Isomorfismos o el mapa del imperio

Uno de los más bellos cuentos de Borges es “Del rigor de la ciencia”, el famoso cuento en que aparece el mapa del Imperio que es del tamaño del Imperio

“...En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas".

El cuento de Borges tiene paralelos en las matemáticas. Por ejemplo, en el isomorfismo entre dos estructuras.

Cuando descubrimos un isomorfismo entre dos estructuras, lo que sucede es que el estudio de una puede reducirse al de la otra. Hemos descubierto una analogía entre dos estructuras, que dos estructuras son la misma en algún aspecto.

En cierto modo es como si una de las estructuras fuera un mapa de la otra estructura, de forma que todas las ciudades y todas las carreteras entre las ciudades de la estructura A tienen equivalente en la estructura B.

Las estructuras isomórficas son matemáticamente equivalentes, cualquiera que sea la naturaleza de sus elementos. Del conjunto de ellas puede tomarse una cualquiera como modelo.
Los resultados que sobre esta estructura modelo se consignan, son directamente aplicables a cualquier otra estructura isomorfa a ella, sin más que "traducir" la naturaleza de sus elementos y relaciones.

Cuando estudiaba Filosofía, teníamos una asignatura llamada Filosofía y Matemáticas. Yo no me enteraba de nada en esa asignatura, hasta que vimos el concepto de isomorfismo y el de álgebra booleana. La profesora dijo que había una cosa que habíamos estudiado ya que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo me di cuenta de que era la lógica proposicional.

A partir de ahí sentí que ya no estaba tan perdido en la asignatura, y además, incluso me empezó a entrar una afición por las matemáticas, cosa que no había tenido nunca.

En cierto modo el pensamiento matemático surge de esa manera, cuando descubrimos analogías entre las cosas nuevas que todavía no conocemos, y las cosas que conocemos bien.

En un lenguaje coloquial, también utilizamos la analogía, que es una especie de isomorfismo. Por ejemplo, llamamos a una constelación el Can, o la Osa Mayor, porque recuerdan a un perro o a una osa. Son a los cielos, lo que los animales a la vida terrestre. “Valdano es el Cicerón del fútbol”. Es decir, Valdano ocupa en el fútbol la misma posición que Cicerón en la filosofía.

En las matemáticas se dan los únicos ejemplos verdaderos de isomorfismo. Así por ejemplo, la lógica proposicional es isomorfa a un álgebra booleana y, al mismo tiempo, el álgebra booleana lo es a un álgebra de conjuntos.

El álgebra booleana es un álgebra especial que opera con sólo dos números, 1 y 0. Sus leyes son diferentes a las del álgebra habitual

La teoría de conjuntos tiene su jerga particular. Por ejemplo, habla de intersección y unión. Por ejemplo, la intersección del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los españoles que son negros. La unión del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los que o bien son españoles o bien son negros (o bien ambas cosas).

El conjunto universal son todos los elementos del universo: en este caso sería todos los hombres y las mujeres, toda la humanidad. El complementario de un conjunto son los elementos que no pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo el complementario del conjunto de los españoles son todos los hombres y mujeres que no son españoles. Por último, el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento.

En la proyección del álgebra booleana sobre el álgebra de conjuntos decimos que el 1 es el conjunto universal; y el 0, el conjunto vacío. Se pueden, pues, trasladar conceptos de las leyes del álgebra booleana al álgebra de conjuntos. Así, “a·1= a” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto universal es el conjunto a. “a·0= 0” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto vacío es el conjunto vacío. “a+1=1” (ley que no es válida en el álgebra habitual, pero sí en el álgebra booleana, donde no existe un número mayor que 1) quiere decir que la unión del conjunto a y el conjunto universal es el conjunto universal. “a+0=a” quiere decir que la unión de a y el conjunto vacío es a.

(Recuerdo que estuve matriculado una asignatura que trataba sobre isomorfismos, llamada Teoría de Modelos. De forma asombrosa para tratarse de una difícil asignatura de lógica, se había apuntado un montón e gente. La gente que cogía esa asignatura no era de Filosofía. Era gente de otras carreras que cogía la asignatura como de libre elección. Al parecer, había algunos niños y niñas de Pedagogía que creían que esa asignatura enseñaba a ser modelo de pasarela. Que era como una escuela de modelaje).

La idea de isomorfismo se puede trasladar a las ciencias naturales. Así pues, si la ciencia hace predicciones sobre la realidad, es porque debe haber un isomorfismo entre la teoría científica y la realidad.

La apoteosis de la descripción científica sería una copia a escala 1:1 del objeto que se quiere describir, tal como lo ejemplifica Borges. El mejor mapa del imperio sería un mapa del mismo tamaño que el imperio. El mejor modelo del universo sería otro universo exactamente igual que el actual. (Ya Platón decía que la mejor descripción de Cratilo, sería otro Cratilo).

Naturalmente, lo que Borges evidencia es que esto son absurdos. Lo que la ciencia busca, en realidad, son unas ecuaciones que describan con fidelidad una serie limitada de fenómenos no la totalidad de las cosas.

Ian Stewart (¿Juega Dios a los dados?. Barcelona, Crítica, 2001) imagina un computador que calculara todas las variables del universo en un instante, para predecir cual sería el universo en el siguiente instante. Uno de los problemas que se plantea es dónde escribiría el computador los datos, ya que tiene que manejar como mínimo seis variables, la posición y la velocidad, para cada partícula del universo.

Además, el computador debería estar fuera del universo, porque si no, el hecho de hacer el cálculo afectaría al estado del universo, por lo que la computadora se metería en un bucle infinito, pues debería calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular, así ad infinitum.

Una paradoja semejante la propone Hofstadter (The Mind’s I). Supongamos que Aquiles quiere saberlo todo sobre el estado de su cerebro. Lee un libro donde aparece pormenorizadamente el estado neuronal de Aquiles, neurona por neurona y sinapsis por sinapsis. Entonces conoce el estado del cerebro de Aquiles antes de leer el libro. Porque, por el hecho de leerlo, su estado cerebral ha variado.

Naturalmente, lo que se saca como conclusión es que la ciencia hace una simplificación del mundo, un modelo a escala reducida. De ahí las imperfecciones de la ciencia. Pero, también, gracias a ello es que la ciencia resulta manejable.