"Desde que los matemáticos se han dedicado a estudiar mi teoría de la relatividad, he dejado de entenderla” (Albert Einstein)
"No se preocupen por sus dificultades con las matemáticas. Les aseguro que las mías son mayores" (Albert Einstein)
“Entre todas las virtudes de Dios destaca una: su inexistencia” (Abraham Magnus)
“El poder para legalizar un partido no es nada comparado con el poder de la Fuerza” (Darth Baader)
“A thing is obvious mathematically after you see it”(Carmichael)
“How dare we speak of the laws of chance? Is not chance the antithesis of all law?” (Bertrand Russell)
"El más pequeño de los números infinitos es el límite de los enteros finitos, aunque todos ellos estén a una distancia infinita de ese límite" (Bertrand Russell”)
“Las matemáticas pueden definirse como la disciplina en que nunca sabemos de qué hablamos ni si lo que decimos es verdad” (Bertrand Russell)
“Calculus required continuity, and continuity was supposed to require the infinitely little; but nobody could discover what the infinitely little might be” (Bertrand Russell)
domingo, 27 de mayo de 2007
domingo, 6 de mayo de 2007
La Biblioteca de Bach
A imagen de "La Biblioteca de Babel" se me ha ocurrido muchas veces conjeturar otro objeto ideal, lo que llamo la Biblioteca de Juan Sebastián Bach. Ésta, que quizá deberíamos llamar “discoteca”, se compone de todos los sonidos susceptibles de ser grabados en un CD. Veamos: en primer lugar, una primera aproximación la tendríamos en todas las melodías posibles, pero además cada melodía podría ser tocada más alto o más bajo en la escala musical; además cada melodía puede ser tocada con distintos acompañamientos, puede ser cantada o tocada con diferentes instrumentos, si es cantada lo puede ser por personas con diferente timbre de voz, etc.
La tecnología antigua, de las cintas de cassette o de los discos de vinilo era analógica. Se grababan en el soporte unos ruidos procedentes de una fuente de sonido, y se reproducían al pasar por el radiocassette. Pero el sonido del compact disc no se reproduce analógicamente. El compact disc tiene toda la información sobre el sonido que reproduce en forma de unos y ceros. Pues bien, esto es lo que hace el CD: guarda la información en forma de bits, y luego la reproduce al producir sonidos de una determinada longitud de onda. Esto ha posibilitado que veamos la discoteca de Juan Sebastián Bach como una biblioteca: un número limitado de combinaciones de símbolos, en este caso unos y ceros, es decir de bits de información. Si supiéramos cuántas unidades de información, cuántos unos y ceros caben en un compact disc podrímos saber cuántos compact disc distintos era posible grabar. Tiene que ser una cifra astronómica. Imagínese, las canciones de Elvis Presley cantadas por el cantante de Pet Shop Boys, las sinfonías de Beethoven dirigidas por Von Karajan o por otro director famoso, yo qué sé, Luis Cobos, cualquier nueva variación responde a una distinta combinación de sonidos que queda registrada digitalmente. De hecho un compact disc es capaz de guardar 650 megabytes de información, es decir más de 650 millones de bytes. Como un byte son 8 bits, hay 2^5200.000.000 posibles compact disc.
El sonido responde a una determinada longitud de onda y amplitud, y eso es lo que almacena y reproduce el compact disc. Es como la diferencia entre un computador analógico y uno digital. El analógico registra señales continuas, mientras que el computador digital registra señales discretas. Por ejemplo, el computador digital no registra las variaciones de temperatura, sino que registra la temperatura en cada segundo, y sobre esa base, traza una línea que se parece a una línea de desarrollo en el tiempo. Las magnitudes o variables analógicas tienen un rango de variación continuo de valores, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un intervalo definido en el campo de los números reales (números como 1,3456 o Pi). Las magnitudes o variables digitales sólo pueden tomar valores discretos, estando sus valores definidos dentro de intervalos fijados en el campo de los números enteros (1, 2, 3, -1...). La información analógica es tal que, se podría imaginar, es potencialmente infinita dado que el conjunto de los números reales es denso: entre dos números reales, por muy cerca que estén entre sí, siempre hay otro. Sin embargo, algún límite debe de haber, debido al tamaño de la aguja del tocadiscos, por ejemplo. Además, es probable que exista una unidad mínima de materia.
Dentro de los discos de la Biblioteca de Bach son más los dodecafónicos que los normales, ya que son más las combinaciones posibles entre los doce sonidos de la escala que entre las siete notas. Aún más son los discos ruidistas, ya que el caos de unos sonidos sin hilazón alguna es más probable, por motivos de entropía, que las combinaciones de los doce sonidos de la escala. Recuérdese que hablamos de todo sonido susceptible de ser grabado por un compact disc, desde un gorrión a una tormenta, pasando por los ruidos más informes que pueda generar un sintetizador, o los que encontramos recorriendo las radios al azar. Incluso hay fragmentos de la Biblioteca de Babel en la biblioteca de Bach, por ejemplo, varios capítulos del Quijote grabados en compact disc. El lector se habrá dado cuenta que la mayoría de los discos de la Biblioteca de Bach serán al estilo de John Cage, es decir, vanguardismo ruidista más que al estilo de Bach. Sin embargo, me gusta el nombre de biblioteca de Bach, porque Bach exploró el concepto de todas las variaciones posibles en casos como las variaciones Goldberg. Woody Allen decía en Stardust memories que creía que las variaciones Goldberg eran algo que habían hecho los señores Goldberg en la noche de bodas, es decir que las confundía con el Kamasutra otra forma de combinatoria, esta vez no sólo finita sino más bien exigua (Roland Barthes habla en uno de sus ensayos de la gramática sexual de Sade, que recuerda, también al Kamasutra).
Es difícil obtener una de las grandes composiciones de la Biblioteca de Bach por un método azaroso. Sería como ganar el premio de la lotería mil veces. ¿Cuántas posibilidades hay de obtener, a partir de una generación de sonidos al azar el de Canon de Pachelbel? Pues, igualmente difícil sería encontrar una composición audible entre todas las de la Biblioteca de Bach. ¿Es posible que todas las músicas de la biosfera (las especies animales y vegetales) hayan surgido del puro azar? Los creacionistas siguen pensando que no. Ellos argumentan que sería como un mono tecleando una máquina de escribir. Para el caso podríamos imaginar al mono aporreando un piano, o escribiendo sinfonías en un pentagrama.
Sin embargo, esta imagen (la de que un mono escribiendo a máquina acabaría por producir un texto inteligible) fue propuesta, curiosamente, por uno de los más feroces defensores del darwinismo: Thomas Huxley. La idea es que, dado suficiente tiempo, pueden aparecer estructuras complejas a partir del azar.
Los creacionistas argumentan que no hay tiempo suficiente para que se lleve a cabo la evolución. En realidad, la selección no se hace aleatoriamente, viajando al azar por el espacio del diseño, sino que existe la selección natural, que elige las copias más interesantes (o para ser exactos, descarta las más fallidas). Exactamente como el método hipotético-deductivo en la ciencia, el azar propone un montón de hipótesis y la naturaleza es la que descarta las más inútiles para la subsistencia. La naturaleza es el crítico literario que nos dice si esta copia es equivalente al Quijote o a Hamlet y debe replicarse, o es un libro que merece caer en el olvido.
La tecnología antigua, de las cintas de cassette o de los discos de vinilo era analógica. Se grababan en el soporte unos ruidos procedentes de una fuente de sonido, y se reproducían al pasar por el radiocassette. Pero el sonido del compact disc no se reproduce analógicamente. El compact disc tiene toda la información sobre el sonido que reproduce en forma de unos y ceros. Pues bien, esto es lo que hace el CD: guarda la información en forma de bits, y luego la reproduce al producir sonidos de una determinada longitud de onda. Esto ha posibilitado que veamos la discoteca de Juan Sebastián Bach como una biblioteca: un número limitado de combinaciones de símbolos, en este caso unos y ceros, es decir de bits de información. Si supiéramos cuántas unidades de información, cuántos unos y ceros caben en un compact disc podrímos saber cuántos compact disc distintos era posible grabar. Tiene que ser una cifra astronómica. Imagínese, las canciones de Elvis Presley cantadas por el cantante de Pet Shop Boys, las sinfonías de Beethoven dirigidas por Von Karajan o por otro director famoso, yo qué sé, Luis Cobos, cualquier nueva variación responde a una distinta combinación de sonidos que queda registrada digitalmente. De hecho un compact disc es capaz de guardar 650 megabytes de información, es decir más de 650 millones de bytes. Como un byte son 8 bits, hay 2^5200.000.000 posibles compact disc.
El sonido responde a una determinada longitud de onda y amplitud, y eso es lo que almacena y reproduce el compact disc. Es como la diferencia entre un computador analógico y uno digital. El analógico registra señales continuas, mientras que el computador digital registra señales discretas. Por ejemplo, el computador digital no registra las variaciones de temperatura, sino que registra la temperatura en cada segundo, y sobre esa base, traza una línea que se parece a una línea de desarrollo en el tiempo. Las magnitudes o variables analógicas tienen un rango de variación continuo de valores, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un intervalo definido en el campo de los números reales (números como 1,3456 o Pi). Las magnitudes o variables digitales sólo pueden tomar valores discretos, estando sus valores definidos dentro de intervalos fijados en el campo de los números enteros (1, 2, 3, -1...). La información analógica es tal que, se podría imaginar, es potencialmente infinita dado que el conjunto de los números reales es denso: entre dos números reales, por muy cerca que estén entre sí, siempre hay otro. Sin embargo, algún límite debe de haber, debido al tamaño de la aguja del tocadiscos, por ejemplo. Además, es probable que exista una unidad mínima de materia.
Dentro de los discos de la Biblioteca de Bach son más los dodecafónicos que los normales, ya que son más las combinaciones posibles entre los doce sonidos de la escala que entre las siete notas. Aún más son los discos ruidistas, ya que el caos de unos sonidos sin hilazón alguna es más probable, por motivos de entropía, que las combinaciones de los doce sonidos de la escala. Recuérdese que hablamos de todo sonido susceptible de ser grabado por un compact disc, desde un gorrión a una tormenta, pasando por los ruidos más informes que pueda generar un sintetizador, o los que encontramos recorriendo las radios al azar. Incluso hay fragmentos de la Biblioteca de Babel en la biblioteca de Bach, por ejemplo, varios capítulos del Quijote grabados en compact disc. El lector se habrá dado cuenta que la mayoría de los discos de la Biblioteca de Bach serán al estilo de John Cage, es decir, vanguardismo ruidista más que al estilo de Bach. Sin embargo, me gusta el nombre de biblioteca de Bach, porque Bach exploró el concepto de todas las variaciones posibles en casos como las variaciones Goldberg. Woody Allen decía en Stardust memories que creía que las variaciones Goldberg eran algo que habían hecho los señores Goldberg en la noche de bodas, es decir que las confundía con el Kamasutra otra forma de combinatoria, esta vez no sólo finita sino más bien exigua (Roland Barthes habla en uno de sus ensayos de la gramática sexual de Sade, que recuerda, también al Kamasutra).
Es difícil obtener una de las grandes composiciones de la Biblioteca de Bach por un método azaroso. Sería como ganar el premio de la lotería mil veces. ¿Cuántas posibilidades hay de obtener, a partir de una generación de sonidos al azar el de Canon de Pachelbel? Pues, igualmente difícil sería encontrar una composición audible entre todas las de la Biblioteca de Bach. ¿Es posible que todas las músicas de la biosfera (las especies animales y vegetales) hayan surgido del puro azar? Los creacionistas siguen pensando que no. Ellos argumentan que sería como un mono tecleando una máquina de escribir. Para el caso podríamos imaginar al mono aporreando un piano, o escribiendo sinfonías en un pentagrama.
Sin embargo, esta imagen (la de que un mono escribiendo a máquina acabaría por producir un texto inteligible) fue propuesta, curiosamente, por uno de los más feroces defensores del darwinismo: Thomas Huxley. La idea es que, dado suficiente tiempo, pueden aparecer estructuras complejas a partir del azar.
Los creacionistas argumentan que no hay tiempo suficiente para que se lleve a cabo la evolución. En realidad, la selección no se hace aleatoriamente, viajando al azar por el espacio del diseño, sino que existe la selección natural, que elige las copias más interesantes (o para ser exactos, descarta las más fallidas). Exactamente como el método hipotético-deductivo en la ciencia, el azar propone un montón de hipótesis y la naturaleza es la que descarta las más inútiles para la subsistencia. La naturaleza es el crítico literario que nos dice si esta copia es equivalente al Quijote o a Hamlet y debe replicarse, o es un libro que merece caer en el olvido.
viernes, 4 de mayo de 2007
OFF TOPIC: Fernando Márquez. Con él llegó la polémica
Fernando Márquez fue un componente de Kaka de Luxe. Luego formó el grupo Paraíso (donde compuso la canción Para ti, a la que Diego A. Manrique llamó “himno de toda una generación”). Luego, con La Mode hizo el disco El eterno femenino, uno de los mejores de la historia del pop español. Recientemente se reeditó su disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80, que vio la luz por primera vez en el año 86
El Zurdo conserva su lengua viperina, y recuerda numerosas anécdotas de la movida. En una reciente entrevista en Onda Regional de Murcia contó cosas sobre Carlos Berlanga. En una época, después de compartir formación en Kaka de luxe, el Zurdo y Carlos Berlanga emprendieron el proyecto de Paraíso, pero aquello no llegó a fructificar. Según cuenta, el Zurdo, el concepto de Paraíso era de Carlos Berlanga. Berlanga quería hacer “una música muy acústica, un poco infantil”, y fue en esa línea que Fernando Márquez compuso una canción como Para ti, una de las canciones emblemáticas de la movida. El Zurdo contó en esa entrevista que Carlos Berlanga estaba enseñando a los músicos sus canciones. “Llegó Antonio Zancajo, se puso a tocar, haciendo una cosa muy virguera, y Berlanga le dijo: No es así. Zancajo le contestó: Estaba afinando. Después de eso, Berlanga se sintió tan humillado que quiso echarle del grupo. Carlos Berlanga quería que los músicos fueran esclavos a su servicio, pero tenían que tocar peor que él. Pero él sabía tocar muy poco, con lo cual hubiera sido un caos”.
Como sé que al Zurdo le gusta la polémica, le pregunto qué piensa del fenómeno comercial (que no musical) de OT. “No pienso. Pero no creo sea peor que la literatura teledirigida por el grupo PRISA (tan bien denunciada por Gª Viñó en su libro El País: La cultura como negocio) o que Pérez Reverte sea académico. Al menos, todo el asunto de OT resulta menos obsceno desde el punto de vista ético, aunque musicalmente, desde luego, apeste (no creo que más que fenómenos anteriores como la canción del verano o que la pseudocanción con mensaje de sujetos como Sabina)”. El Zurdo no ha aprendido mucha diplomacia desde sus tiempos de Kaka de Luxe. A propósito de Para ti (“es el tema que me da de comer”) la emprende con Almudena Grandes. “Su momento más sórdido tal vez sea que Almudena Grandes, sin sentir seguramente el menor aprecio por quien la escribió, usase una metáfora del Para ti para titular una novela suya”. Ya que estamos con los temas polémicos, le pregunto por unas declaraciones que hizo sobre Mecano en El Mundo, donde dijo que el nacimiento de Mecano era “el símbolo apocalíptico de que todo se iba a la mierda y de que llegaba la mentalidad industrial". Sin embargo él mismo versioneó Solo soy una persona de José María Cano. El Zurdo, citando uno de sus textos, me habla de “la pretenciosidad filistea” de José María Cano tras romperse el grupo “más cercana al pompierismo de un Cecil B. De Mille recreando Bayreuth con walkyrias de gran tonelaje que a la sensibilidad de un Visconti dirigiendo a la Callas” con lo cual concluye que Sólo soy una persona “fue más el sonido casual de la flauta que nos cuenta la fábula, y no el comienzo de un lenguaje propio lleno de momentos y recodos mágicos” A mí, personalmente, no es Sólo soy una persona la canción que más me gusta de Mecano, pero el inconformismo de Fernando Márquez me parece saludable, en un mundo tan aburguesado. En la radio, El Zurdo se quejaba de que ha tenido muchos problemas por tener una actitud de Quijote, y recordaba la crítica que le dedicó Patricia Godes en la Historia del rock de El País. “Era como una esquela que hablaba de mí en pasado, como un cantante que estaba ya muerto y enterrado”. Luego añade: “Fue la primera que habló de mí como un Quijote, y creo que dio en el clavo”. Le pregunto por Alaska y sus grupos: Pegamoides, Dinarama y Fangoria. “Me gustan mucho los Pegamoides (creo que son el grupo más redondo y perfecto que dio la Movida). De Dinarama me gusta sobre todo el primer LP. Y de Fangoria me aburre todo, desde sus canciones hasta su look (que no sólo me aburre sino que me quita las ganas de vivir y me dificulta la digestión)”.
Le hablo de La Mode, de su disco El eterno femenino (considerado por Efe eme entre los 100 mejores de la historia del pop español) El disco en cuestión está muy recargado de teclados tecno, (cosa que, en mi opinión, forma parte de su encanto). “Creo que lo que falla precisamente son los teclados (salvo en algunos temas ––El único juego de la ciudad, Aquella chica, Las chicas de la Inter o El eterno femenino donde sí se mantiene una cierta brillantez inasequible al paso del tiempo). Un Charlie Mysterio les habría sacado muchísimo más partido manteniendo la sensación de modernez, como puede comprobarse escuchando el reciente Con paciencia”.
Del disco 1984, la canción En cualquier fiesta me parece de una gran sensibilidad, con algo de masoquismo, porque fabula la decadencia. “Es un tema recurrente. La misma cara b del single, Panorama iba sobre lo mismo. También las canciones inspiradas en Alaska, Carolina y Aquella chica”. Me acuerdo de la canción Erección (“Siente como se levanta un imperio / mira como se levanta hasta el cielo…”), con su dialéctica casi sadomasoquista. “La idea me la dio un fragmento del film Network en el que Faye Dunaway (que encarna a una agresiva ejecutiva de tv), yaciendo con un decrépito William Holden (ex/compañero recién dimitido por representar los valores de la tv primigenia, más ética y tal), llega al orgasmo mientras calcula índices de audiencia de su nuevo programa”.
Recientemente se ha reeditado (con tres canciones nuevas) Pop Decó. La exposición internacional de los 80. Pop Decó empezó como un grupo tecno. Pero su concierto de presentación fue un desastre. Como dijo El Zurdo en aquella entrevista en la radio: “Las cintas pregrabadas sonaron mal y quedamos desacompasados. Alguna gente pensaba que era como el Metal Machine Music, una cosa conceptual”. Ahí se acabó Pop Decó Sin embargo, años después, Fernando Márquez resucita Pop Decó. “Había dejado La Mode, porque no podía dar conciertos, y Mario Pacheco me ofreció seguir grabando en Nuevos Medios y pensé en recuperar aquel repertorio de Pop Decó”. El disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80 lo produjo y arregló Teo Cardalda. “Pop Decó era tecno, pero el disco lo arregló Teo Cardalda con una instrumentación mucho más convencional. Suena algo a glam-rock y eso me gusta. Me gusta mucho más la música de los 70 que la new wave”. Considera que de todos sus discos es el mejor producido.
Se puede estar en desacuerdo con muchas de sus valoraciones, pero Fernando Márquez siempre causa polémica. Autor de muchas de las canciones más emblemáticas de los 80, sigue representando una actitud musical independiente, en las antípodas de los chicos de Operación Triunfo, que triunfan entre la juventud más conformista.
El Zurdo conserva su lengua viperina, y recuerda numerosas anécdotas de la movida. En una reciente entrevista en Onda Regional de Murcia contó cosas sobre Carlos Berlanga. En una época, después de compartir formación en Kaka de luxe, el Zurdo y Carlos Berlanga emprendieron el proyecto de Paraíso, pero aquello no llegó a fructificar. Según cuenta, el Zurdo, el concepto de Paraíso era de Carlos Berlanga. Berlanga quería hacer “una música muy acústica, un poco infantil”, y fue en esa línea que Fernando Márquez compuso una canción como Para ti, una de las canciones emblemáticas de la movida. El Zurdo contó en esa entrevista que Carlos Berlanga estaba enseñando a los músicos sus canciones. “Llegó Antonio Zancajo, se puso a tocar, haciendo una cosa muy virguera, y Berlanga le dijo: No es así. Zancajo le contestó: Estaba afinando. Después de eso, Berlanga se sintió tan humillado que quiso echarle del grupo. Carlos Berlanga quería que los músicos fueran esclavos a su servicio, pero tenían que tocar peor que él. Pero él sabía tocar muy poco, con lo cual hubiera sido un caos”.
Como sé que al Zurdo le gusta la polémica, le pregunto qué piensa del fenómeno comercial (que no musical) de OT. “No pienso. Pero no creo sea peor que la literatura teledirigida por el grupo PRISA (tan bien denunciada por Gª Viñó en su libro El País: La cultura como negocio) o que Pérez Reverte sea académico. Al menos, todo el asunto de OT resulta menos obsceno desde el punto de vista ético, aunque musicalmente, desde luego, apeste (no creo que más que fenómenos anteriores como la canción del verano o que la pseudocanción con mensaje de sujetos como Sabina)”. El Zurdo no ha aprendido mucha diplomacia desde sus tiempos de Kaka de Luxe. A propósito de Para ti (“es el tema que me da de comer”) la emprende con Almudena Grandes. “Su momento más sórdido tal vez sea que Almudena Grandes, sin sentir seguramente el menor aprecio por quien la escribió, usase una metáfora del Para ti para titular una novela suya”. Ya que estamos con los temas polémicos, le pregunto por unas declaraciones que hizo sobre Mecano en El Mundo, donde dijo que el nacimiento de Mecano era “el símbolo apocalíptico de que todo se iba a la mierda y de que llegaba la mentalidad industrial". Sin embargo él mismo versioneó Solo soy una persona de José María Cano. El Zurdo, citando uno de sus textos, me habla de “la pretenciosidad filistea” de José María Cano tras romperse el grupo “más cercana al pompierismo de un Cecil B. De Mille recreando Bayreuth con walkyrias de gran tonelaje que a la sensibilidad de un Visconti dirigiendo a la Callas” con lo cual concluye que Sólo soy una persona “fue más el sonido casual de la flauta que nos cuenta la fábula, y no el comienzo de un lenguaje propio lleno de momentos y recodos mágicos” A mí, personalmente, no es Sólo soy una persona la canción que más me gusta de Mecano, pero el inconformismo de Fernando Márquez me parece saludable, en un mundo tan aburguesado. En la radio, El Zurdo se quejaba de que ha tenido muchos problemas por tener una actitud de Quijote, y recordaba la crítica que le dedicó Patricia Godes en la Historia del rock de El País. “Era como una esquela que hablaba de mí en pasado, como un cantante que estaba ya muerto y enterrado”. Luego añade: “Fue la primera que habló de mí como un Quijote, y creo que dio en el clavo”. Le pregunto por Alaska y sus grupos: Pegamoides, Dinarama y Fangoria. “Me gustan mucho los Pegamoides (creo que son el grupo más redondo y perfecto que dio la Movida). De Dinarama me gusta sobre todo el primer LP. Y de Fangoria me aburre todo, desde sus canciones hasta su look (que no sólo me aburre sino que me quita las ganas de vivir y me dificulta la digestión)”.
Le hablo de La Mode, de su disco El eterno femenino (considerado por Efe eme entre los 100 mejores de la historia del pop español) El disco en cuestión está muy recargado de teclados tecno, (cosa que, en mi opinión, forma parte de su encanto). “Creo que lo que falla precisamente son los teclados (salvo en algunos temas ––El único juego de la ciudad, Aquella chica, Las chicas de la Inter o El eterno femenino donde sí se mantiene una cierta brillantez inasequible al paso del tiempo). Un Charlie Mysterio les habría sacado muchísimo más partido manteniendo la sensación de modernez, como puede comprobarse escuchando el reciente Con paciencia”.
Del disco 1984, la canción En cualquier fiesta me parece de una gran sensibilidad, con algo de masoquismo, porque fabula la decadencia. “Es un tema recurrente. La misma cara b del single, Panorama iba sobre lo mismo. También las canciones inspiradas en Alaska, Carolina y Aquella chica”. Me acuerdo de la canción Erección (“Siente como se levanta un imperio / mira como se levanta hasta el cielo…”), con su dialéctica casi sadomasoquista. “La idea me la dio un fragmento del film Network en el que Faye Dunaway (que encarna a una agresiva ejecutiva de tv), yaciendo con un decrépito William Holden (ex/compañero recién dimitido por representar los valores de la tv primigenia, más ética y tal), llega al orgasmo mientras calcula índices de audiencia de su nuevo programa”.
Recientemente se ha reeditado (con tres canciones nuevas) Pop Decó. La exposición internacional de los 80. Pop Decó empezó como un grupo tecno. Pero su concierto de presentación fue un desastre. Como dijo El Zurdo en aquella entrevista en la radio: “Las cintas pregrabadas sonaron mal y quedamos desacompasados. Alguna gente pensaba que era como el Metal Machine Music, una cosa conceptual”. Ahí se acabó Pop Decó Sin embargo, años después, Fernando Márquez resucita Pop Decó. “Había dejado La Mode, porque no podía dar conciertos, y Mario Pacheco me ofreció seguir grabando en Nuevos Medios y pensé en recuperar aquel repertorio de Pop Decó”. El disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80 lo produjo y arregló Teo Cardalda. “Pop Decó era tecno, pero el disco lo arregló Teo Cardalda con una instrumentación mucho más convencional. Suena algo a glam-rock y eso me gusta. Me gusta mucho más la música de los 70 que la new wave”. Considera que de todos sus discos es el mejor producido.
Se puede estar en desacuerdo con muchas de sus valoraciones, pero Fernando Márquez siempre causa polémica. Autor de muchas de las canciones más emblemáticas de los 80, sigue representando una actitud musical independiente, en las antípodas de los chicos de Operación Triunfo, que triunfan entre la juventud más conformista.
lunes, 2 de abril de 2007
El teorema de Gödel (2)
La forma de codificar de Gödel es muy interesante.. Escribir una fórmula lógica es permutar una serie de signos en una serie de espacios, de forma que Gödel atribuye un número a cada signo y un número a cada espacio que ocupa el signo. Para los espacios o lugares que ocupan los signos se utilizan los números primos. 2 para el primer lugar, 3 para el segundo, 5 para el tercero, etc. Para los signos números convencionales. Por ejemplo 59 para “f1”, 3 para”(“, 15 para “x1”, 5 para “)”. Así “f1” se codifica con el número 2^59. Que quiere decir “f1 en el primer lugar”. Tengamos por ejemplo
“f1(x1)”
f1 en el 1º lugar= 2^59
( enel 2º lugar= 3^3
x1 en el 3º lugar=5^15
) en el 4º lugar= 7^5
El número que surge de multiplicar (2^59 · 3^3 · 5^15 · 7^5) es el número de Gödel de la fórmula “f1(x1)”.
Hay otra manera menos complicada de poner los números de Gödel. Por ejemplo, supongamos que “a” se traduce como 123, e “=” como 111. Entonces, “a = a” se traduciría como:
123111123
Como se ve, ésta es una forma de reducir todas las fórmulas lógicas, y con ello todas las verdades de la aritmética a números. Pero las verdades de la aritmética tratan sobre números, y estas mismas verdades están codificadas por números. Supongamos que la fórmula 123 dice que “1=0”. (Obviamente, esto es una falsedad). Tengamos, ahora, la fórmula
“a no es un teorema en el sistema de Gödel”
Cuando en esta fórmula el signo a es sustituido por el número 123, tenemos una afirmación ambigua, ya que dice a la vez:
“123 no es un teorema en el sistema de Gödel” y “1=0 no es un teorema en el sistema de Gödel”.
Ahora se trata de construir una cadena que se refiera a sí misma[1]. Por ejemplo, tengamos la siguiente fórmula, donde S0 significa el sucesor de 0, o sea 1:
a = S0
Esta fórmula lleva el número 262,111,123,666. Bueno, pues sustituyamos a por el número 262,111,123,666.
La fórmula quedará así
SSSSSSSSS……SSSSS0= S0
262,111,123,666 eses
Esto demuestra que se puede introducir el número de Gödel de una fórmula dentro de la propia fórmula.
Esto lleva a Gödel a construir un extraña fórmula. Esa fórmula afirma (aproximadamente) lo siguiente:
“La fórmula que lleva el número 15215 no es demostrable”
Pero esa misma fórmula, en la demostración de Gödel, lleva el número 15215. Naturalmente es indiferente que lleve este número u otro, lo fundamental es que existe una fórmula que dice:
“Esta fórmula es indemostrable en el sistema”.
Veamos. Esta fórmula está diciendo una verdad, porque, efectivamente, la fórmula no es demostrable en el sistema. Pero, por mucho que sea verdad, no se puede demostrar, ya que si se demostrara sería mentira. Supongamos que se demuestra: en ese caso está diciendo mentira, ya que afirma su propia indemostrabilidad. Por tanto, es una afirmación verdadera que no es demostrable en el sistema.
Por artificioso que parezca, éste es el principal argumento que se utiliza para demostrar que la inteligencia no es mecanizable.
En la Biblioteca de Gödel hay cuatro tipos de cadenas de signos:
1) los teoremas (las verdades que vienen generadas por el programa)
2) las verdades
3) las cadenas bien formadas
4) el resto de las cadenas de signos
5) los números que no corresponden a números de Gödel
Los teoremas, la clase más restringida, son aquellas verdades que han sido demostradas en el sistema. Como hemos visto, hay proposiciones que son verdaderas pero que no son demostrables en el sistema. El conjunto de las verdades es más amplio que el de las verdades demostrables en el sistema, precisamente por el hecho de que hay verdades que no son demostrables como las paradojas del tipo de la de Gödel. Más amplio aún es el conjunto de las cadenas bien formadas. Pues puede haber una cadena lógica bien formada pero que exprese un significado no verdadero como “A y no A” o “3 + 2= 4”. De hecho, por ejemplo, la expresión “p & ¬p”, que significa, precisamente, “p y no p” es una cadena bien formada de la lógica proposicional, y por ello debe tener un lugar en la biblioteca de Gödel, pero no es un teorema, y ni siquiera una verdad no demostrable. Aún más amplio es el conjunto del resto de las cadenas de signos, es decir, todas aquellas cadenas que están mal construidas, tales como “(((((((((((((“, por ejemplo.
Resumiendo, tendríamos cadenas que expresan un teorema demostrable, lo que podríamos ejemplificar con una oración del tipo “2 + 2 = 4”, tendríamos verdades no demostrables como “Esta afirmación no es demostrable en el sistema”. Tendríamos cadenas bien formadas pero que no son verdades y, por último, cadenas que no están bien formadas. Esta última distinción podríamos ejemplificarla, en el lenguaje natural, con la diferencia entre las frases “Llueve y no llueve” y “lluevxsdfghhjklñ”. La primera es falsa, pero la segunda, simplemente, está mal formada. Tenemos, pues, el conjunto de todas las cadenas, y dentro de él un conjunto más restringido, el de las cadenas bien formadas. Dentro del conjunto de las cadenas bien formadas tenemos el conjunto más restringido de las verdades, y dentro de éste el conjunto aún más restringido de las verdades demostrables en el sistema.
Por último hay números que no son números de Gödel.
La biblioteca de Gödel puede tener un programa para discriminar cuáles son las cadenas bien formadas. Obviamente, tiene un programa para discriminar cuáles son los teoremas, porque un sistema formal que produce teoremas es lo mismo que un programa informático. Pero lo que no tiene es un programa para generar las y sólo las que son verdaderas. El conjunto de las fórmulas bien formadas es recursivamente enumerable, y también lo es el conjunto de los teoremas. Pero el conjunto de las verdades no es recursivamente enumerable.
El teorema de Gödel sufre una autorreflexión del tipo del mapa de Iglaterra que estaba sobre el suelo de Iglaterra, ya que para codificar las verdades acerca de los números naturales utiliza los números naturales. Pero esto genera una autorreflexión que acaba por producir verdades que son indemostrables en el sistema. Es como esa porción del mapa que es irreproducible en el mapa (porque contiene el propio mapa).
[1]Sigo el ejemplo y la demostión de Douglas Hofstadter en "Gödel, Escher, Bach"
“f1(x1)”
f1 en el 1º lugar= 2^59
( enel 2º lugar= 3^3
x1 en el 3º lugar=5^15
) en el 4º lugar= 7^5
El número que surge de multiplicar (2^59 · 3^3 · 5^15 · 7^5) es el número de Gödel de la fórmula “f1(x1)”.
Hay otra manera menos complicada de poner los números de Gödel. Por ejemplo, supongamos que “a” se traduce como 123, e “=” como 111. Entonces, “a = a” se traduciría como:
123111123
Como se ve, ésta es una forma de reducir todas las fórmulas lógicas, y con ello todas las verdades de la aritmética a números. Pero las verdades de la aritmética tratan sobre números, y estas mismas verdades están codificadas por números. Supongamos que la fórmula 123 dice que “1=0”. (Obviamente, esto es una falsedad). Tengamos, ahora, la fórmula
“a no es un teorema en el sistema de Gödel”
Cuando en esta fórmula el signo a es sustituido por el número 123, tenemos una afirmación ambigua, ya que dice a la vez:
“123 no es un teorema en el sistema de Gödel” y “1=0 no es un teorema en el sistema de Gödel”.
Ahora se trata de construir una cadena que se refiera a sí misma[1]. Por ejemplo, tengamos la siguiente fórmula, donde S0 significa el sucesor de 0, o sea 1:
a = S0
Esta fórmula lleva el número 262,111,123,666. Bueno, pues sustituyamos a por el número 262,111,123,666.
La fórmula quedará así
SSSSSSSSS……SSSSS0= S0
262,111,123,666 eses
Esto demuestra que se puede introducir el número de Gödel de una fórmula dentro de la propia fórmula.
Esto lleva a Gödel a construir un extraña fórmula. Esa fórmula afirma (aproximadamente) lo siguiente:
“La fórmula que lleva el número 15215 no es demostrable”
Pero esa misma fórmula, en la demostración de Gödel, lleva el número 15215. Naturalmente es indiferente que lleve este número u otro, lo fundamental es que existe una fórmula que dice:
“Esta fórmula es indemostrable en el sistema”.
Veamos. Esta fórmula está diciendo una verdad, porque, efectivamente, la fórmula no es demostrable en el sistema. Pero, por mucho que sea verdad, no se puede demostrar, ya que si se demostrara sería mentira. Supongamos que se demuestra: en ese caso está diciendo mentira, ya que afirma su propia indemostrabilidad. Por tanto, es una afirmación verdadera que no es demostrable en el sistema.
Por artificioso que parezca, éste es el principal argumento que se utiliza para demostrar que la inteligencia no es mecanizable.
En la Biblioteca de Gödel hay cuatro tipos de cadenas de signos:
1) los teoremas (las verdades que vienen generadas por el programa)
2) las verdades
3) las cadenas bien formadas
4) el resto de las cadenas de signos
5) los números que no corresponden a números de Gödel
Los teoremas, la clase más restringida, son aquellas verdades que han sido demostradas en el sistema. Como hemos visto, hay proposiciones que son verdaderas pero que no son demostrables en el sistema. El conjunto de las verdades es más amplio que el de las verdades demostrables en el sistema, precisamente por el hecho de que hay verdades que no son demostrables como las paradojas del tipo de la de Gödel. Más amplio aún es el conjunto de las cadenas bien formadas. Pues puede haber una cadena lógica bien formada pero que exprese un significado no verdadero como “A y no A” o “3 + 2= 4”. De hecho, por ejemplo, la expresión “p & ¬p”, que significa, precisamente, “p y no p” es una cadena bien formada de la lógica proposicional, y por ello debe tener un lugar en la biblioteca de Gödel, pero no es un teorema, y ni siquiera una verdad no demostrable. Aún más amplio es el conjunto del resto de las cadenas de signos, es decir, todas aquellas cadenas que están mal construidas, tales como “(((((((((((((“, por ejemplo.
Resumiendo, tendríamos cadenas que expresan un teorema demostrable, lo que podríamos ejemplificar con una oración del tipo “2 + 2 = 4”, tendríamos verdades no demostrables como “Esta afirmación no es demostrable en el sistema”. Tendríamos cadenas bien formadas pero que no son verdades y, por último, cadenas que no están bien formadas. Esta última distinción podríamos ejemplificarla, en el lenguaje natural, con la diferencia entre las frases “Llueve y no llueve” y “lluevxsdfghhjklñ”. La primera es falsa, pero la segunda, simplemente, está mal formada. Tenemos, pues, el conjunto de todas las cadenas, y dentro de él un conjunto más restringido, el de las cadenas bien formadas. Dentro del conjunto de las cadenas bien formadas tenemos el conjunto más restringido de las verdades, y dentro de éste el conjunto aún más restringido de las verdades demostrables en el sistema.
Por último hay números que no son números de Gödel.
La biblioteca de Gödel puede tener un programa para discriminar cuáles son las cadenas bien formadas. Obviamente, tiene un programa para discriminar cuáles son los teoremas, porque un sistema formal que produce teoremas es lo mismo que un programa informático. Pero lo que no tiene es un programa para generar las y sólo las que son verdaderas. El conjunto de las fórmulas bien formadas es recursivamente enumerable, y también lo es el conjunto de los teoremas. Pero el conjunto de las verdades no es recursivamente enumerable.
El teorema de Gödel sufre una autorreflexión del tipo del mapa de Iglaterra que estaba sobre el suelo de Iglaterra, ya que para codificar las verdades acerca de los números naturales utiliza los números naturales. Pero esto genera una autorreflexión que acaba por producir verdades que son indemostrables en el sistema. Es como esa porción del mapa que es irreproducible en el mapa (porque contiene el propio mapa).
[1]Sigo el ejemplo y la demostión de Douglas Hofstadter en "Gödel, Escher, Bach"
lunes, 5 de marzo de 2007
Encuestas
Recientemente, se hizo una encuesta en un foro de internet donde salía un 20% de votantes a IU. Teniendo en cuenta que este partido tiene aproximadamente un 5% de los votos, algo estaba mal en la encuesta.
Para que un sondeo tenga valor, debe realizarse aleatoriamente. Los componentes de aquel foro no eran una muestra insesgada de la población. Por ejemplo, gran parte de la población no participa en los foros (personas mayores, no poseedores de ordenador, quizá personas de bajo nivel cultural). Hay otros aspectos, como la ideología de los moderadores del foro (o del medio de comunicación) donde se hace la encuesta, que también pueden influir.
Por ejemplo, hay sondeos en medios afines a la derecha donde el 98% de la gente coincide con las ideas del PP. Esos sondeos están claramente sesgados. Esos sondeos no valen de nada.En algunos casos, en esos programas, hay un sociólogo, que sabe esto, y se calla, prestándose a una payasada.
Hace 70 años hubo una encuesta en EEUU a 2.000.000 de habitantes en que Franklin Delano Roosevelt salía perdedor. Naturalmente Roosevelt ganó. El elemento que hizo que la encuesta fuera sesgada fue que se hizo por telefono, y no todo el mundo tenía telefono.No importa cómo de grande sea una muestra. Si es sesgada no sirve para nada.
De hecho, una muestra puede ser sesgada aunque sea una muestra infinita. Por ejemplo, si yo escojo como muestra todos los números racionales entre 0 y 1, tengo una muestra infinita. Y en esa muestra no existe un sólo número irracional. Sin embargo ¡existen números irracionales entre 0 y 1!
Esto prueba que no sirve de nada que la muestra tenga un tamaño tan grande como se quiera. Si la muestra está sesgada, los resultados no sirven de nada.
Para que un sondeo tenga valor, debe realizarse aleatoriamente. Los componentes de aquel foro no eran una muestra insesgada de la población. Por ejemplo, gran parte de la población no participa en los foros (personas mayores, no poseedores de ordenador, quizá personas de bajo nivel cultural). Hay otros aspectos, como la ideología de los moderadores del foro (o del medio de comunicación) donde se hace la encuesta, que también pueden influir.
Por ejemplo, hay sondeos en medios afines a la derecha donde el 98% de la gente coincide con las ideas del PP. Esos sondeos están claramente sesgados. Esos sondeos no valen de nada.En algunos casos, en esos programas, hay un sociólogo, que sabe esto, y se calla, prestándose a una payasada.
Hace 70 años hubo una encuesta en EEUU a 2.000.000 de habitantes en que Franklin Delano Roosevelt salía perdedor. Naturalmente Roosevelt ganó. El elemento que hizo que la encuesta fuera sesgada fue que se hizo por telefono, y no todo el mundo tenía telefono.No importa cómo de grande sea una muestra. Si es sesgada no sirve para nada.
De hecho, una muestra puede ser sesgada aunque sea una muestra infinita. Por ejemplo, si yo escojo como muestra todos los números racionales entre 0 y 1, tengo una muestra infinita. Y en esa muestra no existe un sólo número irracional. Sin embargo ¡existen números irracionales entre 0 y 1!
Esto prueba que no sirve de nada que la muestra tenga un tamaño tan grande como se quiera. Si la muestra está sesgada, los resultados no sirven de nada.
viernes, 2 de marzo de 2007
El teorema de Gödel (I)
Hofstadter compara el teorema de Gödel a una curiosa idea. Supone un gramófono de alta fidelidad que pueda producir todos los sonidos posibles. El gramófono se llama X y hay un disco que se llama “No puedo ser escuchado por el gramófono X”. Resulta que si se pone ese disco en el gramófono, éste produce unos sonidos que destruyen el propio gramófono. Es posible usar un gramófono de baja fidelidad, que no producirá esos sonidos y no se autodestruirá. Pero entonces ya no será un gramófono que produzca todos los sonidos posibles.
El sistema de Gödel es una parte de la teoría de la computación. Uno de los conceptos fundamentales para entender el tema de la teoría de la computación es lo que los matemáticos llaman conjunto recursivamente enumerable.
¿Qué es un conjunto recursivamente enumerable? Un conjunto A es recursivamente enumerable si la función f(x) :
f(x) = 1 ( si x pertenece a A)
f(x) = indefinido (si x no pertenece a A)
es computable
Que un conjunto sea recursivamente enumerable es equivalente a que el conjunto sea generable por computador. Un conjunto es recursivo, si tanto él como su complemento son recursivamente enumerables.
En muchos casos el concepto de recursivamente enumerable se usa solo para subconjuntos de N (el conjunto de los números naturales). Por ejemplo, los primos son un conjunto recursivo en N. Consideremos otro conjunto, como los números que forman la sucesión de Fibonacci.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Los números de Fibonacci consisten en una serie en la que todo número excepto los dos primeros es la suma de los dos precedentes.
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5= 8
Yo mismo he ideado un programa en Q-Basic que genera la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci es un típico ejemplo de programa sencillo y también un ejemplo de conjunto recursivamente enumerable. De hecho, un conjunto es recursivamente enumerable si puede ser generado por algún programa. En su libro, Hofstadter produce la serie de Fibonacci por lo que él llama una red de transición recursiva. De hecho, la serie de Fibonacci es un programa muy sencillo, que es usado en los lenguajes de programación para aprendices. Consideremos otro programa de Q-Basic . Un programa que produzca la serie de los números primos hasta un número dado, que el usuario debe introducir en el ordenador. Por ejemplo, el conjunto de los números primos es recursivamente enumerable. Pero ¿el conjunto de los números no primos es recursivamente enumerable? Sí, basta con generar un programa que nos dé todo número m, tal que exista un número n (mayor que 1 y menor que m) para el que se cumpla que el resto de m dividido entre n da 0. Cuando sucede a un conjunto que tanto sus elementos como los elementos que no pertenecen a ese conjunto (los primos como los no primos) son generados mediante sus respectivos programas de ordenador, se dice que ese conjunto es recursivo. Se dice también que tanto el conjunto (los primos) como su complementario (los no primos) son recursivamente enumerables. Es decir, que si el conjunto P es recursivamente enumerable y el conjunto complementario de P es, también, recursivamente enumerable, P es recursivo.
Se plantea la interrogante de si todos los conjuntos recursivamente enumerables son, a su vez recursivos. Lo cierto es que no. Existen conjuntos cuyos elementos son generables mediante un programa, pero no tenemos un programa para generar todos y cada uno de los elementos que no pertenecen al conjunto.
Hofstadter supone que tenemos un conjunto I (por ejemplo los primos) y un conjunto O (Por ejemplo, los números compuestos). Juntos I y O abarcan todos los números naturales. El problema es que hay conjuntos en que podemos generar todos los números del conjunto I, pero no hay programa para generar todos los números del conjunto O.
“Es importante fijarse en que, si los miembros del conjunto I fueran generados siempre en orden creciente, podríamos en todo momento caracterizar a O. El problema es que muchos conjuntos r.e. [recursivamente enumerables] son generados a través de métodos
que diseminan los elementos en un orden arbitrario, así que nunca se sabe si un número omitido largo tiempo obtendrá, esperando un poco más, su inclusión”
Si alguien, al tropezar con estas reflexiones, se asombra de que sea posible que tengamos programa para generar un conjunto pero no para generar su complementario, no debe preocuparse, ya que el mismo Hoftadster confiesa su asombro al ver que no todos los complementos de conjuntos recursivamente enumerables eran recursivamente enumerables. Lo compara a una figura, tal que su borde se pudiera discernir, pero no pudiera verse el borde del fondo que hay entorno a la figura.
“Resultó que yo estaba acertado acerca de los primos, pero equivocado en general, lo cual me asombró, y continúa asombrándome todavía hoy”
Por ejemplo, para todo programa, el conjunto de los inputs para los cuales el programa se para es recursivamente enumerable. Pero no es necesariamente recursivo. Por ejemplo, hay muchos programas, que para determinados inputs, se pierden en un bucle infinito.
Gödel supuso que el conjunto de las verdades matemáticas era recursivamente enumerable. y se dispuso a fabricar un sistema lógico (el equivalente de un programa informático) para generar todas las verdades y sólo las verdades de la matemática. Este programa, además, decidiría, dada una proposición matemática, si ésta era verdaera o no.
La idea de Gödel puede parecer, en principio, muy alejada de la de la Biblioteca de Babel, pero, como veremos, tiene algunas semejanzas. (en realidad algo análogo a lo que lo que Gödel se planteaba parece incompatible con la idea que tenemos de la Biblioteca de Babel: se trataría de buscar un procedimiento para discriminar todos los volúmenes de la Biblioteca que dicen verdad). La Biblioteca de Babel no existía en la realidad, pero era un objeto que podíamos imaginar. Del mismo modo, la Biblioteca de Gödel, es decir aquella Biblioteca que contiene todas las verdades de la aritmética es un objeto concebible, ya que Gödel dio las reglas de su codificación. De hecho, para ser más exactos habría que decir que el procedimiento para discriminar cuáles son las verdades en el mundo de la Biblioteca de Gödel es la demostración lógica, que viene a ser una forma restringida y más técnica de la demostración filosófica. La forma de codificar la Biblioteca de Gödel puede parecer alambicada. En primer lugar hay que reducir todas las verdades de la aritmética (en principio, restrinjámoslas a las afirmaciones acerca de números naturales) a fórmulas lógicas. Esto es esencial, ya que si queremos que las verdades de la aritmética sean demostradas hay que reducirlas inevitablemente a fórmulas lógicas. En segundo lugar, Gödel inventa un código por el cual reduce las fórmulas lógicas a números naturales. Tenemos pues tres niveles:
1) En primer lugar todas las verdades aritméticas sobre los números naturales
2) En segundo lugar las fórmulas lógicas que expresan cada una de esas verdades
3) En tercer lugar los números naturales que codifican esas fórmulas lógicas
Aquí encontramos una suerte de autorreflexión, ya que los números naturales sirven para codificar verdades sobre los números naturales. Como veremos, esto dará lugar a una paradoja que será el resultado fundamental de Gödel.
El sistema de Gödel es una parte de la teoría de la computación. Uno de los conceptos fundamentales para entender el tema de la teoría de la computación es lo que los matemáticos llaman conjunto recursivamente enumerable.
¿Qué es un conjunto recursivamente enumerable? Un conjunto A es recursivamente enumerable si la función f(x) :
f(x) = 1 ( si x pertenece a A)
f(x) = indefinido (si x no pertenece a A)
es computable
Que un conjunto sea recursivamente enumerable es equivalente a que el conjunto sea generable por computador. Un conjunto es recursivo, si tanto él como su complemento son recursivamente enumerables.
En muchos casos el concepto de recursivamente enumerable se usa solo para subconjuntos de N (el conjunto de los números naturales). Por ejemplo, los primos son un conjunto recursivo en N. Consideremos otro conjunto, como los números que forman la sucesión de Fibonacci.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Los números de Fibonacci consisten en una serie en la que todo número excepto los dos primeros es la suma de los dos precedentes.
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5= 8
Yo mismo he ideado un programa en Q-Basic que genera la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci es un típico ejemplo de programa sencillo y también un ejemplo de conjunto recursivamente enumerable. De hecho, un conjunto es recursivamente enumerable si puede ser generado por algún programa. En su libro, Hofstadter produce la serie de Fibonacci por lo que él llama una red de transición recursiva. De hecho, la serie de Fibonacci es un programa muy sencillo, que es usado en los lenguajes de programación para aprendices. Consideremos otro programa de Q-Basic . Un programa que produzca la serie de los números primos hasta un número dado, que el usuario debe introducir en el ordenador. Por ejemplo, el conjunto de los números primos es recursivamente enumerable. Pero ¿el conjunto de los números no primos es recursivamente enumerable? Sí, basta con generar un programa que nos dé todo número m, tal que exista un número n (mayor que 1 y menor que m) para el que se cumpla que el resto de m dividido entre n da 0. Cuando sucede a un conjunto que tanto sus elementos como los elementos que no pertenecen a ese conjunto (los primos como los no primos) son generados mediante sus respectivos programas de ordenador, se dice que ese conjunto es recursivo. Se dice también que tanto el conjunto (los primos) como su complementario (los no primos) son recursivamente enumerables. Es decir, que si el conjunto P es recursivamente enumerable y el conjunto complementario de P es, también, recursivamente enumerable, P es recursivo.
Se plantea la interrogante de si todos los conjuntos recursivamente enumerables son, a su vez recursivos. Lo cierto es que no. Existen conjuntos cuyos elementos son generables mediante un programa, pero no tenemos un programa para generar todos y cada uno de los elementos que no pertenecen al conjunto.
Hofstadter supone que tenemos un conjunto I (por ejemplo los primos) y un conjunto O (Por ejemplo, los números compuestos). Juntos I y O abarcan todos los números naturales. El problema es que hay conjuntos en que podemos generar todos los números del conjunto I, pero no hay programa para generar todos los números del conjunto O.
“Es importante fijarse en que, si los miembros del conjunto I fueran generados siempre en orden creciente, podríamos en todo momento caracterizar a O. El problema es que muchos conjuntos r.e. [recursivamente enumerables] son generados a través de métodos
que diseminan los elementos en un orden arbitrario, así que nunca se sabe si un número omitido largo tiempo obtendrá, esperando un poco más, su inclusión”
Si alguien, al tropezar con estas reflexiones, se asombra de que sea posible que tengamos programa para generar un conjunto pero no para generar su complementario, no debe preocuparse, ya que el mismo Hoftadster confiesa su asombro al ver que no todos los complementos de conjuntos recursivamente enumerables eran recursivamente enumerables. Lo compara a una figura, tal que su borde se pudiera discernir, pero no pudiera verse el borde del fondo que hay entorno a la figura.
“Resultó que yo estaba acertado acerca de los primos, pero equivocado en general, lo cual me asombró, y continúa asombrándome todavía hoy”
Por ejemplo, para todo programa, el conjunto de los inputs para los cuales el programa se para es recursivamente enumerable. Pero no es necesariamente recursivo. Por ejemplo, hay muchos programas, que para determinados inputs, se pierden en un bucle infinito.
Gödel supuso que el conjunto de las verdades matemáticas era recursivamente enumerable. y se dispuso a fabricar un sistema lógico (el equivalente de un programa informático) para generar todas las verdades y sólo las verdades de la matemática. Este programa, además, decidiría, dada una proposición matemática, si ésta era verdaera o no.
La idea de Gödel puede parecer, en principio, muy alejada de la de la Biblioteca de Babel, pero, como veremos, tiene algunas semejanzas. (en realidad algo análogo a lo que lo que Gödel se planteaba parece incompatible con la idea que tenemos de la Biblioteca de Babel: se trataría de buscar un procedimiento para discriminar todos los volúmenes de la Biblioteca que dicen verdad). La Biblioteca de Babel no existía en la realidad, pero era un objeto que podíamos imaginar. Del mismo modo, la Biblioteca de Gödel, es decir aquella Biblioteca que contiene todas las verdades de la aritmética es un objeto concebible, ya que Gödel dio las reglas de su codificación. De hecho, para ser más exactos habría que decir que el procedimiento para discriminar cuáles son las verdades en el mundo de la Biblioteca de Gödel es la demostración lógica, que viene a ser una forma restringida y más técnica de la demostración filosófica. La forma de codificar la Biblioteca de Gödel puede parecer alambicada. En primer lugar hay que reducir todas las verdades de la aritmética (en principio, restrinjámoslas a las afirmaciones acerca de números naturales) a fórmulas lógicas. Esto es esencial, ya que si queremos que las verdades de la aritmética sean demostradas hay que reducirlas inevitablemente a fórmulas lógicas. En segundo lugar, Gödel inventa un código por el cual reduce las fórmulas lógicas a números naturales. Tenemos pues tres niveles:
1) En primer lugar todas las verdades aritméticas sobre los números naturales
2) En segundo lugar las fórmulas lógicas que expresan cada una de esas verdades
3) En tercer lugar los números naturales que codifican esas fórmulas lógicas
Aquí encontramos una suerte de autorreflexión, ya que los números naturales sirven para codificar verdades sobre los números naturales. Como veremos, esto dará lugar a una paradoja que será el resultado fundamental de Gödel.
jueves, 1 de marzo de 2007
Las paradojas de la lógica y los ordenadores
Uno de los problemas fundamentales de las matemáticas son las paradojas. Un ejemplo visual de lo que es una paradoja es la llamada paradoja del mapa, citada por Borges en su ensayo “Magias parciales del Quijote”
“Las invenciones de la filosofía no son menos fantásticas que las del arte: Josiah Royce, en el primer volumen de la obra The world and the individual (1899), ha formulado la siguiente: ‘Imaginemos que una porción del suelo de Inglaterra ha sido nivelada perfectamente y que en ella traza un cartógrafo un mapa de Inglaterra. La obra es perfecta; no hay detalle del suelo de Inglaterra, por diminuto que sea, que no esté registrado en el mapa; todo tiene ahí su correspondencia. Este mapa, en tal caso, debe contener un mapa del mapa, que debe contener un mapa del mapa del mapa, y así hasta lo infinito’...”
Un ejemplo literario de paradoja autorreflexiva aparece en la novela Cien años de soledad. Al final de Cien años de soledad de García Márquez, un personaje descifra unas escrituras cuyo contenido es precisamente Cien años de soledad. ¿Cómo la novela Cien años de soledad puede ser un libro que está dentro de la propia novela? Igualmente, el Quijote aparece dentro del Quijote como una novela.
Estas paradojas son formas gráficas de visualizar lo que son las verdaderas paradojas de la matemática.
La mayoría de las paradojas están relacionadas con el tema de la autorreflexión. Se trata de oraciones que, de algún modo, se refieren a sí mismas (del mismo modo que el mapa de Inglaterra contenía un mapa de sí mismo). Una paradoja célebre surge de la siguiente frase:
El número más pequeño que no se puede expresar con menos de 25 símbolos
Pero esta frase define a ese número con menos de 25 símbolos (si una palabra es igual a un símbolo), por lo que se produce, una situación paradójica. Algo parecido sucede con la siguiente frase:
Los números a los que no se hace referencia en esta frase
Efectivamente, si la frase no hace referencia a un número, entonces hace referencia a él. Y si hace referencia a él, entonces no hace referencia a él. Hay otra frase muy curiosa, la siguiente:
Estha fraze tiene tres errores
¿Dónde está el tercer error? Resulta que el tercer error es que el enunciado de la frase dice que la frase tiene tres errores, cuando solo tiene dos. Pero si esto es verdadero, ¡entonces decir que hay tres errores ya no es un error! Por tanto habría dos errores. Un momento ¡pero entonces hay tres errores! Esto no acaba nunca.
Otras paradojas, más al nivel del lenguaje común, pueden ser: Perdonen las disculpas. O la frase ¿Contestará a esta pregunta con un no? (esto me recuerda el chiste del gallego al que le preguntan si es verdad que los gallegos nunca contestan claramente con un sí o un no, y el gallego contesta: “No sé, puede”).
Imaginemos la frase:
Este enunciado no es autorreferente
No existe una forma de que un enunciado explicite el hecho de no ser autorreferente, sin que el enunciado sea autorreferente. De parejo modo, no hay forma de decir que un objeto no existe sin otorgarle una existencia como objeto del lenguaje (pensemos que tenemos símbolos para hablar de cosas que nadie ha visto, como Dios o el conjunto vacío).
El problema de las proposiciones autorreflexivas es que pueden analizarse de dos formas contradictorias. Por ejemplo, véase la proposición “Este enunciado es falso”.
1) Este enunciado Es falso
-----sujeto----------- predicado
Ésta sería una lectura sintáctica (hablando según lo haría un lingüista más que como un lógico). Hasta aquí no hay ningún problema. No es para hacerse ilusiones, ciertamente, ya que esto también es cierto para “Las ideas verdes duermen furiosamente”. Bien, desde el punto de vista sintáctico la frase es correcta. Ahora bien, si hacemos una lectura semántica, nos encontramos con que, la estructura profunda de esta oración sería:
2) “Este enunciado es falso” Es falso
----------sujeto------------------ predicado
Puesto que el enunciado es autorreferente. Si el argumento “Este enunciado es falso” es falso, entonces, por el principio del tercio excluso, no tiene más remedio que ser verdadero. Pero, en cuanto verdadero, no hace otra cosa que afirmar su propia falsedad.
.¿Qué sucede con nuestros amigos los ordenadores? ¿Entienden las paradojas? Pues va a ser que no. Un computador tiene unos transistores, cada uno de los cuales, tiene dos estados, encendido y apagado. No puede ser que un transistor esté, a la vez, encendido y apagado. El computador asigna un valor de verdad a una proposición, 1 ó 0, pero no puede asignarle, a la vez, los dos valores de verdad. Suponiendo que pudiéramos comunicar al computador una paradoja (algo complicado) lo más probable es que éste quedara en un estado en el que se perdería en un bucle infinito.
¿Qué es un bucle infinito? Una analogía se encuentra en el ensayo de Borges “Magias parciales del Quijote”.
“Algo parecido ha obrado el azar en Las Mil y Una Noches. Esta compilación de historias fantásticas duplica y reduplica hasta el vértigo la ramificación de un cuento central en cuentos adventicios, pero no trata de graduar sus realidades, y el efecto (que debió ser muy profundo) es superficial, como una alfombra persa. Es conocida la historia liminar de la serie: el desolado juramento del rey, que cada noche se desposa con una virgen que hace decapitar en el alba, y la resolución de Shahrazad, que lo distrae con fábulas, hasta que encima de los dos han girado mil y una noches y ella le muestra su hijo. La necesidad de copiar mil y un secciones obligó a los copistas de la obra a interpolaciones de todas clases. Ninguna tan perturbadora como la de la noche 602, mágica entre las noches. En esta noche, el rey oye de boca de la reina su propia historia. Oye el principio de la historia, que abarca a todas las demás, y también -de monstruoso modo- a sí misma. ¿Intuye claramente el lector la vasta posibilidad de esa interpolación, el curioso peligro? Que la reina persista y el inmóvil rey oirá para siempre la trunca historia de Las Mil y Una Noches, ahora infinita y circular...”
En un bucle infinito, el ordenador hace lo siguiente: Se encuentra en un proceso que, en un momento dado X, le manda recomenzar el proceso hasta que llega a X donde vuelve a recomenzar el proceso hasta que llega a X...¿tiene esto final? No, naturalmente, salvo que en muchos casos el ordenador nos dice que la memoria ha sido desbordada.
El hecho de que los ordenadores se metan en un bucle infinito cuando aparece una paradoja nos indica que no pueden entenderla. Esto aparece explicitado en famosos descubrimientos matemáticos como el teorema de Gödel o el problema de la parada de las máquinas de Turing.
“Las invenciones de la filosofía no son menos fantásticas que las del arte: Josiah Royce, en el primer volumen de la obra The world and the individual (1899), ha formulado la siguiente: ‘Imaginemos que una porción del suelo de Inglaterra ha sido nivelada perfectamente y que en ella traza un cartógrafo un mapa de Inglaterra. La obra es perfecta; no hay detalle del suelo de Inglaterra, por diminuto que sea, que no esté registrado en el mapa; todo tiene ahí su correspondencia. Este mapa, en tal caso, debe contener un mapa del mapa, que debe contener un mapa del mapa del mapa, y así hasta lo infinito’...”
Un ejemplo literario de paradoja autorreflexiva aparece en la novela Cien años de soledad. Al final de Cien años de soledad de García Márquez, un personaje descifra unas escrituras cuyo contenido es precisamente Cien años de soledad. ¿Cómo la novela Cien años de soledad puede ser un libro que está dentro de la propia novela? Igualmente, el Quijote aparece dentro del Quijote como una novela.
Estas paradojas son formas gráficas de visualizar lo que son las verdaderas paradojas de la matemática.
La mayoría de las paradojas están relacionadas con el tema de la autorreflexión. Se trata de oraciones que, de algún modo, se refieren a sí mismas (del mismo modo que el mapa de Inglaterra contenía un mapa de sí mismo). Una paradoja célebre surge de la siguiente frase:
El número más pequeño que no se puede expresar con menos de 25 símbolos
Pero esta frase define a ese número con menos de 25 símbolos (si una palabra es igual a un símbolo), por lo que se produce, una situación paradójica. Algo parecido sucede con la siguiente frase:
Los números a los que no se hace referencia en esta frase
Efectivamente, si la frase no hace referencia a un número, entonces hace referencia a él. Y si hace referencia a él, entonces no hace referencia a él. Hay otra frase muy curiosa, la siguiente:
Estha fraze tiene tres errores
¿Dónde está el tercer error? Resulta que el tercer error es que el enunciado de la frase dice que la frase tiene tres errores, cuando solo tiene dos. Pero si esto es verdadero, ¡entonces decir que hay tres errores ya no es un error! Por tanto habría dos errores. Un momento ¡pero entonces hay tres errores! Esto no acaba nunca.
Otras paradojas, más al nivel del lenguaje común, pueden ser: Perdonen las disculpas. O la frase ¿Contestará a esta pregunta con un no? (esto me recuerda el chiste del gallego al que le preguntan si es verdad que los gallegos nunca contestan claramente con un sí o un no, y el gallego contesta: “No sé, puede”).
Imaginemos la frase:
Este enunciado no es autorreferente
No existe una forma de que un enunciado explicite el hecho de no ser autorreferente, sin que el enunciado sea autorreferente. De parejo modo, no hay forma de decir que un objeto no existe sin otorgarle una existencia como objeto del lenguaje (pensemos que tenemos símbolos para hablar de cosas que nadie ha visto, como Dios o el conjunto vacío).
El problema de las proposiciones autorreflexivas es que pueden analizarse de dos formas contradictorias. Por ejemplo, véase la proposición “Este enunciado es falso”.
1) Este enunciado Es falso
-----sujeto----------- predicado
Ésta sería una lectura sintáctica (hablando según lo haría un lingüista más que como un lógico). Hasta aquí no hay ningún problema. No es para hacerse ilusiones, ciertamente, ya que esto también es cierto para “Las ideas verdes duermen furiosamente”. Bien, desde el punto de vista sintáctico la frase es correcta. Ahora bien, si hacemos una lectura semántica, nos encontramos con que, la estructura profunda de esta oración sería:
2) “Este enunciado es falso” Es falso
----------sujeto------------------ predicado
Puesto que el enunciado es autorreferente. Si el argumento “Este enunciado es falso” es falso, entonces, por el principio del tercio excluso, no tiene más remedio que ser verdadero. Pero, en cuanto verdadero, no hace otra cosa que afirmar su propia falsedad.
.¿Qué sucede con nuestros amigos los ordenadores? ¿Entienden las paradojas? Pues va a ser que no. Un computador tiene unos transistores, cada uno de los cuales, tiene dos estados, encendido y apagado. No puede ser que un transistor esté, a la vez, encendido y apagado. El computador asigna un valor de verdad a una proposición, 1 ó 0, pero no puede asignarle, a la vez, los dos valores de verdad. Suponiendo que pudiéramos comunicar al computador una paradoja (algo complicado) lo más probable es que éste quedara en un estado en el que se perdería en un bucle infinito.
¿Qué es un bucle infinito? Una analogía se encuentra en el ensayo de Borges “Magias parciales del Quijote”.
“Algo parecido ha obrado el azar en Las Mil y Una Noches. Esta compilación de historias fantásticas duplica y reduplica hasta el vértigo la ramificación de un cuento central en cuentos adventicios, pero no trata de graduar sus realidades, y el efecto (que debió ser muy profundo) es superficial, como una alfombra persa. Es conocida la historia liminar de la serie: el desolado juramento del rey, que cada noche se desposa con una virgen que hace decapitar en el alba, y la resolución de Shahrazad, que lo distrae con fábulas, hasta que encima de los dos han girado mil y una noches y ella le muestra su hijo. La necesidad de copiar mil y un secciones obligó a los copistas de la obra a interpolaciones de todas clases. Ninguna tan perturbadora como la de la noche 602, mágica entre las noches. En esta noche, el rey oye de boca de la reina su propia historia. Oye el principio de la historia, que abarca a todas las demás, y también -de monstruoso modo- a sí misma. ¿Intuye claramente el lector la vasta posibilidad de esa interpolación, el curioso peligro? Que la reina persista y el inmóvil rey oirá para siempre la trunca historia de Las Mil y Una Noches, ahora infinita y circular...”
En un bucle infinito, el ordenador hace lo siguiente: Se encuentra en un proceso que, en un momento dado X, le manda recomenzar el proceso hasta que llega a X donde vuelve a recomenzar el proceso hasta que llega a X...¿tiene esto final? No, naturalmente, salvo que en muchos casos el ordenador nos dice que la memoria ha sido desbordada.
El hecho de que los ordenadores se metan en un bucle infinito cuando aparece una paradoja nos indica que no pueden entenderla. Esto aparece explicitado en famosos descubrimientos matemáticos como el teorema de Gödel o el problema de la parada de las máquinas de Turing.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)