miércoles, 28 de febrero de 2007

Isomorfismos o el mapa del imperio

Uno de los más bellos cuentos de Borges es “Del rigor de la ciencia”, el famoso cuento en que aparece el mapa del Imperio que es del tamaño del Imperio

“...En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas".

El cuento de Borges tiene paralelos en las matemáticas. Por ejemplo, en el isomorfismo entre dos estructuras.

Cuando descubrimos un isomorfismo entre dos estructuras, lo que sucede es que el estudio de una puede reducirse al de la otra. Hemos descubierto una analogía entre dos estructuras, que dos estructuras son la misma en algún aspecto.

En cierto modo es como si una de las estructuras fuera un mapa de la otra estructura, de forma que todas las ciudades y todas las carreteras entre las ciudades de la estructura A tienen equivalente en la estructura B.

Las estructuras isomórficas son matemáticamente equivalentes, cualquiera que sea la naturaleza de sus elementos. Del conjunto de ellas puede tomarse una cualquiera como modelo.
Los resultados que sobre esta estructura modelo se consignan, son directamente aplicables a cualquier otra estructura isomorfa a ella, sin más que "traducir" la naturaleza de sus elementos y relaciones.

Cuando estudiaba Filosofía, teníamos una asignatura llamada Filosofía y Matemáticas. Yo no me enteraba de nada en esa asignatura, hasta que vimos el concepto de isomorfismo y el de álgebra booleana. La profesora dijo que había una cosa que habíamos estudiado ya que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo me di cuenta de que era la lógica proposicional.

A partir de ahí sentí que ya no estaba tan perdido en la asignatura, y además, incluso me empezó a entrar una afición por las matemáticas, cosa que no había tenido nunca.

En cierto modo el pensamiento matemático surge de esa manera, cuando descubrimos analogías entre las cosas nuevas que todavía no conocemos, y las cosas que conocemos bien.

En un lenguaje coloquial, también utilizamos la analogía, que es una especie de isomorfismo. Por ejemplo, llamamos a una constelación el Can, o la Osa Mayor, porque recuerdan a un perro o a una osa. Son a los cielos, lo que los animales a la vida terrestre. “Valdano es el Cicerón del fútbol”. Es decir, Valdano ocupa en el fútbol la misma posición que Cicerón en la filosofía.

En las matemáticas se dan los únicos ejemplos verdaderos de isomorfismo. Así por ejemplo, la lógica proposicional es isomorfa a un álgebra booleana y, al mismo tiempo, el álgebra booleana lo es a un álgebra de conjuntos.

El álgebra booleana es un álgebra especial que opera con sólo dos números, 1 y 0. Sus leyes son diferentes a las del álgebra habitual

La teoría de conjuntos tiene su jerga particular. Por ejemplo, habla de intersección y unión. Por ejemplo, la intersección del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los españoles que son negros. La unión del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los que o bien son españoles o bien son negros (o bien ambas cosas).

El conjunto universal son todos los elementos del universo: en este caso sería todos los hombres y las mujeres, toda la humanidad. El complementario de un conjunto son los elementos que no pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo el complementario del conjunto de los españoles son todos los hombres y mujeres que no son españoles. Por último, el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento.

En la proyección del álgebra booleana sobre el álgebra de conjuntos decimos que el 1 es el conjunto universal; y el 0, el conjunto vacío. Se pueden, pues, trasladar conceptos de las leyes del álgebra booleana al álgebra de conjuntos. Así, “a·1= a” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto universal es el conjunto a. “a·0= 0” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto vacío es el conjunto vacío. “a+1=1” (ley que no es válida en el álgebra habitual, pero sí en el álgebra booleana, donde no existe un número mayor que 1) quiere decir que la unión del conjunto a y el conjunto universal es el conjunto universal. “a+0=a” quiere decir que la unión de a y el conjunto vacío es a.

(Recuerdo que estuve matriculado una asignatura que trataba sobre isomorfismos, llamada Teoría de Modelos. De forma asombrosa para tratarse de una difícil asignatura de lógica, se había apuntado un montón e gente. La gente que cogía esa asignatura no era de Filosofía. Era gente de otras carreras que cogía la asignatura como de libre elección. Al parecer, había algunos niños y niñas de Pedagogía que creían que esa asignatura enseñaba a ser modelo de pasarela. Que era como una escuela de modelaje).

La idea de isomorfismo se puede trasladar a las ciencias naturales. Así pues, si la ciencia hace predicciones sobre la realidad, es porque debe haber un isomorfismo entre la teoría científica y la realidad.

La apoteosis de la descripción científica sería una copia a escala 1:1 del objeto que se quiere describir, tal como lo ejemplifica Borges. El mejor mapa del imperio sería un mapa del mismo tamaño que el imperio. El mejor modelo del universo sería otro universo exactamente igual que el actual. (Ya Platón decía que la mejor descripción de Cratilo, sería otro Cratilo).

Naturalmente, lo que Borges evidencia es que esto son absurdos. Lo que la ciencia busca, en realidad, son unas ecuaciones que describan con fidelidad una serie limitada de fenómenos no la totalidad de las cosas.

Ian Stewart (¿Juega Dios a los dados?. Barcelona, Crítica, 2001) imagina un computador que calculara todas las variables del universo en un instante, para predecir cual sería el universo en el siguiente instante. Uno de los problemas que se plantea es dónde escribiría el computador los datos, ya que tiene que manejar como mínimo seis variables, la posición y la velocidad, para cada partícula del universo.

Además, el computador debería estar fuera del universo, porque si no, el hecho de hacer el cálculo afectaría al estado del universo, por lo que la computadora se metería en un bucle infinito, pues debería calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular, así ad infinitum.

Una paradoja semejante la propone Hofstadter (The Mind’s I). Supongamos que Aquiles quiere saberlo todo sobre el estado de su cerebro. Lee un libro donde aparece pormenorizadamente el estado neuronal de Aquiles, neurona por neurona y sinapsis por sinapsis. Entonces conoce el estado del cerebro de Aquiles antes de leer el libro. Porque, por el hecho de leerlo, su estado cerebral ha variado.

Naturalmente, lo que se saca como conclusión es que la ciencia hace una simplificación del mundo, un modelo a escala reducida. De ahí las imperfecciones de la ciencia. Pero, también, gracias a ello es que la ciencia resulta manejable.

miércoles, 21 de febrero de 2007

Geometría e inducción

Creo que algunas leyes abstractas se pueden explicar de maneras intuitivas, geométricas. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la multiplicación.El resultado 5·3=3·5 se puede ver con el siguiente dibujo:

o o o o o
o o o o o
o o o o o

La propiedad conmutativa consiste en que, al girar este objeto 90º, sigue habiendo igual número de o´s. (Esto se puede mostrar también, por ejemplo, con latas de coca cola).La propiedad de que 1 +3 +5 + 2n-1= n^2 se puede mostrar con la siguiente sucesión de figuras (que se pueden figurar, con latas de coca cola, de manera que formen verdaderos cuadrados):

o

o o
o o

o o o
o o o
o o o

o o o o
o o o o
o o o o
o o o o

Naturalmente que (para probar este resultado) se necesita inducción. Pero eso puede llegar mucho más adelante. Lo esencial es despertar la curiosidad sobre las matemáticas. Las demostraciones pueden llegar en una etapa posterior.

La demostración por inducción funciona de la siguiente mamera

Hay que demostrar que si

1 + 3 +5…+(2n-1) = n^2

entonces

1 + 3 +5…+ n+ (2n+1) = (n+1)^2

Pero, sumando (2n+1) en el primer y segundo miembro de la primera igualdad tenemos que:

1 + 3 +5…+ (2n-1) + (2n+1) = n^2 + (2n +1)

Pero, efectivamente, (n+1)^2 = n ^2 + 2n +1 Por tanto, hemos demostrado que ambas sucesiones son equivalentes para cualquier número natural.

sábado, 17 de febrero de 2007

El infinito de Cantor

La teoría de Cantor se basa en la idea de que un conjunto es infinito si puede ponerse en aplicación biyectiva con un subconjunto de sí mismo.

La aplicación biyectiva consiste en hacer corresponder a cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo.


Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 4
Al 3 corresponde el 6
Al 4 corresponde el 8

Esto es una aplicación biyectiva entre los números naturales y los pares

Hay una paradoja acerca de esto. Imagínense un hotel de infinitas habitaciones, en el que todas las habitaciones están ocupadas. Llega alguien al hotel, y no hay habitación para él. El dueño del hotel cambia al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 3, al de de la habitación 3 a la habitación 4. Pregunta: ¿en qué habitación se metería al nuevo huésped? El dueño podría meter en el hotel, incluso, al doble de huéspedes. Cambiaría al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 4, al de de la habitación 3 a la habitación 6…..y así tendría desalojadas la mitad de las habitaciones del hotel, con el objeto de incluir nuevos huéspedes.

Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.

0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766

Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números

El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).

Si se tratara de establecer una aplicación biyectiva entre los números naturales y los reales, se agotaría la serie de los números naturales (suponiendo que esto fuera posible, pero no lo es) antes de que se pudiera recorrer en su totalidad el subconjunto de R que comprende tan sólo a los números reales comprendidos entre 0 y 1. Podría suponerse que esto es debido a que, dados dos números reales, por próximos que estén, siempre existe otro entre ellos. Pero esto no es así. El conjunto de los números racionales es un conjunto denso (entre dos números racionales, por muy cerca que estén, siempre se puede encontrar otro). Pero, sin embargo, existe una forma de ordenar el conjunto Q de los racionales de tal manera que pueda establecerse una aplicación biyectiva entre el conjunto de los racionales y el conjunto de los naturales.


1/1
2/1
1/2
1/3
2/2
3/1
4/1
3/2
2/3
1/4
1/5
……..

Esto no sucede con respecto al conjunto de los reales. Como dice Carl Boyer:

“Tanto Galileo como Leibniz habían pensado que la ‘continuidad’ de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, es decir, del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera hay siempre otro. Sin embargo, los números racionales gozan de esta propiedad a pesar de que no forman obviamente un continuo”

No hay que confundir la densidad con la no numerabilidad. Podría pensarse que los números reales no sean muchos más que los racionales, ya que éstos también tienen una expresión decimal infinita. Pero hay que tener en cuenta que los racionales suelen tener expresiones decimales periódicas, es decir más ordenadas que los irracionales (que son la mayoría de los reales, los reales que no son racionales). Así, por ejemplo, la expresión decimal de 1/ 3 es 0,33333... Hay muchas más formas desordenadas que ordenadas (como en el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel”, donde aparecen todos los libros posibles mediante variaciones de todas las letras del alfabeto y los libros inteligibles son una minoría) y por eso debe haber más irracionales que racionales. Además, hay que tener en cuenta que un conjunto es enumerable si puede ordenarse uno a uno con el de los números naturales, y esto, que sucede a los racionales (como hemos visto), la prueba de Cantor demuestra que no puede suceder a los reales.

En algún caso se ha sugerido aplicar el método diagonal a los racionales. Tengamos una lista de todos los racionales:

0,12345…
0,23450…
0,01234…
0,54321…
0,23451

Aquí, nada garantiza que el número diagonal 0,24332 sea racional. Podría ser perfectamente un irracional. Véase el siguiente ejemplo

0,66666
0,33333
0,50000
0,25000
0,77777

Los números de la lista son todos periódicos, y en cambio en la diagonal no es posible discernir ningún tipo de periodicidad.

Claro que si vamos sacando nuevos dígitos podría encontrarse la periodicidad del número diagonal (pero es mucho más probable no encontrarla).

El procedimiento diagonal se puede aplicar a los irracionales, pero no a los racionales. Sucede algo parecido con la demostración de que no existe una enumeración efectiva de las funciones recursivas totales de una variable (que utiliza un método diagonal). Como se sabe, esa prueba no se puede aplicar a las recursivas parciales. Porque para las funciones recursivas parciales no podemos garantizar que la máquina de Turing dé un resultado.

viernes, 16 de febrero de 2007

Sobre "La Biblioteca de Babel"

“La Biblioteca de Babel” es uno de los cuentos más famosos de Borges. Se trata de una biblioteca que contiene el conjunto de todos los libros posibles. Tal como lo expresa el propio Borges:

“Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verídica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones de cada libro en todos los libros”.

Un buen día, se encuentra un libro que tiene dos páginas enteras inteligibles: Su contenido eran “nociones de análisis combinatorio, ilustradas por ejemplos de variaciones con repetición ilimitada”. Precisamente la Biblioteca es un ejemplo de variaciones “con repetición ilimitada” o, simplemente, de variaciones con repetición.

Supongamos que la Biblioteca consta de libros de 500 páginas, cada uno con 2000 letras por página. En total cada libro tendría 1.000.000 de letras. Supongamos que hay 100 signos distintos. En total, el número de libros de la Biblioteca sería 100^1.000.000.

Daniel C. Dennett imagina que la Biblioteca podría ser ordenada alfabéticamente, pero la idea de Borges es que los libros de la Biblioteca estarían ordenados al azar. Aun si los libros estuvieran ordenados por orden alfabético, resultaría, por ejemplo, que "Don Quijote" estaría a una distancia astronómica de "La Regenta" (en realidad "Don Quijote" no estaría en la Biblioteca, pero uniendo quizá 4 ó 5 volúmenes se podría obtener todo el libro). Pero supongamos que "Don Quijote" sólo tuviera 1.000.000 de letras. En este caso habría 100.000.000 de mutantes con un error de una sola letra. Pero imagínense cuantos mutantes habría con una media de 2.000 errores, la mayoría de los cuales serían copias relativamente fieles de "Don Quijote". Si naciéramos en la galaxia "Don Quijote" estaríamos toda la vida viendo tan sólo copias de ese libro.

Pero imaginemos, como quiere Borges, que los libros están distribuidos al azar. En ese caso, en la Biblioteca de Babel es mucho más fácil encontrar un libro sin sentido que un libro escrito con correcta sintaxis y semántica en castellano. Ello se debe a que son muchas más las combinaciones de letras sin ningún significado que las que son correcto castellano. Esto es algo semejante a lo que ocurre con los números irracionales. Como se sabe, los números irracionales tienen una expresión decimal caótica, mientras que la expresión decimal de los racionales es periódica. Pero existen muchos más números con una expresión decimal caótica que con expresión decimal periódica. Ésta es una forma intuitiva de visualizar la mayor cardinalidad de los irracionales (es decir, el hecho de que hay más irracionales que racionales)

Racional: 1,4141414141414141414141414141414141…
Irracional: 1,3457892146807213585423468426847871…

lunes, 12 de febrero de 2007

¿Juega Dios a los dados?

Según algunas teorías científicas, el universo, continuamente estaría bifurcándose en mundos paralelos. Esto se debe a la física cuántica. En el mundo cuántico no existen los objetos como tales. Un electrón cuando se observa se comporta como una partícula, y cuando no se observa, como una onda de probabilidad. En el mundo macroscópico no tiene sentido que algo sea a la vez una onda y una partícula. La onda de probabilidad se interpreta como la existencia de varios mundos superpuestos. La física cuántica funciona sólo en el mundo de lo microscópico, no en el mundo macroscópico. Al observar nosotros una partícula (o al percibirla una máquina) la onda de probabilidad colapsa, y se transforma en una partícula discreta. Por eso vemos, por ejemplo, un balón y no una onda de probabilidad.

La teoría de la relatividad general deja de valer cerca de la gran explosión porque no incorpora “el principio de incertidumbre, el elemento aleatorio de la teoría cuántica que Einstein había rechazado desde la idea de que Dios no juega a los dados”. No obstante, señala Hawking, “todas las evidencias indican que Dios es un jugador impenitente. Podemos considerar el universo como un gran casino, en que los dados son lanzados a cada instante y las ruletas giran sin cesar”. Entonces, ¿de dónde procede la apariencia de regularidad de nuestro mundo?: “Podemos pensar que regentar un casino es un negocio muy arriesgado, porque nos exponemos a perder dinero cada vez que se lanzan los dados o la ruleta se pone a girar. Pero en un número grande de apuestas, las ganancias y las pérdidas dan como promedio un resultado que puede ser predicho, aunque no lo pueda ser el resultado de cada apuesta particular [...] Los propietarios de los casinos se aseguran de que la suerte promedie a favor suyo. Por esto son tan ricos. La única posibilidad de ganarles es apostar contra ellos todo el dinero en unos pocos lanzamientos de dados o vueltas de la ruleta”. Esto mismo sucede con el universo. “Cuando éste es grande, como en la actualidad, hay un número muy elevado de lanzamientos de dados, y los resultados se promedian a algo que podemos predecir. Por esto las leyes clásicas de la física funcionan en los sistemas grandes. Pero cuando el universo es muy pequeño, como lo era en los tiempos próximos a la gran explosión, sólo hay un pequeño número de lanzamientos de dados y el principio de incertidumbre resulta muy importante”.Como ejemplo de lo que cuenta Hawking he hecho el experimento de comprobar cuántas tiradas de cada cara del dado salen con mil tiradas y con un millón de tiradas. Las tiradas están generadas por un programa de ordenador que diseñé para generar números aleatorios de 1 a 6.. Es una suerte poder hacerlo por ordenador. ¡Sólo hay que imaginarse lo pesado que sería tirar un millón de veces un dado!

-----1.000 tiradas -------1.000.000 de tiradas

uno ------182------------------------166.773-------
dos ------185------------------------166.665 ------
tres -----146 ------------------------166.471 ------
cuatro ---149 -----------------------166.646------
cinco ----151 ------------------------166.685-----
seis-------187 -----------------------166.760 -----

Como se ve, al aumentar el número de tiradas, la frecuencia con la que sale cada una de las caras tiende a aproximarse. En teoría podría salir un millón de veces el número 6, pero en la práctica hay una posibilidad entre 6^1.000.000 de que esto suceda. En la práctica, la estadística dice que a la larga las seis caras del dado saldrán el mismo número de veces (pero para esto es necesario que el dado no esté trucado).

Hawking dice que lo mismo que en el mundo de la probabilidad cuando hay pocas tiradas, en el mundo de lo muy pequeño que observa la física cuántica, hay fluctuaciones debidas al azar. El indeterminismo del mundo cuántico no se debe a nuestra ignorancia de sus procesos, sino que al parecer en el mundo cuántico no hay partículas que tengan a la vez una posición y una velocidad inherentes, sólo hay ondas de probabilidad. El principio de incertidumbre, la existencia de aleatoriedad e indeterminismo en la física cuántica se identifica en términos de existencia de mundos paralelos en los que la historia se desarrolla de modo diferente a en el nuestro. Stephen Hawking habla de que existe la posibilidad, en un universo paralelo, de que Belice gane todas las medallas posibles en la Olimpíada, aunque esto sea muy improbable. En la distribución estadística de los universos, en la mayoría Belice ganará muy pocas medallas. En un pequeñísimo tanto por ciento puede ganar un número importante de medallas. Puede existir, ciertamente, un universo en que gane todas las medallas. Supuestos millones de millones de universos, alguno habrá en el que Belice consiga todas las medallas

La cuadratura del círculo




Uno de los problemas que, desde tiempo inmemorial, ha interesado a los filósofos es el del infinito. Borges ha tratado en sus cuentos este tema. “El libro de arena” es uno de los últimos cuentos de Borges. Trata de un libro que tiene un número de páginas infinito. Cuando uno abre una página en que aparece la ilustración de un ancla y cierra el libro, las probabilidades de volver a encontrar la página que vio anteriormente son computables en cero. Los números de páginas en el libro están desordenados. Por ejemplo, una página es la 999 y la siguiente es la 40.000. En este libro es necesario que la numeración sea así. ¿Por qué? Porque es imposible llegar a la primera página. También es imposible llegar a la última. Con los números pasa igual. Los números racionales forman un conjunto denso, lo que quiere decir que entre dos racionales siempre se puede encontrar otro racional. Un ejemplo parecido al del libro en el que no se puede encontrar el final lo tenemos en el conjunto de los racionales menores que 2. ¿Cuál es el mayor número de este conjunto? No es el 2, porque el 2 está fuera del conjunto. ¿Será el 1,99? No, porque el 1,999 es mayor que el 1,99. Y el 1,9999 mayor que 1,999. Y así sucesivamente. Conclusión: no existe un número mayor, un máximo de ese conjunto. (No digan que lo es un número con un número infinito de 9s, porque este número, en realidad, es igual a 2). Igual sucede con el libro. Entre un determinado lugar del libro (cualquiera que éste sea) y el final siempre existen infinitas páginas.

El cuento de Borges nos recuerda una de las ramas más interesantes de la matemática: el cálculo infinitesimal. Los griegos eran reacios a tratar con el infinito. Aristóteles creía que se podía tender al infinito al contar 1, 2, 3…etc. Pero no consideraba que podía existir un infinito actual, es decir un infinito dado todo de una vez. El “libro de arena” de Borges es, en realidad un infinito actual, y, de hecho, esta idea florece en la matemática actual, que considera el infinito como el paraíso de los matemáticos. A pesar de las reticencias griegas al infinito, Eudoxo y Arquímedes desarrollaron una especie de cálculo infinitesimal: el cálculo de exhaución.

Leibniz (uno de los creadores, junto con Newton del cálculo infinitesimal) afirmaba que un círculo era un polígono de infinitos lados. En el límite, una circunferencia de radio infinito nos parecería una recta. Esto puede parecer paradójico. Pero considérese por ejemplo, la Tierra. Cuando estamos sobre la Tierra no nos damos cuenta que es esférica, y sólo cuando nos alejamos (como los astronautas) podemos ver que es esférica. Esto se debe al gran tamaño de la Tierra. Pues, si tuviéramos una circunferencia infinita, no podríamos percibir su curvatura. En estos aspectos del cálculo, se echa mano de Arquímedes, pero “deconstruyendo” un tanto sus ideas. Se utiliza el método de exhaución de Eudoxo y Arquímedes para fundamentar el cálculo diferencial e integral. Como dice Bourbaki: “el nombre de Arquímedes no es casi siempre otra cosa que un reclamo para vender una mercancía, sin duda de gran valor, pero de la que el propio Arquímedes no se hubiera hecho responsable. Y esto sucede mucho más todavía con la diferenciación. Si una curva, cuando se trata de su rectificación, se asimila a un polígono de infinitos lados, aquí un arco ‘infinitamente pequeño’ de curva es asimilado a un segmento ‘infinitamente pequeño’ de recta”.

En el cuento de Borges “Abenjacán el bojarí muerto en su laberinto”, aparece un laberinto circular, pero tan inmenso que su borde parece recto. Borges cita aquí a Nicolás de Cusa. Nicolás de Cusa consideraba que en una circunferencia infinita el arco (curvo) entre dos puntos coincidiría con la cuerda (recta) entre esos dos mismos puntos. Todo esto fue un antecedente del cálculo infinitesimal.

El cálculo infinitesimal consiste en la diferenciación y la integración. La integración proviene de una serie de problemas que ya eran familiares a los antiguos griegos. La cuadratura del círculo es uno de los problemas que fascinaron a los matemáticos de la antigüedad y que les siguieron fascinando a lo largo de 2.000 años. Se trata de hallar, con regla y compás, un cuadrado que tendría la misma superficie que un círculo dado. Este cuadrado estaría entre el cuadrado inscrito y el cuadrado circunscrito. Pero esto es imposible. Este resultado se debe a que Pi, el número que relaciona el radio del círculo con la longitud de la circunferencia es un número trascendente, es decir un irracional que no es el resultado de ninguna raíz. El interés que tiene la cuadratura del círculo es que el intento de cuadrar superficies curvas llevaría al cálculo integral. “Cuadrar” quiere decir reducir el área de una superficie curva a la de un superficie recta (como por ejemplo uno o varios rectángulos). Una vez que se reduce a una figura recta, la superficie del círculo puede reducirse a un cuadrado.

Hemos hablado de cómo los inventores del cálculo infinitesimal (Leibniz entre ellos) concibieron la circunferencia como un polígono de infinitos lados. Esto se refiere precisamente a un intento de cuadrar superficies curvas, esto es, de reducir figuras curvas a figuras rectas, cuyas medidas son más fáciles de calcular. Se trata de inscribir, primero, el cuadrado en el círculo. Más adelante, se inscribe un polígono con el doble de lados que el cuadrado, es decir, con ocho lados, todos iguales. Luego uno de dieciséis lados. Así se va aproximando el área del círculo. El resultado sólo sería exacto si el polígono tuviera infinitos lados. Naturalmente, no se puede obtener la superficie exacta. Sin embargo, se pueden obtener buenas aproximaciones. Este método está basado en el que usaron Eudoxo y Arquímedes. Hoy se conoce como cálculo integral, y es una de las partes fundamentales del análisis matemático. Hemos dicho que la integración surgió como un método de rectificación de curvas. Los griegos, desde Eudoxo, calculaban el área de una figura curva dividiéndola en figuras rectilíneas que tuvieran aproximadamente su misma área. Consideremos el dibujo del área que cae bajo una función dividido en rectángulos, con el objeto de que la suma de estos rectángulos nos dé el área que cae bajo dicha función. De ahí el símbolo de la integral inventado por Leibniz, que semeja una S. Desgraciadamente, para que la suma de los rectángulos diera exactamente el área bajo una curva el número de rectángulos habría de ser infinito. Una buena aproximación se lograría con 100 rectángulos, mejor aún, con 10.000, todavía mejor con 1.000.000 de rectángulos. Sin embargo, pese a aumentar el número de rectángulos, el resultado no se aproxima tan rápido como desearíamos. Ello se debe a que R (el conjunto de los números reales) es un continuo y los datos que maneja el computador son discretos.







El bucle infinito

Hola amigos. Este blog nace con la intención de dar a conocer algunos artículos divulgativos sobre temas como el cálculo, la física cuántica y otros temas similares.

Admito que no soy ningún genio en esto de las mates, pero tengo una gran curiosidad sobre estas materias. Que nadie espere grandes descubrimientos . Así pues, sin más animo a quien quiera participar a que lo haga remitiendo sus comentarios.