Siempre me han interesado las recopilaciones de disparates. Alguna vez, en bachillerato, recuerdo haberme dedicado, para atenuar el sopor de las clases, a leer una Antología del disparate que entonces hacía furor.
Recuerdo que una de las frases que más gracia me hacía era. "Sobre ellos pendía la espada de Sófocles". Naturalmente, la espada era de Damocles, no del autor de Antígona.
Ahora, este tipo de disparates no me parece de mucha importancia: que uno sepa ó no quien era Damocles tampoco es tan grave (la mayoría de gente sólo sabemos de él que es "El de la espada"). A mí me fastidian bastante más los errores de tipo lógico.
Por ejemplo, en un programa de estos del corazón oí a una señorita decir: "Tengo un teorema sobre los yogurines". Dejemos lo de los yogurines (esta palabra, más o menos quiere decir "Personas jóvenes", o, a veces "personas jóvenes y guapas"). Lo que me choca es la parte del "teorema". Un teorema, viene a ser una proposición matemática demostrada mediante inferencias lógicas a partir de axiomas o premisas que se consideran autoevidentes.
No sé yo si la formalización lógica ha avanzado tanto como para aplicar la matemática al campo de los "yogurines". Pero lo dudo. Probablemente lo que quería decir la chica es que tenía una teoría sobre los yogurines. Una enciclopedia que tengo a mano define teoría como "Serie de las leyes que sirven para relacionar un orden de fenómenos" o "hipótesis explicativa de un hecho".
Como quiera que las teorías no necesitan ser formalizadas matemáticamente (se habla de la teoría psicoanalítica o la teoría marxista), admitimos la "teoría sobre los yogurines". Pero no el teorema.
Dentro de las tonterías que he oído últimamente, la que más divertida me ha parecido ha sido una que oí en una radio de Guipúzcoa. Una periodista habló de una "misa por la intersección de la Virgen".
Je, je, je. La intersección (como sabrán mis lectores) es una operación entre conjuntos. La intersección de los jerseys y de las cosas verdes son los jerseys de color verde. La intersección de los cantantes de tangos y de los participantes en Operación Triunfo, son los cantantes de tangos que participan en Operación Triunfo. Etc.
Lo que debía querer decir la periodista es "una misa por la intercesión de la Virgen". ¿Qué es interceder? Es "abogar en nuestro favor" o "mediar por otro". Recuerdo una oración de cuando era niño que decía:
por eso ruego a los ángeles,
a los santos,
y a vosotros hermanos
que intercedáis por mí
ante Dios nuestro señor.
Je. Lo que me divierte del tema es que, en la gente joven, la terminología de la teoría de conjuntos parece ser más conocida y familiar que la jerga religiosa y teológica.
Un sorprendente triunfo que se ve menoscabado por el hecho de que mucha de la gente que utiliza términos como "intersección", simplemente, no sabe lo que significan. Pensar que la intersección puede tener algo que ver con la Virgen es no tener ni idea de qué es la intersección (aunque, quien sabe: podríamos tener la intersección entre, por ejemplo, el conjunto de las vírgenes y el conjunto de los etruscos, que serían todas las vírgenes etruscas, si es que hay alguna).
Todo lo cual me lleva a una triste conclusión. sí, es cierto que la mayoría de gente va olvidando la jerga teológica, pero tampoco ha aprendido absolutamente nada sobre la ciencia, salvo una serie de términos abstrusos cuyo significado la mayoría desconoce.
miércoles, 3 de febrero de 2010
Demostraciones de tipo Cantor en lógica
En la teoría de computación hay un tipo de funciones que se llaman funciones recursivas primitivas.
Hofstadter utiliza lo que él llama el lenguaje BuD para explicar estas funciones. El lenguaje BuD consta de bucles delimitados. Es decir, lo que en los lenguajes informáticos suelen ser los bucles FOR. Es decir, bucles que tienen un número finito de pasos (en cambio, los bucles while, pueden tener un número infinito de pasos, de manera que, a priori, no es fácil saber si un bucle while acabará, o seguirá funcionando ad infinitum).
Las funciones recursivas totales son funciones que cumplen la siguiente condición: para todo x que pertenece al dominio, existe una y en el rango, tal que y=f(x). Es decir, para todo valor, el programa acaba parando en un tiempo finito.
Las funciones estrictamente parciales son funciones tales que, para algún valor del dominio el programa se pierde en un bucle infinito. Para algún valor x que pertenece al dominio, no existe ningún y en el rango, tal que y= f(x). (Si bien, en general, se llama funciones parciales tanto a las totales como a las parciales)
Hay una demostración de que existen funciones recursivas totales que no son recursivas primitivas.
La demostración se desarrolla así:
1) existe una enumeración recursiva de las funciones recursivas primitivas (es decir, estas funciones se pueden ordenar por orden alfabético). uno se puede imaginar estas funciones como programas de ordenador, cada uno con un número P[1], P[2], P[3], etc... También podemos imaginarlos como funciones, f[1], f[2], f[3]...
2) Cada programa debe aceptar un número natural como input. Por ejemplo, si P[2], es el programa que suma a cada número 1, entonces, el resultado de P [2][3], es 4, y el resultado de P[2][n] es (n+1). Igualmente, la función f[1], con input 1, podríamos llamarla f[1] (1).
3) hora, supongamos que existe una función tal que f(x)= f[x](x) +1. Ahora supongamos que f(x) es una función recursiva primitiva. Pero entonces f(x) debe ser f[1] o f[2],... o f[n]. Pero ¡no puede serlo! Porque, para todo n, f[n] es igual a f[n] (n) + 1. Por tanto, f(n) no está en la lista de las funciones recursivas primitivas.
El resultado demuestra que existen funciones recursivas totales que no son recursivas primitivas.
Hofstadter utiliza lo que él llama el lenguaje BuD para explicar estas funciones. El lenguaje BuD consta de bucles delimitados. Es decir, lo que en los lenguajes informáticos suelen ser los bucles FOR. Es decir, bucles que tienen un número finito de pasos (en cambio, los bucles while, pueden tener un número infinito de pasos, de manera que, a priori, no es fácil saber si un bucle while acabará, o seguirá funcionando ad infinitum).
Las funciones recursivas totales son funciones que cumplen la siguiente condición: para todo x que pertenece al dominio, existe una y en el rango, tal que y=f(x). Es decir, para todo valor, el programa acaba parando en un tiempo finito.
Las funciones estrictamente parciales son funciones tales que, para algún valor del dominio el programa se pierde en un bucle infinito. Para algún valor x que pertenece al dominio, no existe ningún y en el rango, tal que y= f(x). (Si bien, en general, se llama funciones parciales tanto a las totales como a las parciales)
Hay una demostración de que existen funciones recursivas totales que no son recursivas primitivas.
La demostración se desarrolla así:
1) existe una enumeración recursiva de las funciones recursivas primitivas (es decir, estas funciones se pueden ordenar por orden alfabético). uno se puede imaginar estas funciones como programas de ordenador, cada uno con un número P[1], P[2], P[3], etc... También podemos imaginarlos como funciones, f[1], f[2], f[3]...
2) Cada programa debe aceptar un número natural como input. Por ejemplo, si P[2], es el programa que suma a cada número 1, entonces, el resultado de P [2][3], es 4, y el resultado de P[2][n] es (n+1). Igualmente, la función f[1], con input 1, podríamos llamarla f[1] (1).
3) hora, supongamos que existe una función tal que f(x)= f[x](x) +1. Ahora supongamos que f(x) es una función recursiva primitiva. Pero entonces f(x) debe ser f[1] o f[2],... o f[n]. Pero ¡no puede serlo! Porque, para todo n, f[n] es igual a f[n] (n) + 1. Por tanto, f(n) no está en la lista de las funciones recursivas primitivas.
El resultado demuestra que existen funciones recursivas totales que no son recursivas primitivas.
domingo, 17 de enero de 2010
El cerebro de Einstein: diálogo con el máximo sistema
Quisiera considerar un famoso experimento mental, debido a Douglas Hofstadter1 que aparece en el libro de Hofstadter y Dennett The Mind’s I (Hofstadter, Douglas “A conversation with Einstein´s brain”. EN: The mind’s I (ed. Hofstadter D.R. y Dennetrt, D.C., Basic Books, Inc. Penguin Books Limited; Harmondsworth, Middx, England, 1982, pags. 430, 460). Hofstadter supone un libro que contendría todo el pensamiento de Einstein. Esto podría parecer trivial. Echando mano del experimento mental de la Biblioteca de Babel, podríamos imaginar que uno de los volúmenes de la Biblioteca debe ser la mejor exposición en menos de quinientas páginas de la teoría de la relatividad, del mismo modo que, según Dennet:
“uno de los volúmenes de la Biblioteca de Babel es ––debe ser–– la mejor declaración en menos de quinientas páginas de frases gramaticales cortas en inglés, acerca de la solución del problema del libre albedrío, y otro, el óptimo trabajo en inglés sobre la consciencia”(Dennet, La peligrosa idea de Darwin).
Sin embargo, no es exactamente esto lo que propone Hofstadter, que no imagina una exposición de la teoría de Einstein, sino más bien un libro que reprodujera, paso por paso, todos los procesos del cerebro de Einstein (veremos que no es exactamente esto, pero de momento empecemos por simplificar). Tal como lo expone Penrose:
“Hofstadter imagina un libro, de proporciones absurdamente monstruosas, que se supone contiene una completa de descripción del cerebro de Albert Einstein” (Penrose,The Emperor’s New Mind. Oxford University Press, 1989. Trad: La nueva mente del emperador. Crítica (Grijalbo Mondadori). Barcelona, 1996 pag. 46)
Por supuesto, el tamaño es aquí lo de menos. Utilizando un número de volúmenes de la Biblioteca de Babel suficientemente elevado, podríamos obtener un volumen que describiera de manera suficientemente pormenorizada el cerebro de Einstein. Este libro, según Hofstader, tendría una serie de características, que resume Penrose:
“Cualquier pregunta que uno pudiera plantear a Einstein podría ser respondida, exactamente igual que lo hubiera hecho Einstein en vida, simplemente hojeando el libro y siguiendo cuidadosamente todas las instrucciones detalladas que proporciona. Por supuesto, ‘simplemente’, es una palabra totalmente inadecuada, como Hofstadter se cuida en señalar. Pero su tesis es que, en principio, el libro es exactamente equivalente, en el sentido operacional del test de Turing, a una ridículamente ralentizada versión del Einstein real. Así, según las opiniones de la IA [Inteligencia Artificial] fuerte, el libro pensaría, sentiría, entendería, sería consciente, justo como si fuera el propio Einstein, pero quizá viviendo a un ritmo tremendamente ralentizado (de modo que para el Einstein-libro el mundo externo parecería discurrir a un ritmo ridículamente acelerado). De hecho, ya que se supone que el libro es simplemente una particular encarnación del algoritmo que constituía el ‘yo’ de Einstein, realmente sería Einstein”.
Igual que los ordenadores pueden programarse en alto nivel o en lenguaje máquina, en el cerebro hay diversos niveles. Por ejemplo, Einstein puede equivocarse en su mente, hacer una conjetura acerca de la realidad que esté equivocada (por ejemplo, que existe una constante cosmológica). Sin embargo, en el nivel de “lenguaje máquina” del cerebro, en el nivel neuronal, en cierto sentido, Einstein no puede equivocarse. Cada neurona puede estar encendida o apagada, pero, en todo caso, todas ellas siguen las leyes de la física. (Esto sucede, incluso, en personas que, a diferencia de Einstein, no saben nada de física).
Pero ¿en qué alfabeto está escrito el libro? Podríamos preguntarnos ¿en qué nivel se lee el libro? ¿Neural, lógico, del lenguaje común? Pondré un ejemplo, para que esto se entienda mejor. Según Hofstadter, ante una división por cero, el ordenador se detendría, y daría algún tipo de información sobre por qué no puede continuar operando, o más bien sobre dónde se ha detenido su ejecución. Pero podría expresar esta información en tres niveles:
“Nivel de lenguaje de máquina:
‘Ejecución del programa detenida en la posición
1110010101110111’
Nivel de lenguaje ensamblador:
‘Ejecución del programa detenida en la posición
DIV (dividir)
Nivel de lenguaje compilador:
‘Ejecución del programa detenida en el transcurso de la
resolución de la expresión algebraica ‘(A + B)/Z”4
Podemos preguntarnos, pues, si el libro que reproduce el cerebro de Einstein reproduce la estructura de las neuronas en el cerebro de Einstein. ¿Tendría, entonces, el libro, un aspecto cerebriforme? ¿O bien, sólo contendría una descripción de la estructura neuronal? Podría contener, tan sólo, una descripción de las operaciones lógicas. Quisiera diferenciar aquí entre las operaciones lógicas de Einstein cuando escribe en la pizarra ecuaciones algebraicas y las operaciones lógicas del cerebro. El cerebro de Einstein a alto nivel piensa difíciles ecuaciones matemáticas y también toma decisiones en aspectos cotidianos de la vida, que muchas veces pueden ser equivocadas. Sin embargo, subyaciendo al álgebra de las ecuaciones matemáticas y al sentido común de las decisiones cotidianas, hay una estructura lógica, sea ésta la estructura innata de los chomskyanos o el lenguaje de la mente de los cognitivistas. En cualquier caso, existe un programa de bajo nivel que se ejecuta directamente en nuestro sistema neuronal.
Si el libro está escrito en lenguaje neuronal o lógico, sería muy difícilmente inteligible. Sería como estudiar un líquido mediante el estudio de la trayectoria de cada una de las partículas de líquido. Hemos de suponer que, de algún modo, en el libro, se puede dar una descripción de alto nivel del cerebro de Einstein. Cabría imaginar que el libro fuera como uno de esos manuales para aprender Windows, sólo que el contenido del libro fuera una transcripción de un programa en C o en Pascal que, una vez instalado en el computador, produjera una simulación perfecta del cerebro de Einstein.
Más atrás he hablado de que el programa podría reproducir los procesos cerebrales de Einstein. Pero aquí tropezamos con otro problema ¿Se pueden modelizar todos los estados posibles del cerebro de Einstein? El problema en sí es intratable, puesto que un cerebro tendría, al menos, 2100.000.000.000 de estados posibles, eso, tan sólo contando las neuronas en estado de encendido o apagado, y sin tener en cuenta la disposición de las sinapsis. Si no se pueden modelizar todos los estados posibles del cerebro, ¿Acaso habría que producir una estructura cerebriforme?5.
Creo que la clave del experimento mental es que el cerebro de Einstein tenga interactividad ¿Podría interaccionar con Penrose y Hawking, por ejemplo? ¿Podría discutir el experimento de Aspect o la teoría de las supercuerdas? Para que fuera realmente inteligente, el cerebro de Einstein tendría que tener la posibilidad de cambiar de opinión, de aprender nuevas cosas. Si no, sería como un gigantesco CD-ROM o un parque temático einsteniano, pero no un agente con conciencia. Todo depende de su capacidad de producir nuevas respuestas
Veamos como discurre el texto de Hofstadter. La estructura es un diálogo entre Aquiles y la Tortuga. Como se sabe Aquiles y la Tortuga son los protagonistas de una de las paradojas de Zenón, y también de un diálogo de Lewis Carrol. En su libro Gödel, Escher, Bach, Hofstadter se ocupa de Aquiles y la Tortuga según Zenón y según Lewis Carrol. Aquí, en cambio, estos dos personajes sirven para expresar ideas que son de Hofstadter. Aquiles y la Tortuga se encuentran, pues, en un día de otoño. La Tortuga afirma, de manera extravagante, que ella no oye los discos poniéndolos en un gramófono, sino que observa con sus ojos los surcos del disco y así percibe la belleza de las piezas musicales contenidas en cada disco. Lo que quiere explicar la Tortuga con esto es que existe un isomorfismo entre el dibujo de los surcos en un disco y la música contenida en ese disco. La idea siguiente consiste en un libro que sea isomorfo al cerebro de Einstein en el momento de su muerte. La descripción del cerebro de Einstein es a nivel celular, neurona por neurona y axón por axón (lo que, como se puede imaginar hace el libro totalmente inmanejable). El cerebro consiste en una serie de neuronas y de axones que las conectan entre sí. Las neuronas se encienden, lo que quiere decir que una corriente eléctrica pasa por el axón de una neurona a otra neurona. La otra neurona se encenderá si pasa hacia ella una determinada cantidad de corriente. El libro que resume el contenido del cerebro de Einstein consta de cosas como números, letras y abreviaturas. La tortuga le pregunta a Aquiles si esperaba encontrar cosas como dibujos de extrellas y átomos, junto con fórmulas como E = m·c^2. Aquiles responde que no y anticipa lo que cree va a decir la Tortuga a continuación: cada página del libro corresponde a una neurona del cerebro y hay cien mil millones de páginas. Cada página contiene informaciones como con qué neuronas está conectada esa neurona o cuanta corriente es necesaria para encenderla. Cada pensamiento en la mente o en el cerebro corresponde a una serie de neuronas que se van encendiendo como cae una fila de fichas de dominó. La actividad neural depende probablemente de procesos químicos, que producen cambios en el encendido de las neuronas. Estos cambios en las neuronas son susceptibles de codificarse numéricamente. La Tortuga añade que el libro tendría que tener codificado también como reaccionar ante un sonido. Como hemos dicho antes, el libro tiene que ser interactivo si tiene que ser algo más que una gigantesca base de datos. Aquiles se pregunta qué pensaría de todo esto el viejo Einstein y la Tortuga responde que basta con consultar el libro para saberlo. La Tortuga sostiene que el libro es Einstein, pero Aquiles considera que no, porque Einstein era una persona, no un libro. Pero la Tortuga pregunta a Aquiles si no cree que en los discos hay música. Aquiles considera que se necesita una aguja y algún otro aparato para extraer la música del disco. La Tortuga pregunta si los sonidos de un disco son sonidos reales o sólo una suerte de imitación. Aquiles responde que la música viene del disco, pero está hecha de sonidos reales. La Tortuga está sugiriendo implícitamente que la música es al disco como la mente al cerebro. La Tortuga considera que la música está en el disco toda a la vez, independientemente de que para escucharla sea necesaria una sucesión temporal. La música es el disco. Aquiles considera que él prefiere el aspecto auditivo de la música, mientras que la Tortuga prefiere el aspecto visual. La Tortuga imagina que Aquiles es presentado al libro que contiene toda la información sobre el cerebro de Einstein. Lo que dice Aquiles actúa sobre las neuronas auditivas de Einstein, y estas neuronas actúan sobre todo el resto del libro. Se produce un proceso en cadena hasta que tiene lugar una respuesta. Como dice Aquiles, la respuesta podría tardar milenios. Esto se podría solucionar de dos maneras. Podríamos imaginar que, en vez de un libro, tenemos un programa informático como hemos dicho más arriba. Este programa, aunque conste de millones de instrucciones puede moverse con más rapidez que la que tardaría un individuo examinando un libro. Simplemente, el ordenador puede efectúar miles de operaciones por segundo. Además, imaginemos que el programa está escrito en un lenguaje de alto nivel y no en lenguaje máquina (que es sólo unos y ceros), de forma que da una descripción también de alto nivel de los procesos lógicos en el cerebro de Einstein. En este caso sería más inteligible que el movimiento de miles de millones de neuronas. Según la Tortuga, al primer saludo de Aquiles el libro respondería: “Hola, ¿Vienes a visitarme? ¿he muerto?”. Aquiles considera que no es Einstein quien está respondiendo, sino un tonto libro. La Tortuga considera que el libro responde exactamente como respondería Einstein si viviera. Después de todo el libro codifica el cerebro de Einstein el último día de su vida, y Einstein creía ser un hombre y no un libro.
Aquiles admite que él haría preguntas al libro como si fuera el Einstein real. La Tortuga considera que Aquiles podría explicar al libro que él (Einstein) había muerto, pero que su cerebro ha sido codificado en un gigantesco catálogo.después de su muerte. Aquiles se pregunta, si no está hablando con una persona viva, ¿de dónde vienen los pensamientos del Einstein simulado? La tortuga responde que del libro. Aquiles se pregunta cómo puede sufrir un libro. Pero la Tortuga responde que no sufre. Simplemente, el libro es. Está ahí. Aquiles contesta que no es un libro sólo, sino un libro más un proceso, pero ¿cómo puede un libro más un proceso sentir? Aquiles considera que el libro no tiene piernas, ¿cómo puede sentir dolor de piernas? La Tortuga considera que, sin embargo, el libro tiene muchas neuronas relacionadas con el dolor de piernas. Ahora bien, una vez que Aquiles le comunica que es un libro y no tiene piernas ¿para qué quiere el dolor de piernas? Podría concentrarse en otras cosas como comunicarse con Aquiles. Aquiles considera que, sin embargo, antes de completar un corto intercambio de frases, el propio Aquiles ya sería viejo. La Tortuga considera que Aquiles también podría ser un catálogo (cosa que, como era de esperar, a Aquiles no le hace mucha gracia). Pero la Tortuga sugiere que, convertido en catálogo, Aquiles podría mantener una excitante conversación con Einstein, y con otras personas a la vez, ya que se pueden construir varios catálogos de Aquiles. Aquiles piensa en Homero, Zenón y Lewis Carrol (que son, curiosamente, autores que han utilizado a Aquiles como personaje, bien en sus obras de ficción, bien en sus argumentos filosóficos). Aquiles se pregunta dónde estaría él, en cuál de los catálogos. La Tortuga dice que en todos...o quizás en ninguno. La Tortuga plantea lo que podría pasar si se confrontan dos catálogos de Aquiles. Aquiles se pregunta qué es el “yo” ¿Una persona? ¿un proceso? ¿una estructura en el cerebro de Aquiles? ¿o alguna incapturable esencia que siente y que ocurre en el cerebro? La Tortuga se pregunta si Einstein está muerto o sigue vivo en el libro. Para Aquiles, según todas las apariencia, una parte de su espíritu vive por el hecho de que los datos fueron grabados. Pero la Tortuga pregunta: ¿Y si el libro no fuera nunca usado? Además, probablemente sólo podría hablar una sílaba al siglo. Aquiles supone que existe una máquina que pasa rápidamente las páginas y que hace los cálculos. Pero ¿y si se estropea la mnáquina?, pregunta la Tortuga. Según Aquiles, entonces, el Libro Aquiles estaría muerto. Pero, dice la Tortiuga, ¿y si nadie lo atiende? ¿no estaría muerto también? Por otro lado, dice Aquiles, es importante que el libro venga junto con las instrucciones para usarlo, si no sería inútil. ¿Estaría vivo Aquiles si el libro fuera desparramado poco a poco?, pregunta la Tortuga. Alguien puede romper el libro. Aquiles considera que mientras las páginas puedan ser reunidas hay esperanza para su supervivencia, pero ¿reunidas por quién? La Tortuga se pregunta si los sentimientos no podrían estar todos a la vez, como la música en los discos. Pero Aquiles considera que una mente, a diferencia de un disco, está en interacción con el mundo exterior. La Tortuga asiente. La mente interactúa con el mundo exterior, de modo que no es predictible lo que va a suceder con la mente sólo con conocer la estructura del cerebro. Pero en la introspección, el cerebro no interactúa con el mundo exterior. Ahí podría estar todo al mismo tiempo.
Aquiles se pregunta qué pasaría si él leyera el libro de Aquiles. Tendría entonces un total conocimiento de sí mismo. En realidad, y dejando aparte problemas de tiempo (que sería inmenso) y de espacio de almacenaje (que sería insuficiente), si Aquiles consultara el libro de Aquiles tendría un conocimiento total del estado del cerebrto antes de consultar el libro. Pero el hecho de consultar el libro habría variado su estado cerebral. Es como el problema, que hemos visto en otro lugar, de el cerebro tratando de conocer el cerebro.
Como dice Daniel Dennett en su libro Brainstorms, una tormenta simulada no es una tormenta. Consta de impulsos eléctricos viajando a través de circuitos de silicio, y no de moléculas de aire atmosférico. Igualmente una simulación del cerebro no es inteligente.
Como reconoce el propio Hofstadter un programa jugador de de ajedrez no tiene ningún concepto de por qué está jugando a ajedrez, o del hecho de que es un programa, o de que está en una computadora, o de que tiene un oponente humano. No tiene ideas sobre qué es ganar o perder.
En Las sombras de la mente, Roger Penrose pone el ejemplo de un programa de inteligencia artificial que tuvo serios problemas en darse cuenta de que cuando el pie izquierdo de abraham Lincoln estaba en Washington, lo más probable era que su pie derecho también estuviera en Washington. Este ejemplo demuestra que aquel programa no tenía ninguna compresión genuina. Penrose pone otros ejemplos, como un error garrafal de Deep Thougth, el famoso programa de ajedrez que, en una partida, perdió de forma estúpida unas tablas seguras por el beneficio a corto plazo de capturar una torre, pese a que esta captura le llevaba obviamente a la derrota. Es evidente que Deep Thougth estaba programado para conseguir ventajas materiales, pero carecía de la visión estratégica que da una comprensión genuina. Al comer la torre con un peón, rompía una barrera de peones que le garantizaba las tablas. (Pero, en realidad, ni siquiera se daba cuenta de lo que estaba haciendo).
Parecido argumento es el de la habitación china de Searle. Searle imagina un anglohablante en una habitación, manejando las instrucciones sintácticas de un programa para hablar en chino. El anglohablante no conoce nada de chino, y las instrucciones para manejar el programa están en inglés. Searle pregunta: ¿el anglohablante entiende algo de chino? Parece ser que no. Pero, en realidad, el funcionamiento de los programas informáticos es igual a esto: un manejo ciego de símbolos.
Hay muchas cosas propias del conocimiento humano intuitivo que el computador no puede entender. Por ejemplo, en un cuento de Woody Allen, Agatón le dice a Woody Allen: “Oh , me encontré con Isósceles. Tiene una idea estupenda para un nuevo triángulo”.
Este chiste, por ejemplo, es entendido por la mayoría de la gente sin problemas. En realidad se basa en varios sobreentendidos. “Isósceles” todos imaginamos (aun si no sabemos griego) que debe querer decir algo así como “lados iguales” o “ángulos iguales”, ya que este triángulo tiene la propiedad de tener dos lados o dos ángulos iguales. El prefijo “iso” (que aparece en palabras como isomorfo) imaginamos que se refiere a la igualdad. Lo gracioso es que Woody Allen, sabiendo esto, se imagina que Isósceles podría ser el nombre de un filósofo, que sería el descubridor de ese tipo de triángulo. Y efectivamente Isósceles suena como Aristóteles, Sócrates, etc. El ser humano actúa por conjeturas, aproximaciones, esbozos de teorías acerca de lo que ve y oye. En cambio la máquina es incapaz de estas cosas. La máquina necesita una especificación previa de cómo debe actuar en una situación dada. Aun si a la máquina se le introducen elementos de azar, no se logrará nada. Pues un ser humano que actuara al azar iría a la deriva, y no acertaría casi nunca.
Por ejemplo, un amigo mío defendía que la máquina se mete en un bucle infinito porque, a diferencia del ser humano, no se cansa, y sigue, dale que dale como el conejito de las pilas Duracel. Pero no veo que se podría conseguir con que el ordenador se cansara. Pongamos que el ordenador busca determinada propiedad X, pero se cansa cuando llega al número 1.000. El ordenador dice que ningún número tiene la propiedad X. Ahora bien, ¡podría ser que el 1.001 tuviera la propiedad X!
En una ocasión, un profesor, al que había preguntado por el problema de los bucles infinitos, me respondió no era necesario que el ordenador recorriera los números naturales en su orden natural. Podía recorrerlos en un orden diferente, incluso al azar. Lo que yo pensé entonces es que el profesor no había entendido mi pregunta. Una aseveración acerca de teoría de números se refiere a los números naturales: a un número infinito de números. Este espacio es inabarcable, independientemente del orden en que se recorra. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach: todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. La demostración o refutación de dicha conjetura (si es que es posible) requiere intuición directa, matemática. Nada que ver con una máquina funcionando hasta que se pare cuando un número no cumpla la conjetura. Por cierto, ¿y si no se parara nunca?
Para algunos, la conclusión es que hay una serie de conceptos del conocimiento matemático y del conocimiento intuitivo que los computadores nunca lograrán imitar. Sin embargo, no estoy seguro de que esta coclusión sea la correcta. La conciencia no se puede simular. La inteligencia humana siempre será superior a la de un iordenador. O no (como dijo el otro).
“uno de los volúmenes de la Biblioteca de Babel es ––debe ser–– la mejor declaración en menos de quinientas páginas de frases gramaticales cortas en inglés, acerca de la solución del problema del libre albedrío, y otro, el óptimo trabajo en inglés sobre la consciencia”(Dennet, La peligrosa idea de Darwin).
Sin embargo, no es exactamente esto lo que propone Hofstadter, que no imagina una exposición de la teoría de Einstein, sino más bien un libro que reprodujera, paso por paso, todos los procesos del cerebro de Einstein (veremos que no es exactamente esto, pero de momento empecemos por simplificar). Tal como lo expone Penrose:
“Hofstadter imagina un libro, de proporciones absurdamente monstruosas, que se supone contiene una completa de descripción del cerebro de Albert Einstein” (Penrose,The Emperor’s New Mind. Oxford University Press, 1989. Trad: La nueva mente del emperador. Crítica (Grijalbo Mondadori). Barcelona, 1996 pag. 46)
Por supuesto, el tamaño es aquí lo de menos. Utilizando un número de volúmenes de la Biblioteca de Babel suficientemente elevado, podríamos obtener un volumen que describiera de manera suficientemente pormenorizada el cerebro de Einstein. Este libro, según Hofstader, tendría una serie de características, que resume Penrose:
“Cualquier pregunta que uno pudiera plantear a Einstein podría ser respondida, exactamente igual que lo hubiera hecho Einstein en vida, simplemente hojeando el libro y siguiendo cuidadosamente todas las instrucciones detalladas que proporciona. Por supuesto, ‘simplemente’, es una palabra totalmente inadecuada, como Hofstadter se cuida en señalar. Pero su tesis es que, en principio, el libro es exactamente equivalente, en el sentido operacional del test de Turing, a una ridículamente ralentizada versión del Einstein real. Así, según las opiniones de la IA [Inteligencia Artificial] fuerte, el libro pensaría, sentiría, entendería, sería consciente, justo como si fuera el propio Einstein, pero quizá viviendo a un ritmo tremendamente ralentizado (de modo que para el Einstein-libro el mundo externo parecería discurrir a un ritmo ridículamente acelerado). De hecho, ya que se supone que el libro es simplemente una particular encarnación del algoritmo que constituía el ‘yo’ de Einstein, realmente sería Einstein”.
Igual que los ordenadores pueden programarse en alto nivel o en lenguaje máquina, en el cerebro hay diversos niveles. Por ejemplo, Einstein puede equivocarse en su mente, hacer una conjetura acerca de la realidad que esté equivocada (por ejemplo, que existe una constante cosmológica). Sin embargo, en el nivel de “lenguaje máquina” del cerebro, en el nivel neuronal, en cierto sentido, Einstein no puede equivocarse. Cada neurona puede estar encendida o apagada, pero, en todo caso, todas ellas siguen las leyes de la física. (Esto sucede, incluso, en personas que, a diferencia de Einstein, no saben nada de física).
Pero ¿en qué alfabeto está escrito el libro? Podríamos preguntarnos ¿en qué nivel se lee el libro? ¿Neural, lógico, del lenguaje común? Pondré un ejemplo, para que esto se entienda mejor. Según Hofstadter, ante una división por cero, el ordenador se detendría, y daría algún tipo de información sobre por qué no puede continuar operando, o más bien sobre dónde se ha detenido su ejecución. Pero podría expresar esta información en tres niveles:
“Nivel de lenguaje de máquina:
‘Ejecución del programa detenida en la posición
1110010101110111’
Nivel de lenguaje ensamblador:
‘Ejecución del programa detenida en la posición
DIV (dividir)
Nivel de lenguaje compilador:
‘Ejecución del programa detenida en el transcurso de la
resolución de la expresión algebraica ‘(A + B)/Z”4
Podemos preguntarnos, pues, si el libro que reproduce el cerebro de Einstein reproduce la estructura de las neuronas en el cerebro de Einstein. ¿Tendría, entonces, el libro, un aspecto cerebriforme? ¿O bien, sólo contendría una descripción de la estructura neuronal? Podría contener, tan sólo, una descripción de las operaciones lógicas. Quisiera diferenciar aquí entre las operaciones lógicas de Einstein cuando escribe en la pizarra ecuaciones algebraicas y las operaciones lógicas del cerebro. El cerebro de Einstein a alto nivel piensa difíciles ecuaciones matemáticas y también toma decisiones en aspectos cotidianos de la vida, que muchas veces pueden ser equivocadas. Sin embargo, subyaciendo al álgebra de las ecuaciones matemáticas y al sentido común de las decisiones cotidianas, hay una estructura lógica, sea ésta la estructura innata de los chomskyanos o el lenguaje de la mente de los cognitivistas. En cualquier caso, existe un programa de bajo nivel que se ejecuta directamente en nuestro sistema neuronal.
Si el libro está escrito en lenguaje neuronal o lógico, sería muy difícilmente inteligible. Sería como estudiar un líquido mediante el estudio de la trayectoria de cada una de las partículas de líquido. Hemos de suponer que, de algún modo, en el libro, se puede dar una descripción de alto nivel del cerebro de Einstein. Cabría imaginar que el libro fuera como uno de esos manuales para aprender Windows, sólo que el contenido del libro fuera una transcripción de un programa en C o en Pascal que, una vez instalado en el computador, produjera una simulación perfecta del cerebro de Einstein.
Más atrás he hablado de que el programa podría reproducir los procesos cerebrales de Einstein. Pero aquí tropezamos con otro problema ¿Se pueden modelizar todos los estados posibles del cerebro de Einstein? El problema en sí es intratable, puesto que un cerebro tendría, al menos, 2100.000.000.000 de estados posibles, eso, tan sólo contando las neuronas en estado de encendido o apagado, y sin tener en cuenta la disposición de las sinapsis. Si no se pueden modelizar todos los estados posibles del cerebro, ¿Acaso habría que producir una estructura cerebriforme?5.
Creo que la clave del experimento mental es que el cerebro de Einstein tenga interactividad ¿Podría interaccionar con Penrose y Hawking, por ejemplo? ¿Podría discutir el experimento de Aspect o la teoría de las supercuerdas? Para que fuera realmente inteligente, el cerebro de Einstein tendría que tener la posibilidad de cambiar de opinión, de aprender nuevas cosas. Si no, sería como un gigantesco CD-ROM o un parque temático einsteniano, pero no un agente con conciencia. Todo depende de su capacidad de producir nuevas respuestas
Veamos como discurre el texto de Hofstadter. La estructura es un diálogo entre Aquiles y la Tortuga. Como se sabe Aquiles y la Tortuga son los protagonistas de una de las paradojas de Zenón, y también de un diálogo de Lewis Carrol. En su libro Gödel, Escher, Bach, Hofstadter se ocupa de Aquiles y la Tortuga según Zenón y según Lewis Carrol. Aquí, en cambio, estos dos personajes sirven para expresar ideas que son de Hofstadter. Aquiles y la Tortuga se encuentran, pues, en un día de otoño. La Tortuga afirma, de manera extravagante, que ella no oye los discos poniéndolos en un gramófono, sino que observa con sus ojos los surcos del disco y así percibe la belleza de las piezas musicales contenidas en cada disco. Lo que quiere explicar la Tortuga con esto es que existe un isomorfismo entre el dibujo de los surcos en un disco y la música contenida en ese disco. La idea siguiente consiste en un libro que sea isomorfo al cerebro de Einstein en el momento de su muerte. La descripción del cerebro de Einstein es a nivel celular, neurona por neurona y axón por axón (lo que, como se puede imaginar hace el libro totalmente inmanejable). El cerebro consiste en una serie de neuronas y de axones que las conectan entre sí. Las neuronas se encienden, lo que quiere decir que una corriente eléctrica pasa por el axón de una neurona a otra neurona. La otra neurona se encenderá si pasa hacia ella una determinada cantidad de corriente. El libro que resume el contenido del cerebro de Einstein consta de cosas como números, letras y abreviaturas. La tortuga le pregunta a Aquiles si esperaba encontrar cosas como dibujos de extrellas y átomos, junto con fórmulas como E = m·c^2. Aquiles responde que no y anticipa lo que cree va a decir la Tortuga a continuación: cada página del libro corresponde a una neurona del cerebro y hay cien mil millones de páginas. Cada página contiene informaciones como con qué neuronas está conectada esa neurona o cuanta corriente es necesaria para encenderla. Cada pensamiento en la mente o en el cerebro corresponde a una serie de neuronas que se van encendiendo como cae una fila de fichas de dominó. La actividad neural depende probablemente de procesos químicos, que producen cambios en el encendido de las neuronas. Estos cambios en las neuronas son susceptibles de codificarse numéricamente. La Tortuga añade que el libro tendría que tener codificado también como reaccionar ante un sonido. Como hemos dicho antes, el libro tiene que ser interactivo si tiene que ser algo más que una gigantesca base de datos. Aquiles se pregunta qué pensaría de todo esto el viejo Einstein y la Tortuga responde que basta con consultar el libro para saberlo. La Tortuga sostiene que el libro es Einstein, pero Aquiles considera que no, porque Einstein era una persona, no un libro. Pero la Tortuga pregunta a Aquiles si no cree que en los discos hay música. Aquiles considera que se necesita una aguja y algún otro aparato para extraer la música del disco. La Tortuga pregunta si los sonidos de un disco son sonidos reales o sólo una suerte de imitación. Aquiles responde que la música viene del disco, pero está hecha de sonidos reales. La Tortuga está sugiriendo implícitamente que la música es al disco como la mente al cerebro. La Tortuga considera que la música está en el disco toda a la vez, independientemente de que para escucharla sea necesaria una sucesión temporal. La música es el disco. Aquiles considera que él prefiere el aspecto auditivo de la música, mientras que la Tortuga prefiere el aspecto visual. La Tortuga imagina que Aquiles es presentado al libro que contiene toda la información sobre el cerebro de Einstein. Lo que dice Aquiles actúa sobre las neuronas auditivas de Einstein, y estas neuronas actúan sobre todo el resto del libro. Se produce un proceso en cadena hasta que tiene lugar una respuesta. Como dice Aquiles, la respuesta podría tardar milenios. Esto se podría solucionar de dos maneras. Podríamos imaginar que, en vez de un libro, tenemos un programa informático como hemos dicho más arriba. Este programa, aunque conste de millones de instrucciones puede moverse con más rapidez que la que tardaría un individuo examinando un libro. Simplemente, el ordenador puede efectúar miles de operaciones por segundo. Además, imaginemos que el programa está escrito en un lenguaje de alto nivel y no en lenguaje máquina (que es sólo unos y ceros), de forma que da una descripción también de alto nivel de los procesos lógicos en el cerebro de Einstein. En este caso sería más inteligible que el movimiento de miles de millones de neuronas. Según la Tortuga, al primer saludo de Aquiles el libro respondería: “Hola, ¿Vienes a visitarme? ¿he muerto?”. Aquiles considera que no es Einstein quien está respondiendo, sino un tonto libro. La Tortuga considera que el libro responde exactamente como respondería Einstein si viviera. Después de todo el libro codifica el cerebro de Einstein el último día de su vida, y Einstein creía ser un hombre y no un libro.
Aquiles admite que él haría preguntas al libro como si fuera el Einstein real. La Tortuga considera que Aquiles podría explicar al libro que él (Einstein) había muerto, pero que su cerebro ha sido codificado en un gigantesco catálogo.después de su muerte. Aquiles se pregunta, si no está hablando con una persona viva, ¿de dónde vienen los pensamientos del Einstein simulado? La tortuga responde que del libro. Aquiles se pregunta cómo puede sufrir un libro. Pero la Tortuga responde que no sufre. Simplemente, el libro es. Está ahí. Aquiles contesta que no es un libro sólo, sino un libro más un proceso, pero ¿cómo puede un libro más un proceso sentir? Aquiles considera que el libro no tiene piernas, ¿cómo puede sentir dolor de piernas? La Tortuga considera que, sin embargo, el libro tiene muchas neuronas relacionadas con el dolor de piernas. Ahora bien, una vez que Aquiles le comunica que es un libro y no tiene piernas ¿para qué quiere el dolor de piernas? Podría concentrarse en otras cosas como comunicarse con Aquiles. Aquiles considera que, sin embargo, antes de completar un corto intercambio de frases, el propio Aquiles ya sería viejo. La Tortuga considera que Aquiles también podría ser un catálogo (cosa que, como era de esperar, a Aquiles no le hace mucha gracia). Pero la Tortuga sugiere que, convertido en catálogo, Aquiles podría mantener una excitante conversación con Einstein, y con otras personas a la vez, ya que se pueden construir varios catálogos de Aquiles. Aquiles piensa en Homero, Zenón y Lewis Carrol (que son, curiosamente, autores que han utilizado a Aquiles como personaje, bien en sus obras de ficción, bien en sus argumentos filosóficos). Aquiles se pregunta dónde estaría él, en cuál de los catálogos. La Tortuga dice que en todos...o quizás en ninguno. La Tortuga plantea lo que podría pasar si se confrontan dos catálogos de Aquiles. Aquiles se pregunta qué es el “yo” ¿Una persona? ¿un proceso? ¿una estructura en el cerebro de Aquiles? ¿o alguna incapturable esencia que siente y que ocurre en el cerebro? La Tortuga se pregunta si Einstein está muerto o sigue vivo en el libro. Para Aquiles, según todas las apariencia, una parte de su espíritu vive por el hecho de que los datos fueron grabados. Pero la Tortuga pregunta: ¿Y si el libro no fuera nunca usado? Además, probablemente sólo podría hablar una sílaba al siglo. Aquiles supone que existe una máquina que pasa rápidamente las páginas y que hace los cálculos. Pero ¿y si se estropea la mnáquina?, pregunta la Tortuga. Según Aquiles, entonces, el Libro Aquiles estaría muerto. Pero, dice la Tortiuga, ¿y si nadie lo atiende? ¿no estaría muerto también? Por otro lado, dice Aquiles, es importante que el libro venga junto con las instrucciones para usarlo, si no sería inútil. ¿Estaría vivo Aquiles si el libro fuera desparramado poco a poco?, pregunta la Tortuga. Alguien puede romper el libro. Aquiles considera que mientras las páginas puedan ser reunidas hay esperanza para su supervivencia, pero ¿reunidas por quién? La Tortuga se pregunta si los sentimientos no podrían estar todos a la vez, como la música en los discos. Pero Aquiles considera que una mente, a diferencia de un disco, está en interacción con el mundo exterior. La Tortuga asiente. La mente interactúa con el mundo exterior, de modo que no es predictible lo que va a suceder con la mente sólo con conocer la estructura del cerebro. Pero en la introspección, el cerebro no interactúa con el mundo exterior. Ahí podría estar todo al mismo tiempo.
Aquiles se pregunta qué pasaría si él leyera el libro de Aquiles. Tendría entonces un total conocimiento de sí mismo. En realidad, y dejando aparte problemas de tiempo (que sería inmenso) y de espacio de almacenaje (que sería insuficiente), si Aquiles consultara el libro de Aquiles tendría un conocimiento total del estado del cerebrto antes de consultar el libro. Pero el hecho de consultar el libro habría variado su estado cerebral. Es como el problema, que hemos visto en otro lugar, de el cerebro tratando de conocer el cerebro.
Como dice Daniel Dennett en su libro Brainstorms, una tormenta simulada no es una tormenta. Consta de impulsos eléctricos viajando a través de circuitos de silicio, y no de moléculas de aire atmosférico. Igualmente una simulación del cerebro no es inteligente.
Como reconoce el propio Hofstadter un programa jugador de de ajedrez no tiene ningún concepto de por qué está jugando a ajedrez, o del hecho de que es un programa, o de que está en una computadora, o de que tiene un oponente humano. No tiene ideas sobre qué es ganar o perder.
En Las sombras de la mente, Roger Penrose pone el ejemplo de un programa de inteligencia artificial que tuvo serios problemas en darse cuenta de que cuando el pie izquierdo de abraham Lincoln estaba en Washington, lo más probable era que su pie derecho también estuviera en Washington. Este ejemplo demuestra que aquel programa no tenía ninguna compresión genuina. Penrose pone otros ejemplos, como un error garrafal de Deep Thougth, el famoso programa de ajedrez que, en una partida, perdió de forma estúpida unas tablas seguras por el beneficio a corto plazo de capturar una torre, pese a que esta captura le llevaba obviamente a la derrota. Es evidente que Deep Thougth estaba programado para conseguir ventajas materiales, pero carecía de la visión estratégica que da una comprensión genuina. Al comer la torre con un peón, rompía una barrera de peones que le garantizaba las tablas. (Pero, en realidad, ni siquiera se daba cuenta de lo que estaba haciendo).
Parecido argumento es el de la habitación china de Searle. Searle imagina un anglohablante en una habitación, manejando las instrucciones sintácticas de un programa para hablar en chino. El anglohablante no conoce nada de chino, y las instrucciones para manejar el programa están en inglés. Searle pregunta: ¿el anglohablante entiende algo de chino? Parece ser que no. Pero, en realidad, el funcionamiento de los programas informáticos es igual a esto: un manejo ciego de símbolos.
Hay muchas cosas propias del conocimiento humano intuitivo que el computador no puede entender. Por ejemplo, en un cuento de Woody Allen, Agatón le dice a Woody Allen: “Oh , me encontré con Isósceles. Tiene una idea estupenda para un nuevo triángulo”.
Este chiste, por ejemplo, es entendido por la mayoría de la gente sin problemas. En realidad se basa en varios sobreentendidos. “Isósceles” todos imaginamos (aun si no sabemos griego) que debe querer decir algo así como “lados iguales” o “ángulos iguales”, ya que este triángulo tiene la propiedad de tener dos lados o dos ángulos iguales. El prefijo “iso” (que aparece en palabras como isomorfo) imaginamos que se refiere a la igualdad. Lo gracioso es que Woody Allen, sabiendo esto, se imagina que Isósceles podría ser el nombre de un filósofo, que sería el descubridor de ese tipo de triángulo. Y efectivamente Isósceles suena como Aristóteles, Sócrates, etc. El ser humano actúa por conjeturas, aproximaciones, esbozos de teorías acerca de lo que ve y oye. En cambio la máquina es incapaz de estas cosas. La máquina necesita una especificación previa de cómo debe actuar en una situación dada. Aun si a la máquina se le introducen elementos de azar, no se logrará nada. Pues un ser humano que actuara al azar iría a la deriva, y no acertaría casi nunca.
Por ejemplo, un amigo mío defendía que la máquina se mete en un bucle infinito porque, a diferencia del ser humano, no se cansa, y sigue, dale que dale como el conejito de las pilas Duracel. Pero no veo que se podría conseguir con que el ordenador se cansara. Pongamos que el ordenador busca determinada propiedad X, pero se cansa cuando llega al número 1.000. El ordenador dice que ningún número tiene la propiedad X. Ahora bien, ¡podría ser que el 1.001 tuviera la propiedad X!
En una ocasión, un profesor, al que había preguntado por el problema de los bucles infinitos, me respondió no era necesario que el ordenador recorriera los números naturales en su orden natural. Podía recorrerlos en un orden diferente, incluso al azar. Lo que yo pensé entonces es que el profesor no había entendido mi pregunta. Una aseveración acerca de teoría de números se refiere a los números naturales: a un número infinito de números. Este espacio es inabarcable, independientemente del orden en que se recorra. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach: todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. La demostración o refutación de dicha conjetura (si es que es posible) requiere intuición directa, matemática. Nada que ver con una máquina funcionando hasta que se pare cuando un número no cumpla la conjetura. Por cierto, ¿y si no se parara nunca?
Para algunos, la conclusión es que hay una serie de conceptos del conocimiento matemático y del conocimiento intuitivo que los computadores nunca lograrán imitar. Sin embargo, no estoy seguro de que esta coclusión sea la correcta. La conciencia no se puede simular. La inteligencia humana siempre será superior a la de un iordenador. O no (como dijo el otro).
miércoles, 13 de enero de 2010
Una tortuga en los juegos olímpicos
La paradoja de Aquiles y la tortuga se debe a Zenón de Elea. Este filósofo del siglo V a.c., defensor de las ideas de Parménides propuso una serie de paradojas en las que negaba la posibilidad del movimiento. A la más famosa (la de Aquiles y la tortuga) se referirá Borges en dos breves ensayos: “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” y “Avatares de la tortuga”. Dada la importancia que da Savater a la obra de Borges hubiera sido divertido titular este capítulo “Savateres de la tortuga”, sin embargo he creído que dado que los juegos olímpicos proceden de Grecia, no era incongruente hacer correr a la tortuga en uno de ellos. Lo primero sería la exposición de las paradojas de Zenón. Lsa primera de ellas es la de la . Dicotomía. Carl B. Boyer, en su "Historia de la matemática" la expone así:
“La primera arfirma que antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero aún antes de recorrer ésta deberá recorrer el primer cuarto de la distancia inicial, y antes aún el octavo, y así indefinidamente a través de una cantidad infinita de subdivisiones. El corredor que quiere iniciar su carrera debe realizar un número infinito de etapas sin ninguna primera en un tiempo finito; pero es obviamente imposible agotar una colección infinita y, por tanto, el mismísimo comienzo del movimiento es imposible”
La segunda de las paradojas ––la que utilizará Borges–– es la de Aquiles y la tortuga.
“La segunda de las paradojas es parecida a la primera, salvo que ahora la subdivisión indefinida es en sentido progresivo en vez de regresivo; aquí nos encontramos a Aquiles ‘el de los pies ligeros’ compitiendo en una carrera con una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial, y en la paradoja se trata de demostrar que Aquiles, por muy velozmente que corra, no podrá alcanzar ni, por supuesto, adelantar nunca a la tortuga, por muy El lenguaje de las matemáticaslentamente que ésta se mueva. Pues para cuando Aquiles haya alcanzado la posición inicial de la tortuga, ésta habrá avanzado alguna distancia aunque sea pequeña, y cuando Aquiles haya recorrido esta distancia, la tortuga habrá avanzado algo más lejos, y así el proceso continúa indefinidamente, con el resultado de que el veloz Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga”.
No es la única paradoja de Zenón que trata, ya que se refiere en el poema “Cosas” del libro El oro de los tigres al
“Instante en que la flecha del eleata
Inmóvil en el aire da en el blanco”
“En la Flecha sostiene Zenón que un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo, y que lo que siempre ocupa un lugar igual a sí mismo no puede estar en movimiento; por lo tanto, la flecha está en reposo en todos los ionstantes durante su vuelo, luego su movimiento no es más que una ilusión”.
Quienquiera saber la paradoja del Estadio que consulte a Carl B. Boyer,(Historia de la matemática, Alianza Universidad) pags. 109 y 110. Con lo expuesto ya tenemos bastante para lo que me interesa en este caso.
Borges da una solución a la segunda paradoja de Zenón. Suponiendo que Aquiles está a 10 metros de la tortuga y que ésta avanza 10 veces más lento que Aquiles, Aquiles avanza 10 metros, la tortuga un metro. Aquiles avanza un metro, la tortuga la décima parte de un metro. Aquiles avanza la décima parte de un metro, la tortuga avanza un centímetro. La solución, es decir, el punto en que Aquiles alcanza a la tortuga es la suma de la serie 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000, es decir 1,1111111111...
Borges relaciona la crítica aristotélica al argumento de Zenón con su “argumento del tercer hombre”.
“Aristóteles interroga si los muchos hombre y el Hombre ––los individuos temporales y el Arquetipo–– tienen atributos comunes. Es notorio que sí; tienen los atributos generales de la humanidad. En ese caso, afirma Aristóteles, habrá que postular otro arquetipo que los abarque a todos y después un cuarto”
Borges atribuye a un tal Patricio de Azcárate esta versión, quizá más clara:
“Si lo que se afirma de muchas cosas a la vez es un ser aparte, distinto de las cosas que se afirma (y esto es lo que pretenden los platonianos), es preciso que haya un tercer hombre. Es una denominación que se aplica a los individuos y a la idea. Hay, pues, un tercer hombre distinto de los hombres particulares y de la idea. Hay al mismo tiempo un cuarto que estará en la misma relación con éste y con la idea de los hombres particulares; después un quinto y así hasta el infinito”
Éste argumento, que puede parecer un tanto sofisticado y hasta traído por los pelos se parece a una nueva paradoja que inventará Lewis Carrol, una nueva variación sobre el tema de Aquiles y la tortuga. Douglas Hoftstadter dedicará una parte de su libro tanto a la paradoja original de Zenón como a la de Lewis Carrol. De hecho, buena parte de su libro consiste en supuestos diálogos de Aquiles y la tortuga sobre temas de filosofía o de la matemática moderna. Curiosamente, Borges, en su libro, cita también la paradoja de Lewis Carrol. La Enciclopedia Oxford de Filosofía es poco misericordiosa con Lewis Carrol:
“Llegado en las postrimerías del agonizante programa de la lógica aristotélica, sus contribuciones a la lógica formal son inevitablemente insignificantes, residiendo su único valor perdurable en el testimonio de su inimitable talento para diseñar silogismos extraordinarios. El artículo filosóficamente más importante de Carrol es característicamente el original y engañosamente luminoso “What the tortoise said to Achiles” [Lo que la tortuga le dijo a Aquiles} publicado en Mind (1895). En él plantea un serio problema acerca de la epistemología de la inferencia válida, demostrando que la aceptación de una regla de inferencia no puede ser identificada con la aceptación de una proposición condicional”.
El diálogo es, efectivamente, típico de Lewis Carrol, tanto que casi podría aparecer en Alicia en en el país de las maravillas. Empieza con Aquiles subido en el caparazón de la tiortuga después de haber completado su carrera. El diálogo comienza con el planteamiento de dos premisas y una conclusión
A)Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
B)Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
Z)Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Entonces, para demostrar z, la tortuga alega que es necesario aceptar primero una nueva premisa.
C)Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
Pero si el hecho de que A , B y C sean verdaderas hace verdadero Z, la tortuga añade que antes de hacer la inferencia se debe presuponerAvatar lo siguiente:
D) Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.
Pero antes de admitir esto habría que admitir otra proposición:
E)Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera.
La tortuga añade “Hasta que yo haya admitido eso es claro que no tengo por qué admitir Z. De modo que se trata de un paso totalmente necesario. ¿Lo ve usted?”
Como se puede observar, la paradoja se parece mucho a la paradoja aristotélica mencionada por Borges y, en este contexto, no es extraño que el argentino citara la de Lewis Carrol.
Otro autor que habla de las paradojas de Zenón es Keith Devlin en su libro El lenguaje de las matemáticas. Hablando de la paradoja, Keith Devlin dice que
“el rompecabezas de Zenón es una paradoja genuina si se considera el espacio como atómico, consistente en una multiplicidad de puntos adyacentes, y el tiempo como formado por una sucesión de instantes discretos”.
Me parece dudoso que sea una “paradoja genuina”, si por esto se entiende una contradicción real. En el mundo real, Aquiles no tiene ningún problema para alcanzar a la tortuga. Además, el tiempo y el espacio podrían ser discretos, No está nada claro que no haya una unidad mínima de materia. Otra cosa es que para explicar el movimiento en el mundo real nos basta con la idealización de los llamados números “reales”.
Keith Devlin utiliza para refutar la paradoja de Aquiles y la tortuga la misma serie infinita de Borges.
S = 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...
Pero añade la idea de multiplicar la serie por 10.
10 S = 100 +10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...
A continuación hace la operación siguiente:
“Si ahora se resta la primera identidad de esta segunda, todos los términos de la parte de la derecha se cancelan por pares, con excepción del 100 inicial de la segunda serie”
Devlin llega al mismo resultado que habíamos obtenido más atrás mediante las siguientes operaciones:
10 S – S = 100
9S = 100
S= 100/9 = 11 1/9
Que coincide con el resultado que dábamos más arriba ya que 100/9 = 11.1111111111...
La teoría es una de las más fértiles ideas del pensamiento humano. En términos de cálculo infinitesimal, la paradoja de Zenón es, simplemente, la de una serie infinita de números cuya suma es finita (una serie convergente). Los descubrimientos de Leibniz y Newton (y más tarde Cauchy y Weierstrass) hacen que ya no nos maraville esta antigua paradoja. Cuando calculamos una integral, dividimos el área bajo una curva en infinitos rectángulos. El infinito, que alguna vez estremeció a los filósofos, hoy sólo nos sirve como un artificio del cálculo.
“La primera arfirma que antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero aún antes de recorrer ésta deberá recorrer el primer cuarto de la distancia inicial, y antes aún el octavo, y así indefinidamente a través de una cantidad infinita de subdivisiones. El corredor que quiere iniciar su carrera debe realizar un número infinito de etapas sin ninguna primera en un tiempo finito; pero es obviamente imposible agotar una colección infinita y, por tanto, el mismísimo comienzo del movimiento es imposible”
La segunda de las paradojas ––la que utilizará Borges–– es la de Aquiles y la tortuga.
“La segunda de las paradojas es parecida a la primera, salvo que ahora la subdivisión indefinida es en sentido progresivo en vez de regresivo; aquí nos encontramos a Aquiles ‘el de los pies ligeros’ compitiendo en una carrera con una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial, y en la paradoja se trata de demostrar que Aquiles, por muy velozmente que corra, no podrá alcanzar ni, por supuesto, adelantar nunca a la tortuga, por muy El lenguaje de las matemáticaslentamente que ésta se mueva. Pues para cuando Aquiles haya alcanzado la posición inicial de la tortuga, ésta habrá avanzado alguna distancia aunque sea pequeña, y cuando Aquiles haya recorrido esta distancia, la tortuga habrá avanzado algo más lejos, y así el proceso continúa indefinidamente, con el resultado de que el veloz Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga”.
No es la única paradoja de Zenón que trata, ya que se refiere en el poema “Cosas” del libro El oro de los tigres al
“Instante en que la flecha del eleata
Inmóvil en el aire da en el blanco”
“En la Flecha sostiene Zenón que un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo, y que lo que siempre ocupa un lugar igual a sí mismo no puede estar en movimiento; por lo tanto, la flecha está en reposo en todos los ionstantes durante su vuelo, luego su movimiento no es más que una ilusión”.
Quienquiera saber la paradoja del Estadio que consulte a Carl B. Boyer,(Historia de la matemática, Alianza Universidad) pags. 109 y 110. Con lo expuesto ya tenemos bastante para lo que me interesa en este caso.
Borges da una solución a la segunda paradoja de Zenón. Suponiendo que Aquiles está a 10 metros de la tortuga y que ésta avanza 10 veces más lento que Aquiles, Aquiles avanza 10 metros, la tortuga un metro. Aquiles avanza un metro, la tortuga la décima parte de un metro. Aquiles avanza la décima parte de un metro, la tortuga avanza un centímetro. La solución, es decir, el punto en que Aquiles alcanza a la tortuga es la suma de la serie 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000, es decir 1,1111111111...
Borges relaciona la crítica aristotélica al argumento de Zenón con su “argumento del tercer hombre”.
“Aristóteles interroga si los muchos hombre y el Hombre ––los individuos temporales y el Arquetipo–– tienen atributos comunes. Es notorio que sí; tienen los atributos generales de la humanidad. En ese caso, afirma Aristóteles, habrá que postular otro arquetipo que los abarque a todos y después un cuarto”
Borges atribuye a un tal Patricio de Azcárate esta versión, quizá más clara:
“Si lo que se afirma de muchas cosas a la vez es un ser aparte, distinto de las cosas que se afirma (y esto es lo que pretenden los platonianos), es preciso que haya un tercer hombre. Es una denominación que se aplica a los individuos y a la idea. Hay, pues, un tercer hombre distinto de los hombres particulares y de la idea. Hay al mismo tiempo un cuarto que estará en la misma relación con éste y con la idea de los hombres particulares; después un quinto y así hasta el infinito”
Éste argumento, que puede parecer un tanto sofisticado y hasta traído por los pelos se parece a una nueva paradoja que inventará Lewis Carrol, una nueva variación sobre el tema de Aquiles y la tortuga. Douglas Hoftstadter dedicará una parte de su libro tanto a la paradoja original de Zenón como a la de Lewis Carrol. De hecho, buena parte de su libro consiste en supuestos diálogos de Aquiles y la tortuga sobre temas de filosofía o de la matemática moderna. Curiosamente, Borges, en su libro, cita también la paradoja de Lewis Carrol. La Enciclopedia Oxford de Filosofía es poco misericordiosa con Lewis Carrol:
“Llegado en las postrimerías del agonizante programa de la lógica aristotélica, sus contribuciones a la lógica formal son inevitablemente insignificantes, residiendo su único valor perdurable en el testimonio de su inimitable talento para diseñar silogismos extraordinarios. El artículo filosóficamente más importante de Carrol es característicamente el original y engañosamente luminoso “What the tortoise said to Achiles” [Lo que la tortuga le dijo a Aquiles} publicado en Mind (1895). En él plantea un serio problema acerca de la epistemología de la inferencia válida, demostrando que la aceptación de una regla de inferencia no puede ser identificada con la aceptación de una proposición condicional”.
El diálogo es, efectivamente, típico de Lewis Carrol, tanto que casi podría aparecer en Alicia en en el país de las maravillas. Empieza con Aquiles subido en el caparazón de la tiortuga después de haber completado su carrera. El diálogo comienza con el planteamiento de dos premisas y una conclusión
A)Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
B)Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
Z)Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Entonces, para demostrar z, la tortuga alega que es necesario aceptar primero una nueva premisa.
C)Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
Pero si el hecho de que A , B y C sean verdaderas hace verdadero Z, la tortuga añade que antes de hacer la inferencia se debe presuponerAvatar lo siguiente:
D) Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.
Pero antes de admitir esto habría que admitir otra proposición:
E)Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera.
La tortuga añade “Hasta que yo haya admitido eso es claro que no tengo por qué admitir Z. De modo que se trata de un paso totalmente necesario. ¿Lo ve usted?”
Como se puede observar, la paradoja se parece mucho a la paradoja aristotélica mencionada por Borges y, en este contexto, no es extraño que el argentino citara la de Lewis Carrol.
Otro autor que habla de las paradojas de Zenón es Keith Devlin en su libro El lenguaje de las matemáticas. Hablando de la paradoja, Keith Devlin dice que
“el rompecabezas de Zenón es una paradoja genuina si se considera el espacio como atómico, consistente en una multiplicidad de puntos adyacentes, y el tiempo como formado por una sucesión de instantes discretos”.
Me parece dudoso que sea una “paradoja genuina”, si por esto se entiende una contradicción real. En el mundo real, Aquiles no tiene ningún problema para alcanzar a la tortuga. Además, el tiempo y el espacio podrían ser discretos, No está nada claro que no haya una unidad mínima de materia. Otra cosa es que para explicar el movimiento en el mundo real nos basta con la idealización de los llamados números “reales”.
Keith Devlin utiliza para refutar la paradoja de Aquiles y la tortuga la misma serie infinita de Borges.
S = 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...
Pero añade la idea de multiplicar la serie por 10.
10 S = 100 +10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...
A continuación hace la operación siguiente:
“Si ahora se resta la primera identidad de esta segunda, todos los términos de la parte de la derecha se cancelan por pares, con excepción del 100 inicial de la segunda serie”
Devlin llega al mismo resultado que habíamos obtenido más atrás mediante las siguientes operaciones:
10 S – S = 100
9S = 100
S= 100/9 = 11 1/9
Que coincide con el resultado que dábamos más arriba ya que 100/9 = 11.1111111111...
La teoría es una de las más fértiles ideas del pensamiento humano. En términos de cálculo infinitesimal, la paradoja de Zenón es, simplemente, la de una serie infinita de números cuya suma es finita (una serie convergente). Los descubrimientos de Leibniz y Newton (y más tarde Cauchy y Weierstrass) hacen que ya no nos maraville esta antigua paradoja. Cuando calculamos una integral, dividimos el área bajo una curva en infinitos rectángulos. El infinito, que alguna vez estremeció a los filósofos, hoy sólo nos sirve como un artificio del cálculo.
sábado, 26 de septiembre de 2009
Prada: anatomía de un "genio"
En los últimos años ha cobrado importancia en el mundo del periodismo la pluma de Juan Manuel de Prada. El mérito de Prada consiste en que es capaz de explicar en prosa brillante los conceptos más absurdos.
Prada llamó la atención del mundillo literario con un libro llamado Coños (no es que sea muy original, ya Gómez de la Serna había escrito un libro llamado Senos).
Ahora bien,en un momento dado, Prada se da cuenta de que el hedonismo no es original, que el 90% de escritores en el mercado son hedonistas. Y, como encima, su prosa (la de Prada) es más aburrida que un sermón de Monseñor Setién, el joven escritor decide cambiar de acera. En vez de defender el hedonismo, y hacer prosa combativa "de izquierdas" (por llamarlo de algún modo) se dedica a hacer todo lo contrario: se convierte en fundamentalista, se dedica a denunciar a la generación del 68, etc. Y el resultado es todo un éxito ¡Ahora vende muchos más libros que antes!
Un día, camino de Damasco, Prada se descubre cristiano ¡Y qué cristiano!: defiende el creacionismo, ataca la teoría de Darwin, en fin, adopta todas las posturas de los cristianos conservadores y de la derecha radical.
Ortega, para mofarse de Baroja, dijo que su novela Aurora roja era un manual de derecho político Yo también diré del libro de Prada que es un manual de derecho político. Pero no lo digo porque sea aburridísimo (que lo es). Yo, a diferencia de Ortega, lo digo en serio. Bien, ¿y cuál es la postura que defiende el manual...el libro de Prada? Bien, es un iusnaturalismo católico.
"Me lo explique" que diría Macario. La postura de Prada se resume así: "Existe un derecho natural, de origen divino" (no se sabe bien cuando entregó Dios estos preceptos de derecho natural: quizás lo entregó a Moisés en el Sinaí).
Consecuente con esta opinión, Prada apoya sus posturas, en muchos casos, en pasajes de la Biblia. (Desde luego, cada uno es muy libre de seguir las ideas que quiera: la Biblia o El capital, Voltaire o Adam Smith, etc.)
Pero ¿por qué deberíamos seguir las enseñanzas de la Biblia? Después de todo: ¿quién dice que la Biblia es palabra de Dios? ¿quien nos lo garantiza? Lo curioso del tema es que quien dice esto es...la propia Biblia.
¿Habrá alguien que no se dé cuenta de que aquí hay un problema? es lo que se suele llamar "círculo de fundamentación".
Ando lejos de querer que los creyentes abandonen su fe. Que sigan ellos con su fe, y que me dejen a mí tener la mía.
Pero si (como yo creo) no se puede demostrar la existencia de Dios, o la verdad de la Biblia, no veo porque habría que aceptar las posturas de Prada, y no otras (socialdemócratas, liberales o lo que sea). Igualmente, las posturas creacionistas de Prada se basan en sus personales creencias, y no en ningún dato científico.
Algún otro día seguiré tratando de estos temas. De momento lo dejo aquí.
Prada llamó la atención del mundillo literario con un libro llamado Coños (no es que sea muy original, ya Gómez de la Serna había escrito un libro llamado Senos).
Ahora bien,en un momento dado, Prada se da cuenta de que el hedonismo no es original, que el 90% de escritores en el mercado son hedonistas. Y, como encima, su prosa (la de Prada) es más aburrida que un sermón de Monseñor Setién, el joven escritor decide cambiar de acera. En vez de defender el hedonismo, y hacer prosa combativa "de izquierdas" (por llamarlo de algún modo) se dedica a hacer todo lo contrario: se convierte en fundamentalista, se dedica a denunciar a la generación del 68, etc. Y el resultado es todo un éxito ¡Ahora vende muchos más libros que antes!
Un día, camino de Damasco, Prada se descubre cristiano ¡Y qué cristiano!: defiende el creacionismo, ataca la teoría de Darwin, en fin, adopta todas las posturas de los cristianos conservadores y de la derecha radical.
Ortega, para mofarse de Baroja, dijo que su novela Aurora roja era un manual de derecho político Yo también diré del libro de Prada que es un manual de derecho político. Pero no lo digo porque sea aburridísimo (que lo es). Yo, a diferencia de Ortega, lo digo en serio. Bien, ¿y cuál es la postura que defiende el manual...el libro de Prada? Bien, es un iusnaturalismo católico.
"Me lo explique" que diría Macario. La postura de Prada se resume así: "Existe un derecho natural, de origen divino" (no se sabe bien cuando entregó Dios estos preceptos de derecho natural: quizás lo entregó a Moisés en el Sinaí).
Consecuente con esta opinión, Prada apoya sus posturas, en muchos casos, en pasajes de la Biblia. (Desde luego, cada uno es muy libre de seguir las ideas que quiera: la Biblia o El capital, Voltaire o Adam Smith, etc.)
Pero ¿por qué deberíamos seguir las enseñanzas de la Biblia? Después de todo: ¿quién dice que la Biblia es palabra de Dios? ¿quien nos lo garantiza? Lo curioso del tema es que quien dice esto es...la propia Biblia.
¿Habrá alguien que no se dé cuenta de que aquí hay un problema? es lo que se suele llamar "círculo de fundamentación".
Ando lejos de querer que los creyentes abandonen su fe. Que sigan ellos con su fe, y que me dejen a mí tener la mía.
Pero si (como yo creo) no se puede demostrar la existencia de Dios, o la verdad de la Biblia, no veo porque habría que aceptar las posturas de Prada, y no otras (socialdemócratas, liberales o lo que sea). Igualmente, las posturas creacionistas de Prada se basan en sus personales creencias, y no en ningún dato científico.
Algún otro día seguiré tratando de estos temas. De momento lo dejo aquí.
domingo, 9 de agosto de 2009
La utilidad del argumento diagonal
El argumento diagonal de Cantor es conocido de todos los matemáticos, y de gran parte de la gente que se dedica a disciplinas afines: física, ingeniería, etc.
En primer lugar expondré el argumento ee Cantor, y luego me dedicaré a discutir su utilidad
Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.
0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766
Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números
El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).
Por muy esotérico que parezca el argumento de Cantor, lo cierto es que se utiliza con gran frecuencia en disciplinas como la lógica y la teoría de computación.
Leyendo librops como Computability de Cutland, Lógica para matemáticos de A. G: Hamilton, El desarrollo de la lógica de los Kneale,o incluso el libro de divulgación Gödel, Escher, Bach de Hofstadter, uno se da cuenta de la ubicuidad de las demostraciones de tipo diagonal.
Por ejemplo la demostración de que existen funciones que no son recursivas primitivas, o la demostración de que el conjunto de las funciones recursivas totales no es recursivamente enumerable.
Lo que es más, hay teoremas importantes, como el problema de la detención de la máquina de Turing o el teorema de Gödel ¡que también usan argumentos de tipo diagonal!
La paradoja de Russell también utiliza una especie método diagonal (aunque en este caso, el carácter diagonal del razonamiento resulta, seguramente, menos obvio).
Otras demostraciones, como la existencia de números reales no computables (debida a Turing) o la demostración de que existen gramáticas que van más allá de las que producen los autómatas finitos, si bien no utilizan el método diagonal ¡utilizan el conceptpo de conjunto no numerable de Cantor!
Así, resulta sorprendente, el hecho de que teorías matemáticas tan esotéricas como las de Cantor tengan una aplicación en campos mucho más prácticos como la teoría de computación y la informática.
(La teoría de Cantor ha sido extremadamente controvertida. No obstante, si prescindiéramos de ella, habría que amputar una parte muy importante de los hallazgos de la lógica a lo largo del siglo XX).
En primer lugar expondré el argumento ee Cantor, y luego me dedicaré a discutir su utilidad
Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.
0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766
Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números
El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).
Por muy esotérico que parezca el argumento de Cantor, lo cierto es que se utiliza con gran frecuencia en disciplinas como la lógica y la teoría de computación.
Leyendo librops como Computability de Cutland, Lógica para matemáticos de A. G: Hamilton, El desarrollo de la lógica de los Kneale,o incluso el libro de divulgación Gödel, Escher, Bach de Hofstadter, uno se da cuenta de la ubicuidad de las demostraciones de tipo diagonal.
Por ejemplo la demostración de que existen funciones que no son recursivas primitivas, o la demostración de que el conjunto de las funciones recursivas totales no es recursivamente enumerable.
Lo que es más, hay teoremas importantes, como el problema de la detención de la máquina de Turing o el teorema de Gödel ¡que también usan argumentos de tipo diagonal!
La paradoja de Russell también utiliza una especie método diagonal (aunque en este caso, el carácter diagonal del razonamiento resulta, seguramente, menos obvio).
Otras demostraciones, como la existencia de números reales no computables (debida a Turing) o la demostración de que existen gramáticas que van más allá de las que producen los autómatas finitos, si bien no utilizan el método diagonal ¡utilizan el conceptpo de conjunto no numerable de Cantor!
Así, resulta sorprendente, el hecho de que teorías matemáticas tan esotéricas como las de Cantor tengan una aplicación en campos mucho más prácticos como la teoría de computación y la informática.
(La teoría de Cantor ha sido extremadamente controvertida. No obstante, si prescindiéramos de ella, habría que amputar una parte muy importante de los hallazgos de la lógica a lo largo del siglo XX).
lunes, 18 de mayo de 2009
Las matemáticas y "Los crímenes de Oxford"
La fenomenal película Los crímenes de Oxford trata (entre otras cosas) el tema de las series matemáticas. Los tests para medir el CI suelen utilizar series de números.
Por ejemplo, ¿cuál es el siguiente término de esta serie?
1, 2.....
Fácil, ¿no? la mayoría de nosotros propondría 1, 2, 3 (la serie aritmética). Ahora bien, también podría ser 1, 2, 4 (la serie geométrica). Y también podría ser 1, 2, 6 (esta serie se calcula a partir del factorial, 1!, 2!, 3!, es decir 1, 1·2, 1·2·3...). También podríamos tener la serie 1, 2, 9 (1⁰,2¹, 3²...), , o la serie 1, 2, 5 (1, 1+1, 1+2+2,1+3+3+3,...) etc.
De hecho, existe un método, la intepolación de Lagrange, por el cual, para n puntos, siempre se puede escribir una ecuación que pase por esos n puntos.
¿Cómo distinguir, entonces, si un conjunto de n puntos obedecen a una ley o están situados al azar?
Gregory Chaitin escribió lo siguiente:
"If the law has to be extremely complicated[...]then the points are placed at random,[...] not in accordance with a scientific law. But if the law is simple, then it's a genuine law of nature, we are not fooling ourselves".
Conviene tener en cuenta esta teoría de Gregory Chaitin.
Dentro de las series de números naturales, uno de los subconjuntos es la de las series módulo 10. Para obtener las series módulo 10, cojemos las series normales, y, al 15 lo convertimos en 5, al 20 en 0, al 134 en 4, etc.
Como las series módulo 10, constan de un número infinito de términos, cada serie módulo 10 es biyectable con un número real.
Pero los números reales entre 0 y 1 son no computables con probabilidad 1. Es decir que la mayoría de los reales entre 0 y 1 no son computables. Sólo un número infinitesimal de los reales entre 0 y 1 son computables.
Por tanto, de entre las series infinitas de números naturales, sólo una cantidad infinitesimal de ellas es computable. La mayoría de series de números reales son aleatorias, en el sentido que da Chaitin a esta palabra.
Por ejemplo, ¿cuál es el siguiente término de esta serie?
1, 2.....
Fácil, ¿no? la mayoría de nosotros propondría 1, 2, 3 (la serie aritmética). Ahora bien, también podría ser 1, 2, 4 (la serie geométrica). Y también podría ser 1, 2, 6 (esta serie se calcula a partir del factorial, 1!, 2!, 3!, es decir 1, 1·2, 1·2·3...). También podríamos tener la serie 1, 2, 9 (1⁰,2¹, 3²...), , o la serie 1, 2, 5 (1, 1+1, 1+2+2,1+3+3+3,...) etc.
De hecho, existe un método, la intepolación de Lagrange, por el cual, para n puntos, siempre se puede escribir una ecuación que pase por esos n puntos.
¿Cómo distinguir, entonces, si un conjunto de n puntos obedecen a una ley o están situados al azar?
Gregory Chaitin escribió lo siguiente:
"If the law has to be extremely complicated[...]then the points are placed at random,[...] not in accordance with a scientific law. But if the law is simple, then it's a genuine law of nature, we are not fooling ourselves".
Conviene tener en cuenta esta teoría de Gregory Chaitin.
Dentro de las series de números naturales, uno de los subconjuntos es la de las series módulo 10. Para obtener las series módulo 10, cojemos las series normales, y, al 15 lo convertimos en 5, al 20 en 0, al 134 en 4, etc.
Como las series módulo 10, constan de un número infinito de términos, cada serie módulo 10 es biyectable con un número real.
Pero los números reales entre 0 y 1 son no computables con probabilidad 1. Es decir que la mayoría de los reales entre 0 y 1 no son computables. Sólo un número infinitesimal de los reales entre 0 y 1 son computables.
Por tanto, de entre las series infinitas de números naturales, sólo una cantidad infinitesimal de ellas es computable. La mayoría de series de números reales son aleatorias, en el sentido que da Chaitin a esta palabra.
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