La utilidad del argumento diagonal

El argumento diagonal de Cantor es conocido de todos los matemáticos, y de gran parte de la gente que se dedica a disciplinas afines: física, ingeniería, etc.

En primer lugar expondré el argumento ee Cantor, y luego me dedicaré a discutir su utilidad

Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.

0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766

Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números

El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).

Por muy esotérico que parezca el argumento de Cantor, lo cierto es que se utiliza con gran frecuencia en disciplinas como la lógica y la teoría de computación.

Leyendo librops como Computability de Cutland, Lógica para matemáticos de A. G: Hamilton, El desarrollo de la lógica de los Kneale,o incluso el libro de divulgación Gödel, Escher, Bach de Hofstadter, uno se da cuenta de la ubicuidad de las demostraciones de tipo diagonal.

Por ejemplo la demostración de que existen funciones que no son recursivas primitivas, o la demostración de que el conjunto de las funciones recursivas totales no es recursivamente enumerable.

Lo que es más, hay teoremas importantes, como el problema de la detención de la máquina de Turing o el teorema de Gödel ¡que también usan argumentos de tipo diagonal!


La paradoja de Russell también utiliza una especie método diagonal (aunque en este caso, el carácter diagonal del razonamiento resulta, seguramente, menos obvio).

Otras demostraciones, como la existencia de números reales no computables (debida a Turing) o la demostración de que existen gramáticas que van más allá de las que producen los autómatas finitos, si bien no utilizan el método diagonal ¡utilizan el conceptpo de conjunto no numerable de Cantor!

Así, resulta sorprendente, el hecho de que teorías matemáticas tan esotéricas como las de Cantor tengan una aplicación en campos mucho más prácticos como la teoría de computación y la informática.

(La teoría de Cantor ha sido extremadamente controvertida. No obstante, si prescindiéramos de ella, habría que amputar una parte muy importante de los hallazgos de la lógica a lo largo del siglo XX).