria ha sido desbordada.
El hecho de que los ordenadores se metan en un bucle infinito cuando aparece una paradoja nos indica que no pueden entenderla. Esto aparece explicitado en famosos descubrimientos matemáticos como el teorema de Gödel o el problema de la parada de las máquinas de Turing.
“Las invenciones de la filosofía no son menos fantásticas que las del arte: Josiah Royce, en el primer volumen de la obra The world and the individual (1899), ha formulado la siguiente: ‘Imaginemos que una porción del suelo de Inglaterra ha sido nivelada perfectamente y que en ella traza un cartógrafo un mapa de Inglaterra. La obra es perfecta; no hay detalle del suelo de Inglaterra, por diminuto que sea, que no esté registrado en el mapa; todo tiene ahí su correspondencia. Este mapa, en tal caso, debe contener un mapa del mapa, que debe contener un mapa del mapa del mapa, y así hasta lo infinito’...”
Un ejemplo literario de paradoja autorreflexiva aparece en la novela Cien años de soledad. Al final de Cien años de soledad de García Márquez, un personaje descifra unas escrituras cuyo contenido es precisamente Cien años de soledad. ¿Cómo la novela Cien años de soledad puede ser un libro que está dentro de la propia novela? Igualmente, el Quijote aparece dentro del Quijote como una novela.
Estas paradojas son formas gráficas de visualizar lo que son las verdaderas paradojas de la matemática.
La mayoría de las paradojas están relacionadas con el tema de la autorreflexión. Se trata de oraciones que, de algún modo, se refieren a sí mismas (del mismo modo que el mapa de Inglaterra contenía un mapa de sí mismo). Una paradoja célebre surge de la siguiente frase:
El número más pequeño que no se puede expresar con menos de 25 símbolos
Pero esta frase define a ese número con menos de 25 símbolos (si una palabra es igual a un símbolo), por lo que se produce, una situación paradójica. Algo parecido sucede con la siguiente frase:
Los números a los que no se hace referencia en esta frase
Efectivamente, si la frase no hace referencia a un número, entonces hace referencia a él. Y si hace referencia a él, entonces no hace referencia a él. Hay otra frase muy curiosa, la siguiente:
Estha fraze tiene tres errores
¿Dónde está el tercer error? Resulta que el tercer error es que el enunciado de la frase dice que la frase tiene tres errores, cuando solo tiene dos. Pero si esto es verdadero, ¡entonces decir que hay tres errores ya no es un error! Por tanto habría dos errores. Un momento ¡pero entonces hay tres errores! Esto no acaba nunca.
Otras paradojas, más al nivel del lenguaje común, pueden ser: Perdonen las disculpas. O la frase ¿Contestará a esta pregunta con un no? (esto me recuerda el chiste del gallego al que le preguntan si es verdad que los gallegos nunca contestan claramente con un sí o un no, y el gallego contesta: “No sé, puede”).
Imaginemos la frase:
Este enunciado no es autorreferente
No existe una forma de que un enunciado explicite el hecho de no ser autorreferente, sin que el enunciado sea autorreferente. De parejo modo, no hay forma de decir que un objeto no existe sin otorgarle una existencia como objeto del lenguaje (pensemos que tenemos símbolos para hablar de cosas que nadie ha visto, como Dios o el conjunto vacío).
El problema de las proposiciones autorreflexivas es que pueden analizarse de dos formas contradictorias. Por ejemplo, véase la proposición “Este enunciado es falso”.
1) Este enunciado Es falso
-----sujeto----------- predicado
Ésta sería una lectura sintáctica (hablando según lo haría un lingüista más que como un lógico). Hasta aquí no hay ningún problema. No es para hacerse ilusiones, ciertamente, ya que esto también es cierto para “Las ideas verdes duermen furiosamente”. Bien, desde el punto de vista sintáctico la frase es correcta. Ahora bien, si hacemos una lectura semántica, nos encontramos con que, la estructura profunda de esta oración sería:
2) “Este enunciado es falso” Es falso
----------sujeto------------------ predicado
Puesto que el enunciado es autorreferente. Si el argumento “Este enunciado es falso” es falso, entonces, por el principio del tercio excluso, no tiene más remedio que ser verdadero. Pero, en cuanto verdadero, no hace otra cosa que afirmar su propia falsedad.
.¿Qué sucede con nuestros amigos los ordenadores? ¿Entienden las paradojas? Pues va a ser que no. Un computador tiene unos transistores, cada uno de los cuales, tiene dos estados, encendido y apagado. No puede ser que un transistor esté, a la vez, encendido y apagado. El computador asigna un valor de verdad a una proposición, 1 ó 0, pero no puede asignarle, a la vez, los dos valores de verdad. Suponiendo que pudiéramos comunicar al computador una paradoja (algo complicado) lo más probable es que éste quedara en un estado en el que se perdería en un bucle infinito.
¿Qué es un bucle infinito? Una analogía se encuentra en el ensayo de Borges “Magias parciales del Quijote”.
“Algo parecido ha obrado el azar en Las Mil y Una Noches. Esta compilación de historias fantásticas duplica y reduplica hasta el vértigo la ramificación de un cuento central en cuentos adventicios, pero no trata de graduar sus realidades, y el efecto (que debió ser muy profundo) es superficial, como una alfombra persa. Es conocida la historia liminar de la serie: el desolado juramento del rey, que cada noche se desposa con una virgen que hace decapitar en el alba, y la resolución de Shahrazad, que lo distrae con fábulas, hasta que encima de los dos han girado mil y una noches y ella le muestra su hijo. La necesidad de copiar mil y un secciones obligó a los copistas de la obra a interpolaciones de todas clases. Ninguna tan perturbadora como la de la noche 602, mágica entre las noches. En esta noche, el rey oye de boca de la reina su propia historia. Oye el principio de la historia, que abarca a todas las demás, y también -de monstruoso modo- a sí misma. ¿Intuye claramente el lector la vasta posibilidad de esa interpolación, el curioso peligro? Que la reina persista y el inmóvil rey oirá para siempre la trunca historia de Las Mil y Una Noches, ahora infinita y circular...”
En un bucle infinito, el ordenador hace lo siguiente: Se encuentra en un proceso que, en un momento dado X, le manda recomenzar el proceso hasta que llega a X donde vuelve a recomenzar el proceso hasta que llega a X...¿tiene esto final? No, naturalmente, salvo que en muchos casos el ordenador nos dice que la memoria ha sido desbordada.
El hecho de que los ordenadores se metan en un bucle infinito cuando aparece una paradoja nos indica que no pueden entenderla. Esto aparece explicitado en famosos descubrimientos matemáticos como el teorema de Gödel o el problema de la parada de las máquinas de Turing.
miércoles, 28 de febrero de 2007
Isomorfismos o el mapa del imperio
Uno de los más bellos cuentos de Borges es “Del rigor de la ciencia”, el famoso cuento en que aparece el mapa del Imperio que es del tamaño del Imperio
“...En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas".
El cuento de Borges tiene paralelos en las matemáticas. Por ejemplo, en el isomorfismo entre dos estructuras.
Cuando descubrimos un isomorfismo entre dos estructuras, lo que sucede es que el estudio de una puede reducirse al de la otra. Hemos descubierto una analogía entre dos estructuras, que dos estructuras son la misma en algún aspecto.
En cierto modo es como si una de las estructuras fuera un mapa de la otra estructura, de forma que todas las ciudades y todas las carreteras entre las ciudades de la estructura A tienen equivalente en la estructura B.
Las estructuras isomórficas son matemáticamente equivalentes, cualquiera que sea la naturaleza de sus elementos. Del conjunto de ellas puede tomarse una cualquiera como modelo.
Los resultados que sobre esta estructura modelo se consignan, son directamente aplicables a cualquier otra estructura isomorfa a ella, sin más que "traducir" la naturaleza de sus elementos y relaciones.
Cuando estudiaba Filosofía, teníamos una asignatura llamada Filosofía y Matemáticas. Yo no me enteraba de nada en esa asignatura, hasta que vimos el concepto de isomorfismo y el de álgebra booleana. La profesora dijo que había una cosa que habíamos estudiado ya que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo me di cuenta de que era la lógica proposicional.
A partir de ahí sentí que ya no estaba tan perdido en la asignatura, y además, incluso me empezó a entrar una afición por las matemáticas, cosa que no había tenido nunca.
En cierto modo el pensamiento matemático surge de esa manera, cuando descubrimos analogías entre las cosas nuevas que todavía no conocemos, y las cosas que conocemos bien.
En un lenguaje coloquial, también utilizamos la analogía, que es una especie de isomorfismo. Por ejemplo, llamamos a una constelación el Can, o la Osa Mayor, porque recuerdan a un perro o a una osa. Son a los cielos, lo que los animales a la vida terrestre. “Valdano es el Cicerón del fútbol”. Es decir, Valdano ocupa en el fútbol la misma posición que Cicerón en la filosofía.
En las matemáticas se dan los únicos ejemplos verdaderos de isomorfismo. Así por ejemplo, la lógica proposicional es isomorfa a un álgebra booleana y, al mismo tiempo, el álgebra booleana lo es a un álgebra de conjuntos.
El álgebra booleana es un álgebra especial que opera con sólo dos números, 1 y 0. Sus leyes son diferentes a las del álgebra habitual
La teoría de conjuntos tiene su jerga particular. Por ejemplo, habla de intersección y unión. Por ejemplo, la intersección del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los españoles que son negros. La unión del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los que o bien son españoles o bien son negros (o bien ambas cosas).
El conjunto universal son todos los elementos del universo: en este caso sería todos los hombres y las mujeres, toda la humanidad. El complementario de un conjunto son los elementos que no pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo el complementario del conjunto de los españoles son todos los hombres y mujeres que no son españoles. Por último, el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento.
En la proyección del álgebra booleana sobre el álgebra de conjuntos decimos que el 1 es el conjunto universal; y el 0, el conjunto vacío. Se pueden, pues, trasladar conceptos de las leyes del álgebra booleana al álgebra de conjuntos. Así, “a·1= a” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto universal es el conjunto a. “a·0= 0” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto vacío es el conjunto vacío. “a+1=1” (ley que no es válida en el álgebra habitual, pero sí en el álgebra booleana, donde no existe un número mayor que 1) quiere decir que la unión del conjunto a y el conjunto universal es el conjunto universal. “a+0=a” quiere decir que la unión de a y el conjunto vacío es a.
(Recuerdo que estuve matriculado una asignatura que trataba sobre isomorfismos, llamada Teoría de Modelos. De forma asombrosa para tratarse de una difícil asignatura de lógica, se había apuntado un montón e gente. La gente que cogía esa asignatura no era de Filosofía. Era gente de otras carreras que cogía la asignatura como de libre elección. Al parecer, había algunos niños y niñas de Pedagogía que creían que esa asignatura enseñaba a ser modelo de pasarela. Que era como una escuela de modelaje).
La idea de isomorfismo se puede trasladar a las ciencias naturales. Así pues, si la ciencia hace predicciones sobre la realidad, es porque debe haber un isomorfismo entre la teoría científica y la realidad.
La apoteosis de la descripción científica sería una copia a escala 1:1 del objeto que se quiere describir, tal como lo ejemplifica Borges. El mejor mapa del imperio sería un mapa del mismo tamaño que el imperio. El mejor modelo del universo sería otro universo exactamente igual que el actual. (Ya Platón decía que la mejor descripción de Cratilo, sería otro Cratilo).
Naturalmente, lo que Borges evidencia es que esto son absurdos. Lo que la ciencia busca, en realidad, son unas ecuaciones que describan con fidelidad una serie limitada de fenómenos no la totalidad de las cosas.
Ian Stewart (¿Juega Dios a los dados?. Barcelona, Crítica, 2001) imagina un computador que calculara todas las variables del universo en un instante, para predecir cual sería el universo en el siguiente instante. Uno de los problemas que se plantea es dónde escribiría el computador los datos, ya que tiene que manejar como mínimo seis variables, la posición y la velocidad, para cada partícula del universo.
Además, el computador debería estar fuera del universo, porque si no, el hecho de hacer el cálculo afectaría al estado del universo, por lo que la computadora se metería en un bucle infinito, pues debería calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular, así ad infinitum.
Una paradoja semejante la propone Hofstadter (The Mind’s I). Supongamos que Aquiles quiere saberlo todo sobre el estado de su cerebro. Lee un libro donde aparece pormenorizadamente el estado neuronal de Aquiles, neurona por neurona y sinapsis por sinapsis. Entonces conoce el estado del cerebro de Aquiles antes de leer el libro. Porque, por el hecho de leerlo, su estado cerebral ha variado.
Naturalmente, lo que se saca como conclusión es que la ciencia hace una simplificación del mundo, un modelo a escala reducida. De ahí las imperfecciones de la ciencia. Pero, también, gracias a ello es que la ciencia resulta manejable.
“...En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas".
El cuento de Borges tiene paralelos en las matemáticas. Por ejemplo, en el isomorfismo entre dos estructuras.
Cuando descubrimos un isomorfismo entre dos estructuras, lo que sucede es que el estudio de una puede reducirse al de la otra. Hemos descubierto una analogía entre dos estructuras, que dos estructuras son la misma en algún aspecto.
En cierto modo es como si una de las estructuras fuera un mapa de la otra estructura, de forma que todas las ciudades y todas las carreteras entre las ciudades de la estructura A tienen equivalente en la estructura B.
Las estructuras isomórficas son matemáticamente equivalentes, cualquiera que sea la naturaleza de sus elementos. Del conjunto de ellas puede tomarse una cualquiera como modelo.
Los resultados que sobre esta estructura modelo se consignan, son directamente aplicables a cualquier otra estructura isomorfa a ella, sin más que "traducir" la naturaleza de sus elementos y relaciones.
Cuando estudiaba Filosofía, teníamos una asignatura llamada Filosofía y Matemáticas. Yo no me enteraba de nada en esa asignatura, hasta que vimos el concepto de isomorfismo y el de álgebra booleana. La profesora dijo que había una cosa que habíamos estudiado ya que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo me di cuenta de que era la lógica proposicional.
A partir de ahí sentí que ya no estaba tan perdido en la asignatura, y además, incluso me empezó a entrar una afición por las matemáticas, cosa que no había tenido nunca.
En cierto modo el pensamiento matemático surge de esa manera, cuando descubrimos analogías entre las cosas nuevas que todavía no conocemos, y las cosas que conocemos bien.
En un lenguaje coloquial, también utilizamos la analogía, que es una especie de isomorfismo. Por ejemplo, llamamos a una constelación el Can, o la Osa Mayor, porque recuerdan a un perro o a una osa. Son a los cielos, lo que los animales a la vida terrestre. “Valdano es el Cicerón del fútbol”. Es decir, Valdano ocupa en el fútbol la misma posición que Cicerón en la filosofía.
En las matemáticas se dan los únicos ejemplos verdaderos de isomorfismo. Así por ejemplo, la lógica proposicional es isomorfa a un álgebra booleana y, al mismo tiempo, el álgebra booleana lo es a un álgebra de conjuntos.
El álgebra booleana es un álgebra especial que opera con sólo dos números, 1 y 0. Sus leyes son diferentes a las del álgebra habitual
La teoría de conjuntos tiene su jerga particular. Por ejemplo, habla de intersección y unión. Por ejemplo, la intersección del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los españoles que son negros. La unión del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los que o bien son españoles o bien son negros (o bien ambas cosas).
El conjunto universal son todos los elementos del universo: en este caso sería todos los hombres y las mujeres, toda la humanidad. El complementario de un conjunto son los elementos que no pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo el complementario del conjunto de los españoles son todos los hombres y mujeres que no son españoles. Por último, el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento.
En la proyección del álgebra booleana sobre el álgebra de conjuntos decimos que el 1 es el conjunto universal; y el 0, el conjunto vacío. Se pueden, pues, trasladar conceptos de las leyes del álgebra booleana al álgebra de conjuntos. Así, “a·1= a” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto universal es el conjunto a. “a·0= 0” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto vacío es el conjunto vacío. “a+1=1” (ley que no es válida en el álgebra habitual, pero sí en el álgebra booleana, donde no existe un número mayor que 1) quiere decir que la unión del conjunto a y el conjunto universal es el conjunto universal. “a+0=a” quiere decir que la unión de a y el conjunto vacío es a.
(Recuerdo que estuve matriculado una asignatura que trataba sobre isomorfismos, llamada Teoría de Modelos. De forma asombrosa para tratarse de una difícil asignatura de lógica, se había apuntado un montón e gente. La gente que cogía esa asignatura no era de Filosofía. Era gente de otras carreras que cogía la asignatura como de libre elección. Al parecer, había algunos niños y niñas de Pedagogía que creían que esa asignatura enseñaba a ser modelo de pasarela. Que era como una escuela de modelaje).
La idea de isomorfismo se puede trasladar a las ciencias naturales. Así pues, si la ciencia hace predicciones sobre la realidad, es porque debe haber un isomorfismo entre la teoría científica y la realidad.
La apoteosis de la descripción científica sería una copia a escala 1:1 del objeto que se quiere describir, tal como lo ejemplifica Borges. El mejor mapa del imperio sería un mapa del mismo tamaño que el imperio. El mejor modelo del universo sería otro universo exactamente igual que el actual. (Ya Platón decía que la mejor descripción de Cratilo, sería otro Cratilo).
Naturalmente, lo que Borges evidencia es que esto son absurdos. Lo que la ciencia busca, en realidad, son unas ecuaciones que describan con fidelidad una serie limitada de fenómenos no la totalidad de las cosas.
Ian Stewart (¿Juega Dios a los dados?. Barcelona, Crítica, 2001) imagina un computador que calculara todas las variables del universo en un instante, para predecir cual sería el universo en el siguiente instante. Uno de los problemas que se plantea es dónde escribiría el computador los datos, ya que tiene que manejar como mínimo seis variables, la posición y la velocidad, para cada partícula del universo.
Además, el computador debería estar fuera del universo, porque si no, el hecho de hacer el cálculo afectaría al estado del universo, por lo que la computadora se metería en un bucle infinito, pues debería calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular, así ad infinitum.
Una paradoja semejante la propone Hofstadter (The Mind’s I). Supongamos que Aquiles quiere saberlo todo sobre el estado de su cerebro. Lee un libro donde aparece pormenorizadamente el estado neuronal de Aquiles, neurona por neurona y sinapsis por sinapsis. Entonces conoce el estado del cerebro de Aquiles antes de leer el libro. Porque, por el hecho de leerlo, su estado cerebral ha variado.
Naturalmente, lo que se saca como conclusión es que la ciencia hace una simplificación del mundo, un modelo a escala reducida. De ahí las imperfecciones de la ciencia. Pero, también, gracias a ello es que la ciencia resulta manejable.
miércoles, 21 de febrero de 2007
Geometría e inducción
Creo que algunas leyes abstractas se pueden explicar de maneras intuitivas, geométricas. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la multiplicación.El resultado 5·3=3·5 se puede ver con el siguiente dibujo:
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o o o o o
La propiedad conmutativa consiste en que, al girar este objeto 90º, sigue habiendo igual número de o´s. (Esto se puede mostrar también, por ejemplo, con latas de coca cola).La propiedad de que 1 +3 +5 + 2n-1= n^2 se puede mostrar con la siguiente sucesión de figuras (que se pueden figurar, con latas de coca cola, de manera que formen verdaderos cuadrados):
o
o o
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Naturalmente que (para probar este resultado) se necesita inducción. Pero eso puede llegar mucho más adelante. Lo esencial es despertar la curiosidad sobre las matemáticas. Las demostraciones pueden llegar en una etapa posterior.
La demostración por inducción funciona de la siguiente mamera
Hay que demostrar que si
1 + 3 +5…+(2n-1) = n^2
entonces
1 + 3 +5…+ n+ (2n+1) = (n+1)^2
Pero, sumando (2n+1) en el primer y segundo miembro de la primera igualdad tenemos que:
1 + 3 +5…+ (2n-1) + (2n+1) = n^2 + (2n +1)
Pero, efectivamente, (n+1)^2 = n ^2 + 2n +1 Por tanto, hemos demostrado que ambas sucesiones son equivalentes para cualquier número natural.
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La propiedad conmutativa consiste en que, al girar este objeto 90º, sigue habiendo igual número de o´s. (Esto se puede mostrar también, por ejemplo, con latas de coca cola).La propiedad de que 1 +3 +5 + 2n-1= n^2 se puede mostrar con la siguiente sucesión de figuras (que se pueden figurar, con latas de coca cola, de manera que formen verdaderos cuadrados):
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Naturalmente que (para probar este resultado) se necesita inducción. Pero eso puede llegar mucho más adelante. Lo esencial es despertar la curiosidad sobre las matemáticas. Las demostraciones pueden llegar en una etapa posterior.
La demostración por inducción funciona de la siguiente mamera
Hay que demostrar que si
1 + 3 +5…+(2n-1) = n^2
entonces
1 + 3 +5…+ n+ (2n+1) = (n+1)^2
Pero, sumando (2n+1) en el primer y segundo miembro de la primera igualdad tenemos que:
1 + 3 +5…+ (2n-1) + (2n+1) = n^2 + (2n +1)
Pero, efectivamente, (n+1)^2 = n ^2 + 2n +1 Por tanto, hemos demostrado que ambas sucesiones son equivalentes para cualquier número natural.
sábado, 17 de febrero de 2007
El infinito de Cantor
La teoría de Cantor se basa en la idea de que un conjunto es infinito si puede ponerse en aplicación biyectiva con un subconjunto de sí mismo.
La aplicación biyectiva consiste en hacer corresponder a cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo.
Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 4
Al 3 corresponde el 6
Al 4 corresponde el 8
Esto es una aplicación biyectiva entre los números naturales y los pares
Hay una paradoja acerca de esto. Imagínense un hotel de infinitas habitaciones, en el que todas las habitaciones están ocupadas. Llega alguien al hotel, y no hay habitación para él. El dueño del hotel cambia al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 3, al de de la habitación 3 a la habitación 4. Pregunta: ¿en qué habitación se metería al nuevo huésped? El dueño podría meter en el hotel, incluso, al doble de huéspedes. Cambiaría al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 4, al de de la habitación 3 a la habitación 6…..y así tendría desalojadas la mitad de las habitaciones del hotel, con el objeto de incluir nuevos huéspedes.
Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.
0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766
Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números
El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).
Si se tratara de establecer una aplicación biyectiva entre los números naturales y los reales, se agotaría la serie de los números naturales (suponiendo que esto fuera posible, pero no lo es) antes de que se pudiera recorrer en su totalidad el subconjunto de R que comprende tan sólo a los números reales comprendidos entre 0 y 1. Podría suponerse que esto es debido a que, dados dos números reales, por próximos que estén, siempre existe otro entre ellos. Pero esto no es así. El conjunto de los números racionales es un conjunto denso (entre dos números racionales, por muy cerca que estén, siempre se puede encontrar otro). Pero, sin embargo, existe una forma de ordenar el conjunto Q de los racionales de tal manera que pueda establecerse una aplicación biyectiva entre el conjunto de los racionales y el conjunto de los naturales.
1/1
2/1
1/2
1/3
2/2
3/1
4/1
3/2
2/3
1/4
1/5
……..
Esto no sucede con respecto al conjunto de los reales. Como dice Carl Boyer:
“Tanto Galileo como Leibniz habían pensado que la ‘continuidad’ de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, es decir, del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera hay siempre otro. Sin embargo, los números racionales gozan de esta propiedad a pesar de que no forman obviamente un continuo”
No hay que confundir la densidad con la no numerabilidad. Podría pensarse que los números reales no sean muchos más que los racionales, ya que éstos también tienen una expresión decimal infinita. Pero hay que tener en cuenta que los racionales suelen tener expresiones decimales periódicas, es decir más ordenadas que los irracionales (que son la mayoría de los reales, los reales que no son racionales). Así, por ejemplo, la expresión decimal de 1/ 3 es 0,33333... Hay muchas más formas desordenadas que ordenadas (como en el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel”, donde aparecen todos los libros posibles mediante variaciones de todas las letras del alfabeto y los libros inteligibles son una minoría) y por eso debe haber más irracionales que racionales. Además, hay que tener en cuenta que un conjunto es enumerable si puede ordenarse uno a uno con el de los números naturales, y esto, que sucede a los racionales (como hemos visto), la prueba de Cantor demuestra que no puede suceder a los reales.
En algún caso se ha sugerido aplicar el método diagonal a los racionales. Tengamos una lista de todos los racionales:
0,12345…
0,23450…
0,01234…
0,54321…
0,23451…
Aquí, nada garantiza que el número diagonal 0,24332 sea racional. Podría ser perfectamente un irracional. Véase el siguiente ejemplo
0,66666
0,33333
0,50000
0,25000
0,77777
Los números de la lista son todos periódicos, y en cambio en la diagonal no es posible discernir ningún tipo de periodicidad.
Claro que si vamos sacando nuevos dígitos podría encontrarse la periodicidad del número diagonal (pero es mucho más probable no encontrarla).
El procedimiento diagonal se puede aplicar a los irracionales, pero no a los racionales. Sucede algo parecido con la demostración de que no existe una enumeración efectiva de las funciones recursivas totales de una variable (que utiliza un método diagonal). Como se sabe, esa prueba no se puede aplicar a las recursivas parciales. Porque para las funciones recursivas parciales no podemos garantizar que la máquina de Turing dé un resultado.
La aplicación biyectiva consiste en hacer corresponder a cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo.
Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 4
Al 3 corresponde el 6
Al 4 corresponde el 8
Esto es una aplicación biyectiva entre los números naturales y los pares
Hay una paradoja acerca de esto. Imagínense un hotel de infinitas habitaciones, en el que todas las habitaciones están ocupadas. Llega alguien al hotel, y no hay habitación para él. El dueño del hotel cambia al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 3, al de de la habitación 3 a la habitación 4. Pregunta: ¿en qué habitación se metería al nuevo huésped? El dueño podría meter en el hotel, incluso, al doble de huéspedes. Cambiaría al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 4, al de de la habitación 3 a la habitación 6…..y así tendría desalojadas la mitad de las habitaciones del hotel, con el objeto de incluir nuevos huéspedes.
Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.
0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766
Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números
El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).
Si se tratara de establecer una aplicación biyectiva entre los números naturales y los reales, se agotaría la serie de los números naturales (suponiendo que esto fuera posible, pero no lo es) antes de que se pudiera recorrer en su totalidad el subconjunto de R que comprende tan sólo a los números reales comprendidos entre 0 y 1. Podría suponerse que esto es debido a que, dados dos números reales, por próximos que estén, siempre existe otro entre ellos. Pero esto no es así. El conjunto de los números racionales es un conjunto denso (entre dos números racionales, por muy cerca que estén, siempre se puede encontrar otro). Pero, sin embargo, existe una forma de ordenar el conjunto Q de los racionales de tal manera que pueda establecerse una aplicación biyectiva entre el conjunto de los racionales y el conjunto de los naturales.
1/1
2/1
1/2
1/3
2/2
3/1
4/1
3/2
2/3
1/4
1/5
……..
Esto no sucede con respecto al conjunto de los reales. Como dice Carl Boyer:
“Tanto Galileo como Leibniz habían pensado que la ‘continuidad’ de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, es decir, del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera hay siempre otro. Sin embargo, los números racionales gozan de esta propiedad a pesar de que no forman obviamente un continuo”
No hay que confundir la densidad con la no numerabilidad. Podría pensarse que los números reales no sean muchos más que los racionales, ya que éstos también tienen una expresión decimal infinita. Pero hay que tener en cuenta que los racionales suelen tener expresiones decimales periódicas, es decir más ordenadas que los irracionales (que son la mayoría de los reales, los reales que no son racionales). Así, por ejemplo, la expresión decimal de 1/ 3 es 0,33333... Hay muchas más formas desordenadas que ordenadas (como en el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel”, donde aparecen todos los libros posibles mediante variaciones de todas las letras del alfabeto y los libros inteligibles son una minoría) y por eso debe haber más irracionales que racionales. Además, hay que tener en cuenta que un conjunto es enumerable si puede ordenarse uno a uno con el de los números naturales, y esto, que sucede a los racionales (como hemos visto), la prueba de Cantor demuestra que no puede suceder a los reales.
En algún caso se ha sugerido aplicar el método diagonal a los racionales. Tengamos una lista de todos los racionales:
0,12345…
0,23450…
0,01234…
0,54321…
0,23451…
Aquí, nada garantiza que el número diagonal 0,24332 sea racional. Podría ser perfectamente un irracional. Véase el siguiente ejemplo
0,66666
0,33333
0,50000
0,25000
0,77777
Los números de la lista son todos periódicos, y en cambio en la diagonal no es posible discernir ningún tipo de periodicidad.
Claro que si vamos sacando nuevos dígitos podría encontrarse la periodicidad del número diagonal (pero es mucho más probable no encontrarla).
El procedimiento diagonal se puede aplicar a los irracionales, pero no a los racionales. Sucede algo parecido con la demostración de que no existe una enumeración efectiva de las funciones recursivas totales de una variable (que utiliza un método diagonal). Como se sabe, esa prueba no se puede aplicar a las recursivas parciales. Porque para las funciones recursivas parciales no podemos garantizar que la máquina de Turing dé un resultado.
viernes, 16 de febrero de 2007
Sobre "La Biblioteca de Babel"
“La Biblioteca de Babel” es uno de los cuentos más famosos de Borges. Se trata de una biblioteca que contiene el conjunto de todos los libros posibles. Tal como lo expresa el propio Borges:
“Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verídica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones de cada libro en todos los libros”.
Un buen día, se encuentra un libro que tiene dos páginas enteras inteligibles: Su contenido eran “nociones de análisis combinatorio, ilustradas por ejemplos de variaciones con repetición ilimitada”. Precisamente la Biblioteca es un ejemplo de variaciones “con repetición ilimitada” o, simplemente, de variaciones con repetición.
Supongamos que la Biblioteca consta de libros de 500 páginas, cada uno con 2000 letras por página. En total cada libro tendría 1.000.000 de letras. Supongamos que hay 100 signos distintos. En total, el número de libros de la Biblioteca sería 100^1.000.000.
Daniel C. Dennett imagina que la Biblioteca podría ser ordenada alfabéticamente, pero la idea de Borges es que los libros de la Biblioteca estarían ordenados al azar. Aun si los libros estuvieran ordenados por orden alfabético, resultaría, por ejemplo, que "Don Quijote" estaría a una distancia astronómica de "La Regenta" (en realidad "Don Quijote" no estaría en la Biblioteca, pero uniendo quizá 4 ó 5 volúmenes se podría obtener todo el libro). Pero supongamos que "Don Quijote" sólo tuviera 1.000.000 de letras. En este caso habría 100.000.000 de mutantes con un error de una sola letra. Pero imagínense cuantos mutantes habría con una media de 2.000 errores, la mayoría de los cuales serían copias relativamente fieles de "Don Quijote". Si naciéramos en la galaxia "Don Quijote" estaríamos toda la vida viendo tan sólo copias de ese libro.
Pero imaginemos, como quiere Borges, que los libros están distribuidos al azar. En ese caso, en la Biblioteca de Babel es mucho más fácil encontrar un libro sin sentido que un libro escrito con correcta sintaxis y semántica en castellano. Ello se debe a que son muchas más las combinaciones de letras sin ningún significado que las que son correcto castellano. Esto es algo semejante a lo que ocurre con los números irracionales. Como se sabe, los números irracionales tienen una expresión decimal caótica, mientras que la expresión decimal de los racionales es periódica. Pero existen muchos más números con una expresión decimal caótica que con expresión decimal periódica. Ésta es una forma intuitiva de visualizar la mayor cardinalidad de los irracionales (es decir, el hecho de que hay más irracionales que racionales)
Racional: 1,4141414141414141414141414141414141…
Irracional: 1,3457892146807213585423468426847871…
“Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verídica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones de cada libro en todos los libros”.
Un buen día, se encuentra un libro que tiene dos páginas enteras inteligibles: Su contenido eran “nociones de análisis combinatorio, ilustradas por ejemplos de variaciones con repetición ilimitada”. Precisamente la Biblioteca es un ejemplo de variaciones “con repetición ilimitada” o, simplemente, de variaciones con repetición.
Supongamos que la Biblioteca consta de libros de 500 páginas, cada uno con 2000 letras por página. En total cada libro tendría 1.000.000 de letras. Supongamos que hay 100 signos distintos. En total, el número de libros de la Biblioteca sería 100^1.000.000.
Daniel C. Dennett imagina que la Biblioteca podría ser ordenada alfabéticamente, pero la idea de Borges es que los libros de la Biblioteca estarían ordenados al azar. Aun si los libros estuvieran ordenados por orden alfabético, resultaría, por ejemplo, que "Don Quijote" estaría a una distancia astronómica de "La Regenta" (en realidad "Don Quijote" no estaría en la Biblioteca, pero uniendo quizá 4 ó 5 volúmenes se podría obtener todo el libro). Pero supongamos que "Don Quijote" sólo tuviera 1.000.000 de letras. En este caso habría 100.000.000 de mutantes con un error de una sola letra. Pero imagínense cuantos mutantes habría con una media de 2.000 errores, la mayoría de los cuales serían copias relativamente fieles de "Don Quijote". Si naciéramos en la galaxia "Don Quijote" estaríamos toda la vida viendo tan sólo copias de ese libro.
Pero imaginemos, como quiere Borges, que los libros están distribuidos al azar. En ese caso, en la Biblioteca de Babel es mucho más fácil encontrar un libro sin sentido que un libro escrito con correcta sintaxis y semántica en castellano. Ello se debe a que son muchas más las combinaciones de letras sin ningún significado que las que son correcto castellano. Esto es algo semejante a lo que ocurre con los números irracionales. Como se sabe, los números irracionales tienen una expresión decimal caótica, mientras que la expresión decimal de los racionales es periódica. Pero existen muchos más números con una expresión decimal caótica que con expresión decimal periódica. Ésta es una forma intuitiva de visualizar la mayor cardinalidad de los irracionales (es decir, el hecho de que hay más irracionales que racionales)
Racional: 1,4141414141414141414141414141414141…
Irracional: 1,3457892146807213585423468426847871…
lunes, 12 de febrero de 2007
¿Juega Dios a los dados?
Según algunas teorías científicas, el universo, continuamente estaría bifurcándose en mundos paralelos. Esto se debe a la física cuántica. En el mundo cuántico no existen los objetos como tales. Un electrón cuando se observa se comporta como una partícula, y cuando no se observa, como una onda de probabilidad. En el mundo macroscópico no tiene sentido que algo sea a la vez una onda y una partícula. La onda de probabilidad se interpreta como la existencia de varios mundos superpuestos. La física cuántica funciona sólo en el mundo de lo microscópico, no en el mundo macroscópico. Al observar nosotros una partícula (o al percibirla una máquina) la onda de probabilidad colapsa, y se transforma en una partícula discreta. Por eso vemos, por ejemplo, un balón y no una onda de probabilidad.
La teoría de la relatividad general deja de valer cerca de la gran explosión porque no incorpora “el principio de incertidumbre, el elemento aleatorio de la teoría cuántica que Einstein había rechazado desde la idea de que Dios no juega a los dados”. No obstante, señala Hawking, “todas las evidencias indican que Dios es un jugador impenitente. Podemos considerar el universo como un gran casino, en que los dados son lanzados a cada instante y las ruletas giran sin cesar”. Entonces, ¿de dónde procede la apariencia de regularidad de nuestro mundo?: “Podemos pensar que regentar un casino es un negocio muy arriesgado, porque nos exponemos a perder dinero cada vez que se lanzan los dados o la ruleta se pone a girar. Pero en un número grande de apuestas, las ganancias y las pérdidas dan como promedio un resultado que puede ser predicho, aunque no lo pueda ser el resultado de cada apuesta particular [...] Los propietarios de los casinos se aseguran de que la suerte promedie a favor suyo. Por esto son tan ricos. La única posibilidad de ganarles es apostar contra ellos todo el dinero en unos pocos lanzamientos de dados o vueltas de la ruleta”. Esto mismo sucede con el universo. “Cuando éste es grande, como en la actualidad, hay un número muy elevado de lanzamientos de dados, y los resultados se promedian a algo que podemos predecir. Por esto las leyes clásicas de la física funcionan en los sistemas grandes. Pero cuando el universo es muy pequeño, como lo era en los tiempos próximos a la gran explosión, sólo hay un pequeño número de lanzamientos de dados y el principio de incertidumbre resulta muy importante”.Como ejemplo de lo que cuenta Hawking he hecho el experimento de comprobar cuántas tiradas de cada cara del dado salen con mil tiradas y con un millón de tiradas. Las tiradas están generadas por un programa de ordenador que diseñé para generar números aleatorios de 1 a 6.. Es una suerte poder hacerlo por ordenador. ¡Sólo hay que imaginarse lo pesado que sería tirar un millón de veces un dado!
-----1.000 tiradas -------1.000.000 de tiradas
uno ------182------------------------166.773-------
dos ------185------------------------166.665 ------
tres -----146 ------------------------166.471 ------
cuatro ---149 -----------------------166.646------
cinco ----151 ------------------------166.685-----
seis-------187 -----------------------166.760 -----
Como se ve, al aumentar el número de tiradas, la frecuencia con la que sale cada una de las caras tiende a aproximarse. En teoría podría salir un millón de veces el número 6, pero en la práctica hay una posibilidad entre 6^1.000.000 de que esto suceda. En la práctica, la estadística dice que a la larga las seis caras del dado saldrán el mismo número de veces (pero para esto es necesario que el dado no esté trucado).
Hawking dice que lo mismo que en el mundo de la probabilidad cuando hay pocas tiradas, en el mundo de lo muy pequeño que observa la física cuántica, hay fluctuaciones debidas al azar. El indeterminismo del mundo cuántico no se debe a nuestra ignorancia de sus procesos, sino que al parecer en el mundo cuántico no hay partículas que tengan a la vez una posición y una velocidad inherentes, sólo hay ondas de probabilidad. El principio de incertidumbre, la existencia de aleatoriedad e indeterminismo en la física cuántica se identifica en términos de existencia de mundos paralelos en los que la historia se desarrolla de modo diferente a en el nuestro. Stephen Hawking habla de que existe la posibilidad, en un universo paralelo, de que Belice gane todas las medallas posibles en la Olimpíada, aunque esto sea muy improbable. En la distribución estadística de los universos, en la mayoría Belice ganará muy pocas medallas. En un pequeñísimo tanto por ciento puede ganar un número importante de medallas. Puede existir, ciertamente, un universo en que gane todas las medallas. Supuestos millones de millones de universos, alguno habrá en el que Belice consiga todas las medallas
La teoría de la relatividad general deja de valer cerca de la gran explosión porque no incorpora “el principio de incertidumbre, el elemento aleatorio de la teoría cuántica que Einstein había rechazado desde la idea de que Dios no juega a los dados”. No obstante, señala Hawking, “todas las evidencias indican que Dios es un jugador impenitente. Podemos considerar el universo como un gran casino, en que los dados son lanzados a cada instante y las ruletas giran sin cesar”. Entonces, ¿de dónde procede la apariencia de regularidad de nuestro mundo?: “Podemos pensar que regentar un casino es un negocio muy arriesgado, porque nos exponemos a perder dinero cada vez que se lanzan los dados o la ruleta se pone a girar. Pero en un número grande de apuestas, las ganancias y las pérdidas dan como promedio un resultado que puede ser predicho, aunque no lo pueda ser el resultado de cada apuesta particular [...] Los propietarios de los casinos se aseguran de que la suerte promedie a favor suyo. Por esto son tan ricos. La única posibilidad de ganarles es apostar contra ellos todo el dinero en unos pocos lanzamientos de dados o vueltas de la ruleta”. Esto mismo sucede con el universo. “Cuando éste es grande, como en la actualidad, hay un número muy elevado de lanzamientos de dados, y los resultados se promedian a algo que podemos predecir. Por esto las leyes clásicas de la física funcionan en los sistemas grandes. Pero cuando el universo es muy pequeño, como lo era en los tiempos próximos a la gran explosión, sólo hay un pequeño número de lanzamientos de dados y el principio de incertidumbre resulta muy importante”.Como ejemplo de lo que cuenta Hawking he hecho el experimento de comprobar cuántas tiradas de cada cara del dado salen con mil tiradas y con un millón de tiradas. Las tiradas están generadas por un programa de ordenador que diseñé para generar números aleatorios de 1 a 6.. Es una suerte poder hacerlo por ordenador. ¡Sólo hay que imaginarse lo pesado que sería tirar un millón de veces un dado!
-----1.000 tiradas -------1.000.000 de tiradas
uno ------182------------------------166.773-------
dos ------185------------------------166.665 ------
tres -----146 ------------------------166.471 ------
cuatro ---149 -----------------------166.646------
cinco ----151 ------------------------166.685-----
seis-------187 -----------------------166.760 -----
Como se ve, al aumentar el número de tiradas, la frecuencia con la que sale cada una de las caras tiende a aproximarse. En teoría podría salir un millón de veces el número 6, pero en la práctica hay una posibilidad entre 6^1.000.000 de que esto suceda. En la práctica, la estadística dice que a la larga las seis caras del dado saldrán el mismo número de veces (pero para esto es necesario que el dado no esté trucado).
Hawking dice que lo mismo que en el mundo de la probabilidad cuando hay pocas tiradas, en el mundo de lo muy pequeño que observa la física cuántica, hay fluctuaciones debidas al azar. El indeterminismo del mundo cuántico no se debe a nuestra ignorancia de sus procesos, sino que al parecer en el mundo cuántico no hay partículas que tengan a la vez una posición y una velocidad inherentes, sólo hay ondas de probabilidad. El principio de incertidumbre, la existencia de aleatoriedad e indeterminismo en la física cuántica se identifica en términos de existencia de mundos paralelos en los que la historia se desarrolla de modo diferente a en el nuestro. Stephen Hawking habla de que existe la posibilidad, en un universo paralelo, de que Belice gane todas las medallas posibles en la Olimpíada, aunque esto sea muy improbable. En la distribución estadística de los universos, en la mayoría Belice ganará muy pocas medallas. En un pequeñísimo tanto por ciento puede ganar un número importante de medallas. Puede existir, ciertamente, un universo en que gane todas las medallas. Supuestos millones de millones de universos, alguno habrá en el que Belice consiga todas las medallas
La cuadratura del círculo
Uno de los problemas que, desde tiempo inmemorial, ha interesado a los filósofos es el del infinito. Borges ha tratado en sus cuentos este tema. “El libro de arena” es uno de los últimos cuentos de Borges. Trata de un libro que tiene un número de páginas infinito. Cuando uno abre una página en que aparece la ilustración de un ancla y cierra el libro, las probabilidades de volver a encontrar la página que vio anteriormente son computables en cero. Los números de páginas en el libro están desordenados. Por ejemplo, una página es la 999 y la siguiente es la 40.000. En este libro es necesario que la numeración sea así. ¿Por qué? Porque es imposible llegar a la primera página. También es imposible llegar a la última. Con los números pasa igual. Los números racionales forman un conjunto denso, lo que quiere decir que entre dos racionales siempre se puede encontrar otro racional. Un ejemplo parecido al del libro en el que no se puede encontrar el final lo tenemos en el conjunto de los racionales menores que 2. ¿Cuál es el mayor número de este conjunto? No es el 2, porque el 2 está fuera del conjunto. ¿Será el 1,99? No, porque el 1,999 es mayor que el 1,99. Y el 1,9999 mayor que 1,999. Y así sucesivamente. Conclusión: no existe un número mayor, un máximo de ese conjunto. (No digan que lo es un número con un número infinito de 9s, porque este número, en realidad, es igual a 2). Igual sucede con el libro. Entre un determinado lugar del libro (cualquiera que éste sea) y el final siempre existen infinitas páginas.
El cuento de Borges nos recuerda una de las ramas más interesantes de la matemática: el cálculo infinitesimal. Los griegos eran reacios a tratar con el infinito. Aristóteles creía que se podía tender al infinito al contar 1, 2, 3…etc. Pero no consideraba que podía existir un infinito actual, es decir un infinito dado todo de una vez. El “libro de arena” de Borges es, en realidad un infinito actual, y, de hecho, esta idea florece en la matemática actual, que considera el infinito como el paraíso de los matemáticos. A pesar de las reticencias griegas al infinito, Eudoxo y Arquímedes desarrollaron una especie de cálculo infinitesimal: el cálculo de exhaución.
Leibniz (uno de los creadores, junto con Newton del cálculo infinitesimal) afirmaba que un círculo era un polígono de infinitos lados. En el límite, una circunferencia de radio infinito nos parecería una recta. Esto puede parecer paradójico. Pero considérese por ejemplo, la Tierra. Cuando estamos sobre la Tierra no nos damos cuenta que es esférica, y sólo cuando nos alejamos (como los astronautas) podemos ver que es esférica. Esto se debe al gran tamaño de la Tierra. Pues, si tuviéramos una circunferencia infinita, no podríamos percibir su curvatura. En estos aspectos del cálculo, se echa mano de Arquímedes, pero “deconstruyendo” un tanto sus ideas. Se utiliza el método de exhaución de Eudoxo y Arquímedes para fundamentar el cálculo diferencial e integral. Como dice Bourbaki: “el nombre de Arquímedes no es casi siempre otra cosa que un reclamo para vender una mercancía, sin duda de gran valor, pero de la que el propio Arquímedes no se hubiera hecho responsable. Y esto sucede mucho más todavía con la diferenciación. Si una curva, cuando se trata de su rectificación, se asimila a un polígono de infinitos lados, aquí un arco ‘infinitamente pequeño’ de curva es asimilado a un segmento ‘infinitamente pequeño’ de recta”.
En el cuento de Borges “Abenjacán el bojarí muerto en su laberinto”, aparece un laberinto circular, pero tan inmenso que su borde parece recto. Borges cita aquí a Nicolás de Cusa. Nicolás de Cusa consideraba que en una circunferencia infinita el arco (curvo) entre dos puntos coincidiría con la cuerda (recta) entre esos dos mismos puntos. Todo esto fue un antecedente del cálculo infinitesimal.
El cálculo infinitesimal consiste en la diferenciación y la integración. La integración proviene de una serie de problemas que ya eran familiares a los antiguos griegos. La cuadratura del círculo es uno de los problemas que fascinaron a los matemáticos de la antigüedad y que les siguieron fascinando a lo largo de 2.000 años. Se trata de hallar, con regla y compás, un cuadrado que tendría la misma superficie que un círculo dado. Este cuadrado estaría entre el cuadrado inscrito y el cuadrado circunscrito. Pero esto es imposible. Este resultado se debe a que Pi, el número que relaciona el radio del círculo con la longitud de la circunferencia es un número trascendente, es decir un irracional que no es el resultado de ninguna raíz. El interés que tiene la cuadratura del círculo es que el intento de cuadrar superficies curvas llevaría al cálculo integral. “Cuadrar” quiere decir reducir el área de una superficie curva a la de un superficie recta (como por ejemplo uno o varios rectángulos). Una vez que se reduce a una figura recta, la superficie del círculo puede reducirse a un cuadrado.
Hemos hablado de cómo los inventores del cálculo infinitesimal (Leibniz entre ellos) concibieron la circunferencia como un polígono de infinitos lados. Esto se refiere precisamente a un intento de cuadrar superficies curvas, esto es, de reducir figuras curvas a figuras rectas, cuyas medidas son más fáciles de calcular. Se trata de inscribir, primero, el cuadrado en el círculo. Más adelante, se inscribe un polígono con el doble de lados que el cuadrado, es decir, con ocho lados, todos iguales. Luego uno de dieciséis lados. Así se va aproximando el área del círculo. El resultado sólo sería exacto si el polígono tuviera infinitos lados. Naturalmente, no se puede obtener la superficie exacta. Sin embargo, se pueden obtener buenas aproximaciones. Este método está basado en el que usaron Eudoxo y Arquímedes. Hoy se conoce como cálculo integral, y es una de las partes fundamentales del análisis matemático. Hemos dicho que la integración surgió como un método de rectificación de curvas. Los griegos, desde Eudoxo, calculaban el área de una figura curva dividiéndola en figuras rectilíneas que tuvieran aproximadamente su misma área. Consideremos el dibujo del área que cae bajo una función dividido en rectángulos, con el objeto de que la suma de estos rectángulos nos dé el área que cae bajo dicha función. De ahí el símbolo de la integral inventado por Leibniz, que semeja una S. Desgraciadamente, para que la suma de los rectángulos diera exactamente el área bajo una curva el número de rectángulos habría de ser infinito. Una buena aproximación se lograría con 100 rectángulos, mejor aún, con 10.000, todavía mejor con 1.000.000 de rectángulos. Sin embargo, pese a aumentar el número de rectángulos, el resultado no se aproxima tan rápido como desearíamos. Ello se debe a que R (el conjunto de los números reales) es un continuo y los datos que maneja el computador son discretos.
El cuento de Borges nos recuerda una de las ramas más interesantes de la matemática: el cálculo infinitesimal. Los griegos eran reacios a tratar con el infinito. Aristóteles creía que se podía tender al infinito al contar 1, 2, 3…etc. Pero no consideraba que podía existir un infinito actual, es decir un infinito dado todo de una vez. El “libro de arena” de Borges es, en realidad un infinito actual, y, de hecho, esta idea florece en la matemática actual, que considera el infinito como el paraíso de los matemáticos. A pesar de las reticencias griegas al infinito, Eudoxo y Arquímedes desarrollaron una especie de cálculo infinitesimal: el cálculo de exhaución.
Leibniz (uno de los creadores, junto con Newton del cálculo infinitesimal) afirmaba que un círculo era un polígono de infinitos lados. En el límite, una circunferencia de radio infinito nos parecería una recta. Esto puede parecer paradójico. Pero considérese por ejemplo, la Tierra. Cuando estamos sobre la Tierra no nos damos cuenta que es esférica, y sólo cuando nos alejamos (como los astronautas) podemos ver que es esférica. Esto se debe al gran tamaño de la Tierra. Pues, si tuviéramos una circunferencia infinita, no podríamos percibir su curvatura. En estos aspectos del cálculo, se echa mano de Arquímedes, pero “deconstruyendo” un tanto sus ideas. Se utiliza el método de exhaución de Eudoxo y Arquímedes para fundamentar el cálculo diferencial e integral. Como dice Bourbaki: “el nombre de Arquímedes no es casi siempre otra cosa que un reclamo para vender una mercancía, sin duda de gran valor, pero de la que el propio Arquímedes no se hubiera hecho responsable. Y esto sucede mucho más todavía con la diferenciación. Si una curva, cuando se trata de su rectificación, se asimila a un polígono de infinitos lados, aquí un arco ‘infinitamente pequeño’ de curva es asimilado a un segmento ‘infinitamente pequeño’ de recta”.
En el cuento de Borges “Abenjacán el bojarí muerto en su laberinto”, aparece un laberinto circular, pero tan inmenso que su borde parece recto. Borges cita aquí a Nicolás de Cusa. Nicolás de Cusa consideraba que en una circunferencia infinita el arco (curvo) entre dos puntos coincidiría con la cuerda (recta) entre esos dos mismos puntos. Todo esto fue un antecedente del cálculo infinitesimal.
El cálculo infinitesimal consiste en la diferenciación y la integración. La integración proviene de una serie de problemas que ya eran familiares a los antiguos griegos. La cuadratura del círculo es uno de los problemas que fascinaron a los matemáticos de la antigüedad y que les siguieron fascinando a lo largo de 2.000 años. Se trata de hallar, con regla y compás, un cuadrado que tendría la misma superficie que un círculo dado. Este cuadrado estaría entre el cuadrado inscrito y el cuadrado circunscrito. Pero esto es imposible. Este resultado se debe a que Pi, el número que relaciona el radio del círculo con la longitud de la circunferencia es un número trascendente, es decir un irracional que no es el resultado de ninguna raíz. El interés que tiene la cuadratura del círculo es que el intento de cuadrar superficies curvas llevaría al cálculo integral. “Cuadrar” quiere decir reducir el área de una superficie curva a la de un superficie recta (como por ejemplo uno o varios rectángulos). Una vez que se reduce a una figura recta, la superficie del círculo puede reducirse a un cuadrado.
Hemos hablado de cómo los inventores del cálculo infinitesimal (Leibniz entre ellos) concibieron la circunferencia como un polígono de infinitos lados. Esto se refiere precisamente a un intento de cuadrar superficies curvas, esto es, de reducir figuras curvas a figuras rectas, cuyas medidas son más fáciles de calcular. Se trata de inscribir, primero, el cuadrado en el círculo. Más adelante, se inscribe un polígono con el doble de lados que el cuadrado, es decir, con ocho lados, todos iguales. Luego uno de dieciséis lados. Así se va aproximando el área del círculo. El resultado sólo sería exacto si el polígono tuviera infinitos lados. Naturalmente, no se puede obtener la superficie exacta. Sin embargo, se pueden obtener buenas aproximaciones. Este método está basado en el que usaron Eudoxo y Arquímedes. Hoy se conoce como cálculo integral, y es una de las partes fundamentales del análisis matemático. Hemos dicho que la integración surgió como un método de rectificación de curvas. Los griegos, desde Eudoxo, calculaban el área de una figura curva dividiéndola en figuras rectilíneas que tuvieran aproximadamente su misma área. Consideremos el dibujo del área que cae bajo una función dividido en rectángulos, con el objeto de que la suma de estos rectángulos nos dé el área que cae bajo dicha función. De ahí el símbolo de la integral inventado por Leibniz, que semeja una S. Desgraciadamente, para que la suma de los rectángulos diera exactamente el área bajo una curva el número de rectángulos habría de ser infinito. Una buena aproximación se lograría con 100 rectángulos, mejor aún, con 10.000, todavía mejor con 1.000.000 de rectángulos. Sin embargo, pese a aumentar el número de rectángulos, el resultado no se aproxima tan rápido como desearíamos. Ello se debe a que R (el conjunto de los números reales) es un continuo y los datos que maneja el computador son discretos.
El bucle infinito
Hola amigos. Este blog nace con la intención de dar a conocer algunos artículos divulgativos sobre temas como el cálculo, la física cuántica y otros temas similares.
Admito que no soy ningún genio en esto de las mates, pero tengo una gran curiosidad sobre estas materias. Que nadie espere grandes descubrimientos . Así pues, sin más animo a quien quiera participar a que lo haga remitiendo sus comentarios.
Admito que no soy ningún genio en esto de las mates, pero tengo una gran curiosidad sobre estas materias. Que nadie espere grandes descubrimientos . Así pues, sin más animo a quien quiera participar a que lo haga remitiendo sus comentarios.
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