El infinito de Cantor

La teoría de Cantor se basa en la idea de que un conjunto es infinito si puede ponerse en aplicación biyectiva con un subconjunto de sí mismo.

La aplicación biyectiva consiste en hacer corresponder a cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo.


Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 4
Al 3 corresponde el 6
Al 4 corresponde el 8

Esto es una aplicación biyectiva entre los números naturales y los pares

Hay una paradoja acerca de esto. Imagínense un hotel de infinitas habitaciones, en el que todas las habitaciones están ocupadas. Llega alguien al hotel, y no hay habitación para él. El dueño del hotel cambia al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 3, al de de la habitación 3 a la habitación 4. Pregunta: ¿en qué habitación se metería al nuevo huésped? El dueño podría meter en el hotel, incluso, al doble de huéspedes. Cambiaría al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 4, al de de la habitación 3 a la habitación 6…..y así tendría desalojadas la mitad de las habitaciones del hotel, con el objeto de incluir nuevos huéspedes.

Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.

0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766

Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números

El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).

Si se tratara de establecer una aplicación biyectiva entre los números naturales y los reales, se agotaría la serie de los números naturales (suponiendo que esto fuera posible, pero no lo es) antes de que se pudiera recorrer en su totalidad el subconjunto de R que comprende tan sólo a los números reales comprendidos entre 0 y 1. Podría suponerse que esto es debido a que, dados dos números reales, por próximos que estén, siempre existe otro entre ellos. Pero esto no es así. El conjunto de los números racionales es un conjunto denso (entre dos números racionales, por muy cerca que estén, siempre se puede encontrar otro). Pero, sin embargo, existe una forma de ordenar el conjunto Q de los racionales de tal manera que pueda establecerse una aplicación biyectiva entre el conjunto de los racionales y el conjunto de los naturales.


1/1
2/1
1/2
1/3
2/2
3/1
4/1
3/2
2/3
1/4
1/5
……..

Esto no sucede con respecto al conjunto de los reales. Como dice Carl Boyer:

“Tanto Galileo como Leibniz habían pensado que la ‘continuidad’ de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, es decir, del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera hay siempre otro. Sin embargo, los números racionales gozan de esta propiedad a pesar de que no forman obviamente un continuo”

No hay que confundir la densidad con la no numerabilidad. Podría pensarse que los números reales no sean muchos más que los racionales, ya que éstos también tienen una expresión decimal infinita. Pero hay que tener en cuenta que los racionales suelen tener expresiones decimales periódicas, es decir más ordenadas que los irracionales (que son la mayoría de los reales, los reales que no son racionales). Así, por ejemplo, la expresión decimal de 1/ 3 es 0,33333... Hay muchas más formas desordenadas que ordenadas (como en el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel”, donde aparecen todos los libros posibles mediante variaciones de todas las letras del alfabeto y los libros inteligibles son una minoría) y por eso debe haber más irracionales que racionales. Además, hay que tener en cuenta que un conjunto es enumerable si puede ordenarse uno a uno con el de los números naturales, y esto, que sucede a los racionales (como hemos visto), la prueba de Cantor demuestra que no puede suceder a los reales.

En algún caso se ha sugerido aplicar el método diagonal a los racionales. Tengamos una lista de todos los racionales:

0,12345…
0,23450…
0,01234…
0,54321…
0,23451…

Aquí, nada garantiza que el número diagonal 0,24332 sea racional. Podría ser perfectamente un irracional. Véase el siguiente ejemplo

0,66666
0,33333
0,50000
0,25000
0,77777

Los números de la lista son todos periódicos, y en cambio en la diagonal no es posible discernir ningún tipo de periodicidad.

Claro que si vamos sacando nuevos dígitos podría encontrarse la periodicidad del número diagonal (pero es mucho más probable no encontrarla).

El procedimiento diagonal se puede aplicar a los irracionales, pero no a los racionales. Sucede algo parecido con la demostración de que no existe una enumeración efectiva de las funciones recursivas totales de una variable (que utiliza un método diagonal). Como se sabe, esa prueba no se puede aplicar a las recursivas parciales. Porque para las funciones recursivas parciales no podemos garantizar que la máquina de Turing dé un resultado.