La fenomenal película Los crímenes de Oxford trata (entre otras cosas) el tema de las series matemáticas. Los tests para medir el CI suelen utilizar series de números.
Por ejemplo, ¿cuál es el siguiente término de esta serie?
1, 2.....
Fácil, ¿no? la mayoría de nosotros propondría 1, 2, 3 (la serie aritmética). Ahora bien, también podría ser 1, 2, 4 (la serie geométrica). Y también podría ser 1, 2, 6 (esta serie se calcula a partir del factorial, 1!, 2!, 3!, es decir 1, 1·2, 1·2·3...). También podríamos tener la serie 1, 2, 9 (1⁰,2¹, 3²...), , o la serie 1, 2, 5 (1, 1+1, 1+2+2,1+3+3+3,...) etc.
De hecho, existe un método, la intepolación de Lagrange, por el cual, para n puntos, siempre se puede escribir una ecuación que pase por esos n puntos.
¿Cómo distinguir, entonces, si un conjunto de n puntos obedecen a una ley o están situados al azar?
Gregory Chaitin escribió lo siguiente:
"If the law has to be extremely complicated[...]then the points are placed at random,[...] not in accordance with a scientific law. But if the law is simple, then it's a genuine law of nature, we are not fooling ourselves".
Conviene tener en cuenta esta teoría de Gregory Chaitin.
Dentro de las series de números naturales, uno de los subconjuntos es la de las series módulo 10. Para obtener las series módulo 10, cojemos las series normales, y, al 15 lo convertimos en 5, al 20 en 0, al 134 en 4, etc.
Como las series módulo 10, constan de un número infinito de términos, cada serie módulo 10 es biyectable con un número real.
Pero los números reales entre 0 y 1 son no computables con probabilidad 1. Es decir que la mayoría de los reales entre 0 y 1 no son computables. Sólo un número infinitesimal de los reales entre 0 y 1 son computables.
Por tanto, de entre las series infinitas de números naturales, sólo una cantidad infinitesimal de ellas es computable. La mayoría de series de números reales son aleatorias, en el sentido que da Chaitin a esta palabra.
lunes, 18 de mayo de 2009
sábado, 22 de noviembre de 2008
Keynes y la crisis de la bolsa
Hay un pasaje muy bueno de Keynes sobre el tema de la especulación en la bolsa.
Estas tendencias son una consecuencia difícilmente eludible de que hayamos logrado organizar unos mercados de inversiones "líquidos". Generalmente se admite que, en interés público, los casinos deben ser inaccesibles y costosos, y tal vez eso mismo sea cierto en el caso de las bolsas de valores. El hecho de que los pecaos de la bolsa de valores de Londres sean menos que los de Wall Street, quizá no se deba tanto a las diferencias en el carácter nacional, como a la circunstancia de que, para el inglés de tipo medio, Throgmorton Street es inaccesible y muy costosa en comparación con Wall Street para el mismo tipo de norteamericano. La comisión del corredor de bolsa, los fuertes cargos de los comisionistas y el pesado impuesto sobre operaciones o traslado de títulos que se paga a la Tesorería, gastos todos estos que acompañan a las operaciones en la bolsa de Londres reducen la liquidez del mercado[...] lo bastante para eliminar gran parte e las características de Wall Street. La implantación de un impuesto fuerte sobre todas las operaciones de compraventa podría ser las mejor reforma disponible con el objeto de mitigar en Estados Unidos el predominio de la especulación sobre la empresa.
El espectáculo de los mercados de inversión modernos me ha llevado algunas veces a concluir que la compra de una inversión debe ser permanente e indisoluble, como el matrimonio, excepto por motivo de muerte o de otra causa grave, y esto será un remedio útil para nuestros males contemporáneos; porque tal cosa forzaría a los inversionistas a dirigir su atención solamente a las oportunidades a largo plazo; pero un pequeño examen de este recurso nos lleva a un dilema, y nos muestra cómo la liquidez de los mercados de inversión a menudo facilita, aunque algunas veces impide, el curso de nuevas inversiones. Porque el hecho de que cada inversionista individual se haga la ilusión de que su compromiso es "líquido" (aunque esto no puede ser cierto para todos) calma sus nervios y lo anima mucho más a correr el riesgo
La idea más interesante de este pasaje es la siguiente: todos los inversionistas creen que podrían convertir su inversión en líquido. Pero esto no es posible.
Si todo el mundo quiere vender sus acciones la bolsa se desploma. Si todo el mundo quiere sacar el dinero de sus depósitos, los bancos se hundirán.
El capitalismo sobrevive porque la gente tiene la "ilusión" de la liquidez.
El capitalismo funciona mientras la gente tiene confianza en el capitalismo, y en el funcionamiento de los mercados.
En este sentido, el capitalismo no puede resistir sin cierto carácter "especulativo".
Todo el tinglado está basado en que la gente no va a vender todas sus acciones y a sacar todo el dinero de sus cuentas al grito de "maricón el último".
Pero estas cosas mejor no contarlas a nadie. Porque, como la gente pierda confianza en el capitalismo, nos vamos todos a la porra.
Estas tendencias son una consecuencia difícilmente eludible de que hayamos logrado organizar unos mercados de inversiones "líquidos". Generalmente se admite que, en interés público, los casinos deben ser inaccesibles y costosos, y tal vez eso mismo sea cierto en el caso de las bolsas de valores. El hecho de que los pecaos de la bolsa de valores de Londres sean menos que los de Wall Street, quizá no se deba tanto a las diferencias en el carácter nacional, como a la circunstancia de que, para el inglés de tipo medio, Throgmorton Street es inaccesible y muy costosa en comparación con Wall Street para el mismo tipo de norteamericano. La comisión del corredor de bolsa, los fuertes cargos de los comisionistas y el pesado impuesto sobre operaciones o traslado de títulos que se paga a la Tesorería, gastos todos estos que acompañan a las operaciones en la bolsa de Londres reducen la liquidez del mercado[...] lo bastante para eliminar gran parte e las características de Wall Street. La implantación de un impuesto fuerte sobre todas las operaciones de compraventa podría ser las mejor reforma disponible con el objeto de mitigar en Estados Unidos el predominio de la especulación sobre la empresa.
El espectáculo de los mercados de inversión modernos me ha llevado algunas veces a concluir que la compra de una inversión debe ser permanente e indisoluble, como el matrimonio, excepto por motivo de muerte o de otra causa grave, y esto será un remedio útil para nuestros males contemporáneos; porque tal cosa forzaría a los inversionistas a dirigir su atención solamente a las oportunidades a largo plazo; pero un pequeño examen de este recurso nos lleva a un dilema, y nos muestra cómo la liquidez de los mercados de inversión a menudo facilita, aunque algunas veces impide, el curso de nuevas inversiones. Porque el hecho de que cada inversionista individual se haga la ilusión de que su compromiso es "líquido" (aunque esto no puede ser cierto para todos) calma sus nervios y lo anima mucho más a correr el riesgo
La idea más interesante de este pasaje es la siguiente: todos los inversionistas creen que podrían convertir su inversión en líquido. Pero esto no es posible.
Si todo el mundo quiere vender sus acciones la bolsa se desploma. Si todo el mundo quiere sacar el dinero de sus depósitos, los bancos se hundirán.
El capitalismo sobrevive porque la gente tiene la "ilusión" de la liquidez.
El capitalismo funciona mientras la gente tiene confianza en el capitalismo, y en el funcionamiento de los mercados.
En este sentido, el capitalismo no puede resistir sin cierto carácter "especulativo".
Todo el tinglado está basado en que la gente no va a vender todas sus acciones y a sacar todo el dinero de sus cuentas al grito de "maricón el último".
Pero estas cosas mejor no contarlas a nadie. Porque, como la gente pierda confianza en el capitalismo, nos vamos todos a la porra.
martes, 24 de junio de 2008
Economía y ecología
Continuamente oímos hablar del mal que hace el hombre al entorno natural. A veces surgen autores que tratan el tema de una forma optimista, como lo hace Bjorn Lomborg en su libro "El ecologista escéptico".
Sin embargo los optimistas olvidan dos factores:
1) que el crecimiento de la población, se ha acelerado de tal manera en los últimos siglos que ha pasado de ser lineal a exponencial.
2) que la gente demanda, en todas partes, cada vez más bienes de consumo.
Como la población sigue creciendo, y como el número de objetos de consumo que tiende a desear cada persona es virtualmente infinito, no hace falta ser un genio para darse cuenta de que caminamos hacia la catástrofe.
Yo creo que hay dos posibilidades:
a) que acabemos comiéndonos a los humanos
b) un gobierno mundial que controle la natalidad y se encargue de que se produzcan las cosas verdaderamente necesarias, en vez de anegarnos en un mar de mierda (con perdón).
Mucha gente objetará que el gobierno mundial es algo utópico. Bien, puede ser. Pero alguien como Bertrand Russell (que no puede ser reputado de imbécil) proponía el gobierno mundial para salvarnos de la guerra nuclear. Hoy, con la crisis ecológica, un gobierno mundial sería aún más necesario.
Lo cierto es que gran parte de las cosas que se consumen son basura. Había una serie británica de los años 70, "Caída y auge de Reginald Perrin" en que un tío se hacía rico vendiendo basura.
Libros como la "Teoría de la clase ociosa" de Veblen o "La sociedad opulenta" de Galbraith sostienen que el capitalismo se dedica a producir un montón de bienes, muchos de los cuales son inútiles, pero sirven para demostrar el status superior de quien los consume.
Si no hay un goierno mundial, al menos debería haber un acuetdo mundial para controlar la natalidad y la producción
Hay quien cree que a mayor población, mayor número de productores,y por tanto mayor prosperidad.
Bien. Eso sería cierto si los recursos o materias primas fueran infinitos.
Lo curioso es que la mayoría de economistas razonan como si los recursos fueran inagotables.
Cuando alguien (como Galbraith) discrepa de la opinión general, lo tachan de hereje, y ni siquiera lo consideran economista.
La única forma de evitar el desastre es limitar la natalidad y mantener la producción en los límites de lo sostenible. Deforestar el Amazonia para producir libros tipo El código Da Vinci o discos como los de operación triunfo o Britney Spears es un comportamiento completamente estúpido. El consumo compulsivo nos incita a consumir más, aun si lo que consumimos es únicamente basura.
Sin embargo los optimistas olvidan dos factores:
1) que el crecimiento de la población, se ha acelerado de tal manera en los últimos siglos que ha pasado de ser lineal a exponencial.
2) que la gente demanda, en todas partes, cada vez más bienes de consumo.
Como la población sigue creciendo, y como el número de objetos de consumo que tiende a desear cada persona es virtualmente infinito, no hace falta ser un genio para darse cuenta de que caminamos hacia la catástrofe.
Yo creo que hay dos posibilidades:
a) que acabemos comiéndonos a los humanos
b) un gobierno mundial que controle la natalidad y se encargue de que se produzcan las cosas verdaderamente necesarias, en vez de anegarnos en un mar de mierda (con perdón).
Mucha gente objetará que el gobierno mundial es algo utópico. Bien, puede ser. Pero alguien como Bertrand Russell (que no puede ser reputado de imbécil) proponía el gobierno mundial para salvarnos de la guerra nuclear. Hoy, con la crisis ecológica, un gobierno mundial sería aún más necesario.
Lo cierto es que gran parte de las cosas que se consumen son basura. Había una serie británica de los años 70, "Caída y auge de Reginald Perrin" en que un tío se hacía rico vendiendo basura.
Libros como la "Teoría de la clase ociosa" de Veblen o "La sociedad opulenta" de Galbraith sostienen que el capitalismo se dedica a producir un montón de bienes, muchos de los cuales son inútiles, pero sirven para demostrar el status superior de quien los consume.
Si no hay un goierno mundial, al menos debería haber un acuetdo mundial para controlar la natalidad y la producción
Hay quien cree que a mayor población, mayor número de productores,y por tanto mayor prosperidad.
Bien. Eso sería cierto si los recursos o materias primas fueran infinitos.
Lo curioso es que la mayoría de economistas razonan como si los recursos fueran inagotables.
Cuando alguien (como Galbraith) discrepa de la opinión general, lo tachan de hereje, y ni siquiera lo consideran economista.
La única forma de evitar el desastre es limitar la natalidad y mantener la producción en los límites de lo sostenible. Deforestar el Amazonia para producir libros tipo El código Da Vinci o discos como los de operación triunfo o Britney Spears es un comportamiento completamente estúpido. El consumo compulsivo nos incita a consumir más, aun si lo que consumimos es únicamente basura.
domingo, 20 de enero de 2008
Intuición matemática
Este blog no pretende exponer descubrimientos ni novedades en las matemáticas. He de reconocer que sólo he cursado unas pocas asignaturas de matemáticas en la universidad, principalmente de lógica y álgebra. A diferencia de Poincaré o Penrose yo no puedo explicar cómo se hacen descubrimientos en matemáticas, porque yo no he hecho ninguno. Sin embargo, contaré algunas experiencias psicológicas de mis pequeños aciertos en mate, aunque sea descubrir mediterráneos.
Un día, estudiábamos la aplicación que iba de un vector de tres números a uno de dos: de (a, b, c) a (a, b),. La profesora preguntó si ésta función tenía inversa. Yo al principio dije “Sí”. pero la profesora dijo: “¿Estás seguro?”. Yo lo pensé mejor y dije: “No, no . Porque cada imagen tiene más de una antiimagen (por ejemplo (1,2,1) y (1,2,2) tendrían como antiimagen (1,2).
Esta idea de dar la vuelta ala aplicación la hice, mentalmente, de una manera “espacial”, por decirlo así, ya que no escribí nada, sino que improbisé, cambiando de opinión en apenas unos segundos.
En ocasiones, aciertos de este tipo me han servido para constatar que no estaba perdido en clase (o que, si acaso, otros estaban mucho más perdidos que yo).
Otro acierto que me ayudó a coger confianza fue una vez que la profesora de Filosofía y Matemáticas preguntó qué cosa habíamos estudiado que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo respondí que era la lógica proposicional, y resultó que estaba en lo cierto
Expondré otra ocasión en que descubrí un isomorfismo parecido. Esto ocurrió en los entrañables Foros del Rincón Matemático, un sitio de internet donde he encontrado gente con muy altos conocimientos de matemáticas (a los que agradezco que tengan además paciencia con mi ignorancia).En dicho foro , un usuario llamado Lau Luna propuso un rompecabezas:
“Un árbol binario completo parte de un nudo del que salen dos ramas; después cada una de estas se bifurca en un nuevo nudo, y así infinitamente. Del primer nudo parten dos ramas nuevas, de cada uno de los demás parte una sola rama nueva y continúa una rama antigua.
“El problema es que parece haber una demostración de que el conjunto de las ramas es no numerable y una demostración de que es numerable.
“PRIMERO. Cada rama contiene un número infinito de elecciones entre izquierda (I) y derecha (D), de manera que las ramas pueden biyectarse con las secuencias binarias infinitas del tipo (i,d,i,d,d,i,i,i...) Es claro que el conjunto de tales secuencias es no numerable, de hecho es biyectable con P(N), puesto que cada secuencia define un único conjunto de naturales y cada conjunto de naturales está definido por una única secuencia: supongamos que 'I' significa 'no está' y 'D' significa 'sí está'; entonces la secuencia que define al conjunto de los naturales mayores que 3 es (i,i,i,i,d,d,d,d,d...). En consecuencia, el conjunto de las ramas es no numerable.
SEGUNDO. Hay una forma sencilla de numerar las ramas: de izquierda a derecha y de arriba a abajo; para ver esto es útil dibujar una parte inicial del árbol, cosa que yo no puedo hacer aquí. Luego el conjunto de las ramas es numerable”.
"
Poco después a mí se me ocurrió un rompecabezas parecido. Aunque no terminaba de entender el problema planteado por Lau Luna, de algún modo lo “visualicé”, y propuse lo que me parecía un juego parecido: considerar los números reales entre 0 y 1, puestos en base binaria:
0'000
0,100
0,010
0,110
0,001
0,101
0,011
0,111
.......
¿No se podrían enumerar en este orden todos los números reales entre 0 y 1? Se podría objetar que no podemos llegar a conseguir un número irracional, puesto que tiene una expresión decimal infinita. Pero, según esta objeción, tampoco podríamos encontrar un conjunto infinito numerable simplemente con el método de incrementar en 1 cadanúmero natural a partir de 0.
Un moderador El Manco contestó lo siguiente:
“El ejemplo es excelente porque es exactamente el mismo que el de las ramas de LauLuna expresado de otra forma. Pero NO, en tu lista NO están TODOS los números reales ni mucho menos, sino SOLO los que tienen una expresión decimal finita en binario ("muy pocos")”.
De algún modo vago, mi intuición espacial había captado el juego de Lau Luna, y lo había transformado en un problema numérico. Creo que encontrar este tipo de isomorfismos es una característica fundamental de los descubrimientos matemáticos (si bien mis isomorfismos tienen un nivel de primaria en comparación con los que descubren los matemáticos).
Un día, estudiábamos la aplicación que iba de un vector de tres números a uno de dos: de (a, b, c) a (a, b),. La profesora preguntó si ésta función tenía inversa. Yo al principio dije “Sí”. pero la profesora dijo: “¿Estás seguro?”. Yo lo pensé mejor y dije: “No, no . Porque cada imagen tiene más de una antiimagen (por ejemplo (1,2,1) y (1,2,2) tendrían como antiimagen (1,2).
Esta idea de dar la vuelta ala aplicación la hice, mentalmente, de una manera “espacial”, por decirlo así, ya que no escribí nada, sino que improbisé, cambiando de opinión en apenas unos segundos.
En ocasiones, aciertos de este tipo me han servido para constatar que no estaba perdido en clase (o que, si acaso, otros estaban mucho más perdidos que yo).
Otro acierto que me ayudó a coger confianza fue una vez que la profesora de Filosofía y Matemáticas preguntó qué cosa habíamos estudiado que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo respondí que era la lógica proposicional, y resultó que estaba en lo cierto
Expondré otra ocasión en que descubrí un isomorfismo parecido. Esto ocurrió en los entrañables Foros del Rincón Matemático, un sitio de internet donde he encontrado gente con muy altos conocimientos de matemáticas (a los que agradezco que tengan además paciencia con mi ignorancia).En dicho foro , un usuario llamado Lau Luna propuso un rompecabezas:
“Un árbol binario completo parte de un nudo del que salen dos ramas; después cada una de estas se bifurca en un nuevo nudo, y así infinitamente. Del primer nudo parten dos ramas nuevas, de cada uno de los demás parte una sola rama nueva y continúa una rama antigua.
“El problema es que parece haber una demostración de que el conjunto de las ramas es no numerable y una demostración de que es numerable.
“PRIMERO. Cada rama contiene un número infinito de elecciones entre izquierda (I) y derecha (D), de manera que las ramas pueden biyectarse con las secuencias binarias infinitas del tipo (i,d,i,d,d,i,i,i...) Es claro que el conjunto de tales secuencias es no numerable, de hecho es biyectable con P(N), puesto que cada secuencia define un único conjunto de naturales y cada conjunto de naturales está definido por una única secuencia: supongamos que 'I' significa 'no está' y 'D' significa 'sí está'; entonces la secuencia que define al conjunto de los naturales mayores que 3 es (i,i,i,i,d,d,d,d,d...). En consecuencia, el conjunto de las ramas es no numerable.
SEGUNDO. Hay una forma sencilla de numerar las ramas: de izquierda a derecha y de arriba a abajo; para ver esto es útil dibujar una parte inicial del árbol, cosa que yo no puedo hacer aquí. Luego el conjunto de las ramas es numerable”.
Poco después a mí se me ocurrió un rompecabezas parecido. Aunque no terminaba de entender el problema planteado por Lau Luna, de algún modo lo “visualicé”, y propuse lo que me parecía un juego parecido: considerar los números reales entre 0 y 1, puestos en base binaria:
0'000
0,100
0,010
0,110
0,001
0,101
0,011
0,111
.......
¿No se podrían enumerar en este orden todos los números reales entre 0 y 1? Se podría objetar que no podemos llegar a conseguir un número irracional, puesto que tiene una expresión decimal infinita. Pero, según esta objeción, tampoco podríamos encontrar un conjunto infinito numerable simplemente con el método de incrementar en 1 cadanúmero natural a partir de 0.
Un moderador El Manco contestó lo siguiente:
“El ejemplo es excelente porque es exactamente el mismo que el de las ramas de LauLuna expresado de otra forma. Pero NO, en tu lista NO están TODOS los números reales ni mucho menos, sino SOLO los que tienen una expresión decimal finita en binario ("muy pocos")”.
De algún modo vago, mi intuición espacial había captado el juego de Lau Luna, y lo había transformado en un problema numérico. Creo que encontrar este tipo de isomorfismos es una característica fundamental de los descubrimientos matemáticos (si bien mis isomorfismos tienen un nivel de primaria en comparación con los que descubren los matemáticos).
martes, 6 de noviembre de 2007
La máquina de componer música
Toda obra de arte es una combinación de elementos discretos. En el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel” aparece la idea de una biblioteca de todos los libros posibles, bajo la forma de variaciones con repetición de todos los signos del alfabeto.
Todos los cuadros se pueden reducir a una colección de píxels coloreados, q ue puede codificarse mediante números enteros.
Igualmente, una obra musical puede reducirse a una curva continua, o a un conjunto discreto de unos y ceros codificados en un CD. Una vez, mi vana imaginación inventó la biblioteca de Bach que contenía todos los discos posibles.
En una entrada anterior me preguntaba si se podría hallar por azar en la biblioteca el Canon de Pachelbel. La respuesta es que no. Martin Gardner se pregunta si puede existior un algoritmo que discrimine cuales son las grandes composiciones.
En 1792 se publicó un libro atribuido a Mozart donde se mostraba un método de componer mediante tiradas de dados tantos valses como se quieran. El sistema permite componer 11^14 valses de inequívoco sabor mozartiano.
Con losd ordenadores actuales se puede escribir obras musicales en el estilo de Chopin, aunque probablemente no serán obra maestras. Paradójicamente, resulta más difícil comnponer una melodía popular con gancho. Como dice Martin Gardner "La música contemporámnea está tan llena “de aleatoriedad y disonancia que uno duda si repetir lo que dijera Mark Twain de la música de Wagner: es mejor de lo que suena."
Se han construido programas de ordenador que producen combinatoriamente textos de filosofía postmoderna carentes del menor sentido.
Todavía esperamos que un ordenador produzca algo que pueda competir con Yesterday o con Angie.
Todos los cuadros se pueden reducir a una colección de píxels coloreados, q ue puede codificarse mediante números enteros.
Igualmente, una obra musical puede reducirse a una curva continua, o a un conjunto discreto de unos y ceros codificados en un CD. Una vez, mi vana imaginación inventó la biblioteca de Bach que contenía todos los discos posibles.
En una entrada anterior me preguntaba si se podría hallar por azar en la biblioteca el Canon de Pachelbel. La respuesta es que no. Martin Gardner se pregunta si puede existior un algoritmo que discrimine cuales son las grandes composiciones.
En 1792 se publicó un libro atribuido a Mozart donde se mostraba un método de componer mediante tiradas de dados tantos valses como se quieran. El sistema permite componer 11^14 valses de inequívoco sabor mozartiano.
Con losd ordenadores actuales se puede escribir obras musicales en el estilo de Chopin, aunque probablemente no serán obra maestras. Paradójicamente, resulta más difícil comnponer una melodía popular con gancho. Como dice Martin Gardner "La música contemporámnea está tan llena “de aleatoriedad y disonancia que uno duda si repetir lo que dijera Mark Twain de la música de Wagner: es mejor de lo que suena."
Se han construido programas de ordenador que producen combinatoriamente textos de filosofía postmoderna carentes del menor sentido.
Todavía esperamos que un ordenador produzca algo que pueda competir con Yesterday o con Angie.
domingo, 8 de julio de 2007
Las máquinas de Turing y el infinito
Existen conjuntos de números que nunca podrán ser generados por una máquina de Turing. Por ejemplo, los subconjuntos de N. El conjunto Partes de N es no numerable mientras que el conjunto de funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo, numerable.
Existen funciones que nunca podremos calcular, por muy avanzados que sean los computadores que usemos.
Las funciones que pueden imaginarse son funciones de N a N. Ahora bien, imaginemos todas las funciones de N a {0,1}. Es evidente que son menos que las funciones de N a N.
Para cada subconjunto X de N hay una función característica:
f(n)=1 si n pertenece a X
f(n)=0 si n no pertenece a X.
Pero los subconjuntos de N forman un conjunto no numerable. Y el conjunto de las funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo numerable. Por tanto, existen funciones que no pueden ser computables.
Por último, existen números reales que nunca podremos generar mediante máquinas de Turing. Veamos, un número real como Pi es computable si existe una máquina de Turing tal que cuando el input es 0 genera la parte entera del número, cuando el input es 1 genera la primera cifra decimal del número, cuando el input es 2 genera la segunda cifra decimal del número, etc. Bien, pues como el número de máquinas de Turing es, a lo sumo, numerable, existen infinitos reales que no son computables.
Todas estas pruebas se basan en la teoría de los números transfinitos de Cantor. Uno de los problemas de la teoría de los números transfinitos es que no es falsable. Por ejemplo, nunca vamos a conseguir un número infinito numerable de máquinas de Turing. Por lo que nunca vamos a comprobar si las pruebas que usan números transfinitos son reales o son una fantasmagoría.
Existen funciones que nunca podremos calcular, por muy avanzados que sean los computadores que usemos.
Las funciones que pueden imaginarse son funciones de N a N. Ahora bien, imaginemos todas las funciones de N a {0,1}. Es evidente que son menos que las funciones de N a N.
Para cada subconjunto X de N hay una función característica:
f(n)=1 si n pertenece a X
f(n)=0 si n no pertenece a X.
Pero los subconjuntos de N forman un conjunto no numerable. Y el conjunto de las funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo numerable. Por tanto, existen funciones que no pueden ser computables.
Por último, existen números reales que nunca podremos generar mediante máquinas de Turing. Veamos, un número real como Pi es computable si existe una máquina de Turing tal que cuando el input es 0 genera la parte entera del número, cuando el input es 1 genera la primera cifra decimal del número, cuando el input es 2 genera la segunda cifra decimal del número, etc. Bien, pues como el número de máquinas de Turing es, a lo sumo, numerable, existen infinitos reales que no son computables.
Todas estas pruebas se basan en la teoría de los números transfinitos de Cantor. Uno de los problemas de la teoría de los números transfinitos es que no es falsable. Por ejemplo, nunca vamos a conseguir un número infinito numerable de máquinas de Turing. Por lo que nunca vamos a comprobar si las pruebas que usan números transfinitos son reales o son una fantasmagoría.
martes, 19 de junio de 2007
"Caos y orden" de Escohotado
Publico esta reseña de un libro ya viejo por dos motivos. El primero es que el libro me parece ejemplificador de cierta actitud de ignorancia y hostilidad hacia la ciencia. El segundo que hace tiempo publiqué una versión reducida de este artículo en una revista, versión de la que no me siento demasiado satisfecho. Con el fin de corregir aquella torpe "versión reducida", publico en mi blog una edición más amplia, en la que tengo el espacio suficiente para discutir con mayor amplitud el libro en sus virtudes y defectos.
1.
La teoría del caos podría definirse en pocas palabras diciendo que en algunos procesos existe una enorme sensibilidad a las condiciones iniciales.
En mi opinión se confunde a los lectores cuando se hace equivaler el caos a aleatoriedad o indeterminismo. Indeterminismo, propiamente dicho, se da en el mundo microscópico de la física cuántica. Pero no está nada claro que este indeterminismo a escala subatómica nos afecte a nosotros (del mismo modo que no afecta excesivamente a la trayectoria de la Tierra la masa de un piojo). Si no es de indeterminismo, ¿de qué se trata entonces? Yo lo llamaría intratabilidad. En teoría de la computación se dice que es intratable un problema tan complejo que el ordenador no tiene capacidad de procesarlo. Muchos problemas colapsarían hasta los más potentes ordenadores. Por ejemplo, un modelo del clima que partiera de la situación de todas y cada una de las moléculas de la atmósfera es un ejemplo de problema intratable.
Para hacer más tratables este tipo de problemas se hace uso de la estadística, con lo que se simplifica mucho, reduciendo el comportamiento independiente de miles de millones de moléculas a una serie de pautas a gran escala. Sin embargo, los modelos a gran escala no pueden captar los pequeños detalles. Y estos pequeños detalles (paradigmáticamente, la mariposa que mueve sus alas en Australia) hacen que, a largo plazo, el modelo predictivo falle. Ésta es la razón por la que los pronósticos meteorológicos para un futuro más allá de cinco días tienden a fallar.
Muchos libros se han escrito en los últimos años acerca del caos. Muchos de ellos son honestos, inteligentes, dan exposiciones sencillas y resultan útiles para entender qué demonios es esa cosa del “caos”.
Quien se acerque al libro de Escohotado con el objetivo de aprender un poco sobre qué es el caos, seguramente, saldrá decepcionado. En general este libro mezcla un montón de cosas que no tienen nada que ver, la teoría del caos y la física cuántica, la crisis de la mecánica newtoniana y la crisis de las sociedades autoritarias, etc.
De entre todas estas mezclas y confusiones, una que me parece fundamental es la confusión entre los aspectos socio-económicos de la ciencia y sus aspectos puramente teóricos.
Dicho con un ejemplo sencillo: un sistema totalitario que (como el imaginado por Orwell en 1984), dedicara una gran inversión a convencer a la gente de que “2 + 2 = 5” quizá podría convencer a alguien de que eso es una verdad científica. Pero, aun así, el que juntara dos manzanas con otras dos manzanas, seguiría teniendo cuatro manzanas.
Escohotado coge ideas de aquí y de allá, con frecuencia alude a observaciones de científicos y, tal vez, cree que con eso está asegurado el rigor.
Cuando dos científicos descalificaron su libro en dos reseñas hostiles, Escohotado se justificó alegando que todo lo que escribe está tomado de autoridades en la materia. Bien, puede ser, pero con un montón de fragmentos de autoridades científicas adecuadamente sacados de contexto y distribuidos en un collage habilidoso se puede construir una teoría irracional, del mismo modo que al alejarse de algunos cuadros de Dalí, la Madonna se transforma en una oreja, o Gala en Abraham Lincoln.
Pero además, parece como si Escohotado ignorara que la ciencia no se hace apelando a autoridades. El científico estudia los fundamentos de la ciencia en un manual y, luego, si se trata de un científico empírico, comprueba lo que ha estudiado mediante prácticas en un laboratorio. Si es un matemático, simplemente, aprende a argumentar de forma lógica a partir de premisas autoevidentes.
Pero Escohotado no hace nada de esto, sino que expone los manjares precocinados de diversos científicos, y los mezcla en un singular plato combinado de producción propia. Es como si cogiera algo de Arzak, otro poco de Berasategui, lo de más allá de Arguiñano, todo mezclado, metido en el microondas y añadiéndole una salsa propia, made in Escohotado.
Por otro lado, las ideas que un científico expone en un libro divulgativo (a diferencia de las que expone en revistas especializadas, dirigidas exclusivamente a sus colegas) son debidamente simplificadas y, con frecuencia, reducidas a un slogan[1].
Escohotado mezcla un montón de cosas, utilizando el caos más como un slogan que como un concepto bien definido. El libro de Escohotado, no sé si define bien el caos, pero, acaso, lo ejemplifica.
2.
Uno de las ideas fundamentales de Escohotado es el paralelismo entre la ciencia y la sociedad. A la física newtoniana corresponde el orden teocrático. A la teoría del caos, el orden democrático.
Esto esconde una falacia. A diferencia de la física cuántica, la teoría del caos no se opone al determinismo de la física newtoniana. El comportamiento del clima o de un fluido son fenómenos explicables en términos de física newtoniana, por más que sean caóticos. Como dice Ian Stewart “el caos es fundamentalmente un concepto de mecánica clásica”.
El caos no es un paradigma alternativo a la mecánica de Newton, sino una extensión de la mecánica newtoniana a fenómenos complejos.
Sin embargo, lo fundamental para Escohotado no es la argumentación científica, sino el aspecto político. Como hemos dicho, Escohotado ve una correlación entre el triunfo la teoría del caos y el auge de los regímenes democráticos.
Escohotado parte de una idea, en algunos aspectos, muy sugestiva: la de que, en ocasiones, a partir de un estado desordenado puede surgir orden.
Esta idea me parece interesante, y en otros lugares la he defendido con el ejemplo de Thomas Huxley, según el cual un mono escribiendo a máquina durante suficiente tiempo acabaría (por puro azar) por escribir el Salmo 24.
Considero necesario insistir en que, por muy raras que sean estas ocasiones, existen momentos en que una estructura compleja surge del puro azar. Sin ir más lejos, la vida.
Sin embargo, Escohotado no utiliza la idea de que en ocasiones surge orden a partir del azar como argumento en una polémica con los creacionistas, sino que lo utiliza para defender una especie de anarcocapitalismo.
El argumento de Escohotado viene a ser el siguiente: el azar siempre crea orden, por tanto, el mercado es siempre superior al control estatal.
Esto es objetable. Por un lado, el azar no siempre crea orden. La mayoría de lo que escribe un mono son series de letras sin ningún sentido.
Por otro lado, el mercado sin una organización estatal, nos llevaría a una lucha de organizaciones mafiosas. Es lo mismo que propugna la trilogía de El padrino de Coppola. Como el estado es corrupto por naturaleza debe dejarse a los mafiosos que arreglen sus asuntos entre ellos.
Por otro lado, sin leyes que la regulen, la competencia por los recursos naturales sería terrible, y acabarían por expoliarse todas las fuentes de riqueza natural.
3.
Lo más interesante del libro de Escohotado son los capítulos dedicados a la economía. Creo que si el libro se hubiera centrado exclusivamente en esto hubiera sido un buen libro.
Adorno decía de Spengler que parecía ansioso por liquidar su capital de conocimientos humanísticos con el objeto de invertir en la industria pesada. Algo parecido podría decirse de Escohotado, salvo que éste donde invertiría sería en las nuevas tecnologías.
Desde la creación de la Sociedad Anónima como empresa capaz de beneficios infinitos y de pérdidas limitadas, hasta las empresas compradas de forma que el pago de la compra se efectúa hipotecando la propia empresa, el libro de Escohotado llama la atención sobre una serie de puntos escasamente conocidos del mundo económico, que resulta muy interesante tener en cuenta.
En contraste con las austeras categorías de los científicos y los políticos (que sufren constantes y demoledoras críticas por parte de Escohotado), la fauna de los tiburones de la bolsa y los especuladores financieros tiene toda su simpatía. Esta postura lo emparenta, una vez más, con los anarcocapitalistas, que buscan la desaparición total del estado, con el objeto de que las empresas hagan sus negocios sin ningún problema.
Evidentemente, Escohotado es un anarquista. Pero los viejos anarquistas (véase el ejemplo de la Escuela Moderna de Ferrer y Guardia) querían sustituir la oscuridad de la superstición por las luces de la ciencia y el progreso.
En cambio, Escohotado ataca a la ciencia como si ésta fuera autoritaria, y no precisamente la que nos iba a liberar del oscurantismo (como creyeron los ilustrados). No se trata de que Escohotado tenga miedo a que los avances de la biogenética produzcan razas inferiores o superiores (lo que, al fin y al cabo, sería razonable). Se trata de otra cosa.
Escohotado protesta contra un supuesto "autoritarismo" de la ciencia newtoniana. y cree encontrar en la teoría del caos, una salida democrática y libertaria (naturalmente, juzgar de esta manera la ciencia en términos políticos es una soberana estupidez).
Escohotado se centra en los aspectos más problemáticos de la ciencia. Por ejemplo, habla de una supuesta crisis de los fundamentos de las matemáticas, cuyo mayor ejemplo es, al parecer, la existencia de funciones continuas no diferenciables. Sin embargo, un historiador de la matemática como Carl Boyer no considera que la aparición de las funciones continuas no diferenciables supusiera una crisis del análisis matemático. Todo el periodo de Cauchy (que para Escohotado es de crisis total), para Boyer es de avance fructífero.
Con respecto al teorema de Gödel (que para Escohotado es la otra gran crisis de la matemática), Boyer encuentra que, pese a su importancia teórica, apenas ha tenido repercusiones en la matemática práctica de cada día.
En realidad, Escohotado ni siquiera se detiene demasiado en estas cosas. Despacha en dos líneas un tema como el teorema de Gödel, al que Douglas Hofstadter dedica casi 1.000 páginas. No importa: el lector queda asombrado de que el autor sepa tanto de tantas cosas diferentes. Mientras el lector sigue mudo de asombro, Escohotado ya ha pasado a la crítica de los juicios sintéticos a priori de Kant o al comportamiento de las partículas suspendidas en un fluido.
En resumen, me parece que el libro de Escohotado es (como ya han señalado otros de sus reseñadores) un ejemplo de impostura intelectual, que utiliza conceptos científicos, sin saber cómo ni para qué. Aunque el estilo es desenvuelto, la actitud de Escohotado le lleva a unos párrafos de absurda grandilocuencia, como cuando habla de “La sacrosanta casa del infalible profeta numérico”, para referirse a la ciencia.
Por otro lado, la insistencia en considerar que las leyes de la ciencia son tan arbitrarias como las leyes de, por ejemplo, una constitución, le lleva a un extremo relativismo que resulta indefendible.
[1] Puestos a hacer sociología de la ciencia (que tanto le gusta a Escohotado), yo diría que en algunos libros sobre el caos se trata de presentar esta teoría (de por sí importante) como más revolucionaria de lo que ya es.
El motivo es obvio: en la medida en que a un científico se le considere revolucionario y creador de un nuevo paradigma, mayor será su prestigio, y mayor será la dotación de sus proyectos de investigación.
De ahí la avalancha de propaganda sobre el caos, que da la impresión de que la ciencia está en el límite de la catástrofe, casi al borde de lo irracional.
Sin embargo, no creo que la teoría del caos sea tan innovadora, ya que ni siquiera es tan radical como la física cuántica (cuyo indeterminismo ha llevado a más de uno por caminos peligrosos).
1.
La teoría del caos podría definirse en pocas palabras diciendo que en algunos procesos existe una enorme sensibilidad a las condiciones iniciales.
En mi opinión se confunde a los lectores cuando se hace equivaler el caos a aleatoriedad o indeterminismo. Indeterminismo, propiamente dicho, se da en el mundo microscópico de la física cuántica. Pero no está nada claro que este indeterminismo a escala subatómica nos afecte a nosotros (del mismo modo que no afecta excesivamente a la trayectoria de la Tierra la masa de un piojo). Si no es de indeterminismo, ¿de qué se trata entonces? Yo lo llamaría intratabilidad. En teoría de la computación se dice que es intratable un problema tan complejo que el ordenador no tiene capacidad de procesarlo. Muchos problemas colapsarían hasta los más potentes ordenadores. Por ejemplo, un modelo del clima que partiera de la situación de todas y cada una de las moléculas de la atmósfera es un ejemplo de problema intratable.
Para hacer más tratables este tipo de problemas se hace uso de la estadística, con lo que se simplifica mucho, reduciendo el comportamiento independiente de miles de millones de moléculas a una serie de pautas a gran escala. Sin embargo, los modelos a gran escala no pueden captar los pequeños detalles. Y estos pequeños detalles (paradigmáticamente, la mariposa que mueve sus alas en Australia) hacen que, a largo plazo, el modelo predictivo falle. Ésta es la razón por la que los pronósticos meteorológicos para un futuro más allá de cinco días tienden a fallar.
Muchos libros se han escrito en los últimos años acerca del caos. Muchos de ellos son honestos, inteligentes, dan exposiciones sencillas y resultan útiles para entender qué demonios es esa cosa del “caos”.
Quien se acerque al libro de Escohotado con el objetivo de aprender un poco sobre qué es el caos, seguramente, saldrá decepcionado. En general este libro mezcla un montón de cosas que no tienen nada que ver, la teoría del caos y la física cuántica, la crisis de la mecánica newtoniana y la crisis de las sociedades autoritarias, etc.
De entre todas estas mezclas y confusiones, una que me parece fundamental es la confusión entre los aspectos socio-económicos de la ciencia y sus aspectos puramente teóricos.
Dicho con un ejemplo sencillo: un sistema totalitario que (como el imaginado por Orwell en 1984), dedicara una gran inversión a convencer a la gente de que “2 + 2 = 5” quizá podría convencer a alguien de que eso es una verdad científica. Pero, aun así, el que juntara dos manzanas con otras dos manzanas, seguiría teniendo cuatro manzanas.
Escohotado coge ideas de aquí y de allá, con frecuencia alude a observaciones de científicos y, tal vez, cree que con eso está asegurado el rigor.
Cuando dos científicos descalificaron su libro en dos reseñas hostiles, Escohotado se justificó alegando que todo lo que escribe está tomado de autoridades en la materia. Bien, puede ser, pero con un montón de fragmentos de autoridades científicas adecuadamente sacados de contexto y distribuidos en un collage habilidoso se puede construir una teoría irracional, del mismo modo que al alejarse de algunos cuadros de Dalí, la Madonna se transforma en una oreja, o Gala en Abraham Lincoln.
Pero además, parece como si Escohotado ignorara que la ciencia no se hace apelando a autoridades. El científico estudia los fundamentos de la ciencia en un manual y, luego, si se trata de un científico empírico, comprueba lo que ha estudiado mediante prácticas en un laboratorio. Si es un matemático, simplemente, aprende a argumentar de forma lógica a partir de premisas autoevidentes.
Pero Escohotado no hace nada de esto, sino que expone los manjares precocinados de diversos científicos, y los mezcla en un singular plato combinado de producción propia. Es como si cogiera algo de Arzak, otro poco de Berasategui, lo de más allá de Arguiñano, todo mezclado, metido en el microondas y añadiéndole una salsa propia, made in Escohotado.
Por otro lado, las ideas que un científico expone en un libro divulgativo (a diferencia de las que expone en revistas especializadas, dirigidas exclusivamente a sus colegas) son debidamente simplificadas y, con frecuencia, reducidas a un slogan[1].
Escohotado mezcla un montón de cosas, utilizando el caos más como un slogan que como un concepto bien definido. El libro de Escohotado, no sé si define bien el caos, pero, acaso, lo ejemplifica.
2.
Uno de las ideas fundamentales de Escohotado es el paralelismo entre la ciencia y la sociedad. A la física newtoniana corresponde el orden teocrático. A la teoría del caos, el orden democrático.
Esto esconde una falacia. A diferencia de la física cuántica, la teoría del caos no se opone al determinismo de la física newtoniana. El comportamiento del clima o de un fluido son fenómenos explicables en términos de física newtoniana, por más que sean caóticos. Como dice Ian Stewart “el caos es fundamentalmente un concepto de mecánica clásica”.
El caos no es un paradigma alternativo a la mecánica de Newton, sino una extensión de la mecánica newtoniana a fenómenos complejos.
Sin embargo, lo fundamental para Escohotado no es la argumentación científica, sino el aspecto político. Como hemos dicho, Escohotado ve una correlación entre el triunfo la teoría del caos y el auge de los regímenes democráticos.
Escohotado parte de una idea, en algunos aspectos, muy sugestiva: la de que, en ocasiones, a partir de un estado desordenado puede surgir orden.
Esta idea me parece interesante, y en otros lugares la he defendido con el ejemplo de Thomas Huxley, según el cual un mono escribiendo a máquina durante suficiente tiempo acabaría (por puro azar) por escribir el Salmo 24.
Considero necesario insistir en que, por muy raras que sean estas ocasiones, existen momentos en que una estructura compleja surge del puro azar. Sin ir más lejos, la vida.
Sin embargo, Escohotado no utiliza la idea de que en ocasiones surge orden a partir del azar como argumento en una polémica con los creacionistas, sino que lo utiliza para defender una especie de anarcocapitalismo.
El argumento de Escohotado viene a ser el siguiente: el azar siempre crea orden, por tanto, el mercado es siempre superior al control estatal.
Esto es objetable. Por un lado, el azar no siempre crea orden. La mayoría de lo que escribe un mono son series de letras sin ningún sentido.
Por otro lado, el mercado sin una organización estatal, nos llevaría a una lucha de organizaciones mafiosas. Es lo mismo que propugna la trilogía de El padrino de Coppola. Como el estado es corrupto por naturaleza debe dejarse a los mafiosos que arreglen sus asuntos entre ellos.
Por otro lado, sin leyes que la regulen, la competencia por los recursos naturales sería terrible, y acabarían por expoliarse todas las fuentes de riqueza natural.
3.
Lo más interesante del libro de Escohotado son los capítulos dedicados a la economía. Creo que si el libro se hubiera centrado exclusivamente en esto hubiera sido un buen libro.
Adorno decía de Spengler que parecía ansioso por liquidar su capital de conocimientos humanísticos con el objeto de invertir en la industria pesada. Algo parecido podría decirse de Escohotado, salvo que éste donde invertiría sería en las nuevas tecnologías.
Desde la creación de la Sociedad Anónima como empresa capaz de beneficios infinitos y de pérdidas limitadas, hasta las empresas compradas de forma que el pago de la compra se efectúa hipotecando la propia empresa, el libro de Escohotado llama la atención sobre una serie de puntos escasamente conocidos del mundo económico, que resulta muy interesante tener en cuenta.
En contraste con las austeras categorías de los científicos y los políticos (que sufren constantes y demoledoras críticas por parte de Escohotado), la fauna de los tiburones de la bolsa y los especuladores financieros tiene toda su simpatía. Esta postura lo emparenta, una vez más, con los anarcocapitalistas, que buscan la desaparición total del estado, con el objeto de que las empresas hagan sus negocios sin ningún problema.
Evidentemente, Escohotado es un anarquista. Pero los viejos anarquistas (véase el ejemplo de la Escuela Moderna de Ferrer y Guardia) querían sustituir la oscuridad de la superstición por las luces de la ciencia y el progreso.
En cambio, Escohotado ataca a la ciencia como si ésta fuera autoritaria, y no precisamente la que nos iba a liberar del oscurantismo (como creyeron los ilustrados). No se trata de que Escohotado tenga miedo a que los avances de la biogenética produzcan razas inferiores o superiores (lo que, al fin y al cabo, sería razonable). Se trata de otra cosa.
Escohotado protesta contra un supuesto "autoritarismo" de la ciencia newtoniana. y cree encontrar en la teoría del caos, una salida democrática y libertaria (naturalmente, juzgar de esta manera la ciencia en términos políticos es una soberana estupidez).
Escohotado se centra en los aspectos más problemáticos de la ciencia. Por ejemplo, habla de una supuesta crisis de los fundamentos de las matemáticas, cuyo mayor ejemplo es, al parecer, la existencia de funciones continuas no diferenciables. Sin embargo, un historiador de la matemática como Carl Boyer no considera que la aparición de las funciones continuas no diferenciables supusiera una crisis del análisis matemático. Todo el periodo de Cauchy (que para Escohotado es de crisis total), para Boyer es de avance fructífero.
Con respecto al teorema de Gödel (que para Escohotado es la otra gran crisis de la matemática), Boyer encuentra que, pese a su importancia teórica, apenas ha tenido repercusiones en la matemática práctica de cada día.
En realidad, Escohotado ni siquiera se detiene demasiado en estas cosas. Despacha en dos líneas un tema como el teorema de Gödel, al que Douglas Hofstadter dedica casi 1.000 páginas. No importa: el lector queda asombrado de que el autor sepa tanto de tantas cosas diferentes. Mientras el lector sigue mudo de asombro, Escohotado ya ha pasado a la crítica de los juicios sintéticos a priori de Kant o al comportamiento de las partículas suspendidas en un fluido.
En resumen, me parece que el libro de Escohotado es (como ya han señalado otros de sus reseñadores) un ejemplo de impostura intelectual, que utiliza conceptos científicos, sin saber cómo ni para qué. Aunque el estilo es desenvuelto, la actitud de Escohotado le lleva a unos párrafos de absurda grandilocuencia, como cuando habla de “La sacrosanta casa del infalible profeta numérico”, para referirse a la ciencia.
Por otro lado, la insistencia en considerar que las leyes de la ciencia son tan arbitrarias como las leyes de, por ejemplo, una constitución, le lleva a un extremo relativismo que resulta indefendible.
[1] Puestos a hacer sociología de la ciencia (que tanto le gusta a Escohotado), yo diría que en algunos libros sobre el caos se trata de presentar esta teoría (de por sí importante) como más revolucionaria de lo que ya es.
El motivo es obvio: en la medida en que a un científico se le considere revolucionario y creador de un nuevo paradigma, mayor será su prestigio, y mayor será la dotación de sus proyectos de investigación.
De ahí la avalancha de propaganda sobre el caos, que da la impresión de que la ciencia está en el límite de la catástrofe, casi al borde de lo irracional.
Sin embargo, no creo que la teoría del caos sea tan innovadora, ya que ni siquiera es tan radical como la física cuántica (cuyo indeterminismo ha llevado a más de uno por caminos peligrosos).
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