El bucle infinito

Disparates varios

2010-02-03T11:22:00.000-08:00

Siempre me han interesado las recopilaciones de disparates. Alguna vez, en bachillerato, recuerdo haberme dedicado, para atenuar el sopor de las clases, a leer una Antología del disparate que entonces hacía furor.

Recuerdo que una de las frases que más gracia me hacía era. "Sobre ellos pendía la espada de Sófocles". Naturalmente, la espada era de Damocles, no del autor de Antígona.

Ahora, este tipo de disparates no me parece de mucha importancia: que uno sepa ó no quien era Damocles tampoco es tan grave (la mayoría de gente sólo sabemos de él que es "El de la espada"). A mí me fastidian bastante más los errores de tipo lógico.

Por ejemplo, en un programa de estos del corazón oí a una señorita decir: "Tengo un teorema sobre los yogurines". Dejemos lo de los yogurines (esta palabra, más o menos quiere decir "Personas jóvenes", o, a veces "personas jóvenes y guapas"). Lo que me choca es la parte del "teorema". Un teorema, viene a ser una proposición matemática demostrada mediante inferencias lógicas a partir de axiomas o premisas que se consideran autoevidentes.

No sé yo si la formalización lógica ha avanzado tanto como para aplicar la matemática al campo de los "yogurines". Pero lo dudo. Probablemente lo que quería decir la chica es que tenía una teoría sobre los yogurines. Una enciclopedia que tengo a mano define teoría como "Serie de las leyes que sirven para relacionar un orden de fenómenos" o "hipótesis explicativa de un hecho".

Como quiera que las teorías no necesitan ser formalizadas matemáticamente (se habla de la teoría psicoanalítica o la teoría marxista), admitimos la "teoría sobre los yogurines". Pero no el teorema.

Dentro de las tonterías que he oído últimamente, la que más divertida me ha parecido ha sido una que oí en una radio de Guipúzcoa. Una periodista habló de una "misa por la intersección de la Virgen".

Je, je, je. La intersección (como sabrán mis lectores) es una operación entre conjuntos. La intersección de los jerseys y de las cosas verdes son los jerseys de color verde. La intersección de los cantantes de tangos y de los participantes en Operación Triunfo, son los cantantes de tangos que participan en Operación Triunfo. Etc.

Lo que debía querer decir la periodista es "una misa por la intercesión de la Virgen". ¿Qué es interceder? Es "abogar en nuestro favor" o "mediar por otro". Recuerdo una oración de cuando era niño que decía:

por eso ruego a los ángeles,
a los santos,
y a vosotros hermanos
que intercedáis por mí
ante Dios nuestro señor.

Je. Lo que me divierte del tema es que, en la gente joven, la terminología de la teoría de conjuntos parece ser más conocida y familiar que la jerga religiosa y teológica.

Un sorprendente triunfo que se ve menoscabado por el hecho de que mucha de la gente que utiliza términos como "intersección", simplemente, no sabe lo que significan. Pensar que la intersección puede tener algo que ver con la Virgen es no tener ni idea de qué es la intersección (aunque, quien sabe: podríamos tener la intersección entre, por ejemplo, el conjunto de las vírgenes y el conjunto de los etruscos, que serían todas las vírgenes etruscas, si es que hay alguna).

Todo lo cual me lleva a una triste conclusión. sí, es cierto que la mayoría de gente va olvidando la jerga teológica, pero tampoco ha aprendido absolutamente nada sobre la ciencia, salvo una serie de términos abstrusos cuyo significado la mayoría desconoce.

Demostraciones de tipo Cantor en lógica

2010-02-03T10:50:00.000-08:00

En la teoría de computación hay un tipo de funciones que se llaman funciones recursivas primitivas.

Hofstadter utiliza lo que él llama el lenguaje BuD para explicar estas funciones. El lenguaje BuD consta de bucles delimitados. Es decir, lo que en los lenguajes informáticos suelen ser los bucles FOR. Es decir, bucles que tienen un número finito de pasos (en cambio, los bucles while, pueden tener un número infinito de pasos, de manera que, a priori, no es fácil saber si un bucle while acabará, o seguirá funcionando ad infinitum).

Las funciones recursivas totales son funciones que cumplen la siguiente condición: para todo x que pertenece al dominio, existe una y en el rango, tal que y=f(x). Es decir, para todo valor, el programa acaba parando en un tiempo finito.

Las funciones estrictamente parciales son funciones tales que, para algún valor del dominio el programa se pierde en un bucle infinito. Para algún valor x que pertenece al dominio, no existe ningún y en el rango, tal que y= f(x). (Si bien, en general, se llama funciones parciales tanto a las totales como a las parciales)

Hay una demostración de que existen funciones recursivas totales que no son recursivas primitivas.

La demostración se desarrolla así:

1) existe una enumeración recursiva de las funciones recursivas primitivas (es decir, estas funciones se pueden ordenar por orden alfabético). uno se puede imaginar estas funciones como programas de ordenador, cada uno con un número P[1], P[2], P[3], etc... También podemos imaginarlos como funciones, f[1], f[2], f[3]...

2) Cada programa debe aceptar un número natural como input. Por ejemplo, si P[2], es el programa que suma a cada número 1, entonces, el resultado de P [2][3], es 4, y el resultado de P[2][n] es (n+1). Igualmente, la función f[1], con input 1, podríamos llamarla f[1] (1).

3) hora, supongamos que existe una función tal que f(x)= f[x](x) +1. Ahora supongamos que f(x) es una función recursiva primitiva. Pero entonces f(x) debe ser f[1] o f[2],... o f[n]. Pero ¡no puede serlo! Porque, para todo n, f[n] es igual a f[n] (n) + 1. Por tanto, f(n) no está en la lista de las funciones recursivas primitivas.

El resultado demuestra que existen funciones recursivas totales que no son recursivas primitivas.

El cerebro de Einstein: diálogo con el máximo sistema

2010-01-17T10:31:00.000-08:00

Quisiera considerar un famoso experimento mental, debido a Douglas Hofstadter1 que aparece en el libro de Hofstadter y Dennett The Mind’s I (Hofstadter, Douglas “A conversation with Einstein´s brain”. EN: The mind’s I (ed. Hofstadter D.R. y Dennetrt, D.C., Basic Books, Inc. Penguin Books Limited; Harmondsworth, Middx, England, 1982, pags. 430, 460). Hofstadter supone un libro que contendría todo el pensamiento de Einstein. Esto podría parecer trivial. Echando mano del experimento mental de la Biblioteca de Babel, podríamos imaginar que uno de los volúmenes de la Biblioteca debe ser la mejor exposición en menos de quinientas páginas de la teoría de la relatividad, del mismo modo que, según Dennet:

“uno de los volúmenes de la Biblioteca de Babel es ––debe ser–– la mejor declaración en menos de quinientas páginas de frases gramaticales cortas en inglés, acerca de la solución del problema del libre albedrío, y otro, el óptimo trabajo en inglés sobre la consciencia”(Dennet, La peligrosa idea de Darwin).

Sin embargo, no es exactamente esto lo que propone Hofstadter, que no imagina una exposición de la teoría de Einstein, sino más bien un libro que reprodujera, paso por paso, todos los procesos del cerebro de Einstein (veremos que no es exactamente esto, pero de momento empecemos por simplificar). Tal como lo expone Penrose:

“Hofstadter imagina un libro, de proporciones absurdamente monstruosas, que se supone contiene una completa de descripción del cerebro de Albert Einstein” (Penrose,The Emperor’s New Mind. Oxford University Press, 1989. Trad: La nueva mente del emperador. Crítica (Grijalbo Mondadori). Barcelona, 1996 pag. 46)

Por supuesto, el tamaño es aquí lo de menos. Utilizando un número de volúmenes de la Biblioteca de Babel suficientemente elevado, podríamos obtener un volumen que describiera de manera suficientemente pormenorizada el cerebro de Einstein. Este libro, según Hofstader, tendría una serie de características, que resume Penrose:

“Cualquier pregunta que uno pudiera plantear a Einstein podría ser respondida, exactamente igual que lo hubiera hecho Einstein en vida, simplemente hojeando el libro y siguiendo cuidadosamente todas las instrucciones detalladas que proporciona. Por supuesto, ‘simplemente’, es una palabra totalmente inadecuada, como Hofstadter se cuida en señalar. Pero su tesis es que, en principio, el libro es exactamente equivalente, en el sentido operacional del test de Turing, a una ridículamente ralentizada versión del Einstein real. Así, según las opiniones de la IA [Inteligencia Artificial] fuerte, el libro pensaría, sentiría, entendería, sería consciente, justo como si fuera el propio Einstein, pero quizá viviendo a un ritmo tremendamente ralentizado (de modo que para el Einstein-libro el mundo externo parecería discurrir a un ritmo ridículamente acelerado). De hecho, ya que se supone que el libro es simplemente una particular encarnación del algoritmo que constituía el ‘yo’ de Einstein, realmente sería Einstein”.

Igual que los ordenadores pueden programarse en alto nivel o en lenguaje máquina, en el cerebro hay diversos niveles. Por ejemplo, Einstein puede equivocarse en su mente, hacer una conjetura acerca de la realidad que esté equivocada (por ejemplo, que existe una constante cosmológica). Sin embargo, en el nivel de “lenguaje máquina” del cerebro, en el nivel neuronal, en cierto sentido, Einstein no puede equivocarse. Cada neurona puede estar encendida o apagada, pero, en todo caso, todas ellas siguen las leyes de la física. (Esto sucede, incluso, en personas que, a diferencia de Einstein, no saben nada de física).

Pero ¿en qué alfabeto está escrito el libro? Podríamos preguntarnos ¿en qué nivel se lee el libro? ¿Neural, lógico, del lenguaje común? Pondré un ejemplo, para que esto se entienda mejor. Según Hofstadter, ante una división por cero, el ordenador se detendría, y daría algún tipo de información sobre por qué no puede continuar operando, o más bien sobre dónde se ha detenido su ejecución. Pero podría expresar esta información en tres niveles:

“Nivel de lenguaje de máquina:
‘Ejecución del programa detenida en la posición
1110010101110111’

Nivel de lenguaje ensamblador:
‘Ejecución del programa detenida en la posición
DIV (dividir)

Nivel de lenguaje compilador:
‘Ejecución del programa detenida en el transcurso de la
resolución de la expresión algebraica ‘(A + B)/Z”4

Podemos preguntarnos, pues, si el libro que reproduce el cerebro de Einstein reproduce la estructura de las neuronas en el cerebro de Einstein. ¿Tendría, entonces, el libro, un aspecto cerebriforme? ¿O bien, sólo contendría una descripción de la estructura neuronal? Podría contener, tan sólo, una descripción de las operaciones lógicas. Quisiera diferenciar aquí entre las operaciones lógicas de Einstein cuando escribe en la pizarra ecuaciones algebraicas y las operaciones lógicas del cerebro. El cerebro de Einstein a alto nivel piensa difíciles ecuaciones matemáticas y también toma decisiones en aspectos cotidianos de la vida, que muchas veces pueden ser equivocadas. Sin embargo, subyaciendo al álgebra de las ecuaciones matemáticas y al sentido común de las decisiones cotidianas, hay una estructura lógica, sea ésta la estructura innata de los chomskyanos o el lenguaje de la mente de los cognitivistas. En cualquier caso, existe un programa de bajo nivel que se ejecuta directamente en nuestro sistema neuronal.

Si el libro está escrito en lenguaje neuronal o lógico, sería muy difícilmente inteligible. Sería como estudiar un líquido mediante el estudio de la trayectoria de cada una de las partículas de líquido. Hemos de suponer que, de algún modo, en el libro, se puede dar una descripción de alto nivel del cerebro de Einstein. Cabría imaginar que el libro fuera como uno de esos manuales para aprender Windows, sólo que el contenido del libro fuera una transcripción de un programa en C o en Pascal que, una vez instalado en el computador, produjera una simulación perfecta del cerebro de Einstein.

Más atrás he hablado de que el programa podría reproducir los procesos cerebrales de Einstein. Pero aquí tropezamos con otro problema ¿Se pueden modelizar todos los estados posibles del cerebro de Einstein? El problema en sí es intratable, puesto que un cerebro tendría, al menos, 2100.000.000.000 de estados posibles, eso, tan sólo contando las neuronas en estado de encendido o apagado, y sin tener en cuenta la disposición de las sinapsis. Si no se pueden modelizar todos los estados posibles del cerebro, ¿Acaso habría que producir una estructura cerebriforme?5.

Creo que la clave del experimento mental es que el cerebro de Einstein tenga interactividad ¿Podría interaccionar con Penrose y Hawking, por ejemplo? ¿Podría discutir el experimento de Aspect o la teoría de las supercuerdas? Para que fuera realmente inteligente, el cerebro de Einstein tendría que tener la posibilidad de cambiar de opinión, de aprender nuevas cosas. Si no, sería como un gigantesco CD-ROM o un parque temático einsteniano, pero no un agente con conciencia. Todo depende de su capacidad de producir nuevas respuestas

Veamos como discurre el texto de Hofstadter. La estructura es un diálogo entre Aquiles y la Tortuga. Como se sabe Aquiles y la Tortuga son los protagonistas de una de las paradojas de Zenón, y también de un diálogo de Lewis Carrol. En su libro Gödel, Escher, Bach, Hofstadter se ocupa de Aquiles y la Tortuga según Zenón y según Lewis Carrol. Aquí, en cambio, estos dos personajes sirven para expresar ideas que son de Hofstadter. Aquiles y la Tortuga se encuentran, pues, en un día de otoño. La Tortuga afirma, de manera extravagante, que ella no oye los discos poniéndolos en un gramófono, sino que observa con sus ojos los surcos del disco y así percibe la belleza de las piezas musicales contenidas en cada disco. Lo que quiere explicar la Tortuga con esto es que existe un isomorfismo entre el dibujo de los surcos en un disco y la música contenida en ese disco. La idea siguiente consiste en un libro que sea isomorfo al cerebro de Einstein en el momento de su muerte. La descripción del cerebro de Einstein es a nivel celular, neurona por neurona y axón por axón (lo que, como se puede imaginar hace el libro totalmente inmanejable). El cerebro consiste en una serie de neuronas y de axones que las conectan entre sí. Las neuronas se encienden, lo que quiere decir que una corriente eléctrica pasa por el axón de una neurona a otra neurona. La otra neurona se encenderá si pasa hacia ella una determinada cantidad de corriente. El libro que resume el contenido del cerebro de Einstein consta de cosas como números, letras y abreviaturas. La tortuga le pregunta a Aquiles si esperaba encontrar cosas como dibujos de extrellas y átomos, junto con fórmulas como E = m·c^2. Aquiles responde que no y anticipa lo que cree va a decir la Tortuga a continuación: cada página del libro corresponde a una neurona del cerebro y hay cien mil millones de páginas. Cada página contiene informaciones como con qué neuronas está conectada esa neurona o cuanta corriente es necesaria para encenderla. Cada pensamiento en la mente o en el cerebro corresponde a una serie de neuronas que se van encendiendo como cae una fila de fichas de dominó. La actividad neural depende probablemente de procesos químicos, que producen cambios en el encendido de las neuronas. Estos cambios en las neuronas son susceptibles de codificarse numéricamente. La Tortuga añade que el libro tendría que tener codificado también como reaccionar ante un sonido. Como hemos dicho antes, el libro tiene que ser interactivo si tiene que ser algo más que una gigantesca base de datos. Aquiles se pregunta qué pensaría de todo esto el viejo Einstein y la Tortuga responde que basta con consultar el libro para saberlo. La Tortuga sostiene que el libro es Einstein, pero Aquiles considera que no, porque Einstein era una persona, no un libro. Pero la Tortuga pregunta a Aquiles si no cree que en los discos hay música. Aquiles considera que se necesita una aguja y algún otro aparato para extraer la música del disco. La Tortuga pregunta si los sonidos de un disco son sonidos reales o sólo una suerte de imitación. Aquiles responde que la música viene del disco, pero está hecha de sonidos reales. La Tortuga está sugiriendo implícitamente que la música es al disco como la mente al cerebro. La Tortuga considera que la música está en el disco toda a la vez, independientemente de que para escucharla sea necesaria una sucesión temporal. La música es el disco. Aquiles considera que él prefiere el aspecto auditivo de la música, mientras que la Tortuga prefiere el aspecto visual. La Tortuga imagina que Aquiles es presentado al libro que contiene toda la información sobre el cerebro de Einstein. Lo que dice Aquiles actúa sobre las neuronas auditivas de Einstein, y estas neuronas actúan sobre todo el resto del libro. Se produce un proceso en cadena hasta que tiene lugar una respuesta. Como dice Aquiles, la respuesta podría tardar milenios. Esto se podría solucionar de dos maneras. Podríamos imaginar que, en vez de un libro, tenemos un programa informático como hemos dicho más arriba. Este programa, aunque conste de millones de instrucciones puede moverse con más rapidez que la que tardaría un individuo examinando un libro. Simplemente, el ordenador puede efectúar miles de operaciones por segundo. Además, imaginemos que el programa está escrito en un lenguaje de alto nivel y no en lenguaje máquina (que es sólo unos y ceros), de forma que da una descripción también de alto nivel de los procesos lógicos en el cerebro de Einstein. En este caso sería más inteligible que el movimiento de miles de millones de neuronas. Según la Tortuga, al primer saludo de Aquiles el libro respondería: “Hola, ¿Vienes a visitarme? ¿he muerto?”. Aquiles considera que no es Einstein quien está respondiendo, sino un tonto libro. La Tortuga considera que el libro responde exactamente como respondería Einstein si viviera. Después de todo el libro codifica el cerebro de Einstein el último día de su vida, y Einstein creía ser un hombre y no un libro.

Aquiles admite que él haría preguntas al libro como si fuera el Einstein real. La Tortuga considera que Aquiles podría explicar al libro que él (Einstein) había muerto, pero que su cerebro ha sido codificado en un gigantesco catálogo.después de su muerte. Aquiles se pregunta, si no está hablando con una persona viva, ¿de dónde vienen los pensamientos del Einstein simulado? La tortuga responde que del libro. Aquiles se pregunta cómo puede sufrir un libro. Pero la Tortuga responde que no sufre. Simplemente, el libro es. Está ahí. Aquiles contesta que no es un libro sólo, sino un libro más un proceso, pero ¿cómo puede un libro más un proceso sentir? Aquiles considera que el libro no tiene piernas, ¿cómo puede sentir dolor de piernas? La Tortuga considera que, sin embargo, el libro tiene muchas neuronas relacionadas con el dolor de piernas. Ahora bien, una vez que Aquiles le comunica que es un libro y no tiene piernas ¿para qué quiere el dolor de piernas? Podría concentrarse en otras cosas como comunicarse con Aquiles. Aquiles considera que, sin embargo, antes de completar un corto intercambio de frases, el propio Aquiles ya sería viejo. La Tortuga considera que Aquiles también podría ser un catálogo (cosa que, como era de esperar, a Aquiles no le hace mucha gracia). Pero la Tortuga sugiere que, convertido en catálogo, Aquiles podría mantener una excitante conversación con Einstein, y con otras personas a la vez, ya que se pueden construir varios catálogos de Aquiles. Aquiles piensa en Homero, Zenón y Lewis Carrol (que son, curiosamente, autores que han utilizado a Aquiles como personaje, bien en sus obras de ficción, bien en sus argumentos filosóficos). Aquiles se pregunta dónde estaría él, en cuál de los catálogos. La Tortuga dice que en todos...o quizás en ninguno. La Tortuga plantea lo que podría pasar si se confrontan dos catálogos de Aquiles. Aquiles se pregunta qué es el “yo” ¿Una persona? ¿un proceso? ¿una estructura en el cerebro de Aquiles? ¿o alguna incapturable esencia que siente y que ocurre en el cerebro? La Tortuga se pregunta si Einstein está muerto o sigue vivo en el libro. Para Aquiles, según todas las apariencia, una parte de su espíritu vive por el hecho de que los datos fueron grabados. Pero la Tortuga pregunta: ¿Y si el libro no fuera nunca usado? Además, probablemente sólo podría hablar una sílaba al siglo. Aquiles supone que existe una máquina que pasa rápidamente las páginas y que hace los cálculos. Pero ¿y si se estropea la mnáquina?, pregunta la Tortuga. Según Aquiles, entonces, el Libro Aquiles estaría muerto. Pero, dice la Tortiuga, ¿y si nadie lo atiende? ¿no estaría muerto también? Por otro lado, dice Aquiles, es importante que el libro venga junto con las instrucciones para usarlo, si no sería inútil. ¿Estaría vivo Aquiles si el libro fuera desparramado poco a poco?, pregunta la Tortuga. Alguien puede romper el libro. Aquiles considera que mientras las páginas puedan ser reunidas hay esperanza para su supervivencia, pero ¿reunidas por quién? La Tortuga se pregunta si los sentimientos no podrían estar todos a la vez, como la música en los discos. Pero Aquiles considera que una mente, a diferencia de un disco, está en interacción con el mundo exterior. La Tortuga asiente. La mente interactúa con el mundo exterior, de modo que no es predictible lo que va a suceder con la mente sólo con conocer la estructura del cerebro. Pero en la introspección, el cerebro no interactúa con el mundo exterior. Ahí podría estar todo al mismo tiempo.

Aquiles se pregunta qué pasaría si él leyera el libro de Aquiles. Tendría entonces un total conocimiento de sí mismo. En realidad, y dejando aparte problemas de tiempo (que sería inmenso) y de espacio de almacenaje (que sería insuficiente), si Aquiles consultara el libro de Aquiles tendría un conocimiento total del estado del cerebrto antes de consultar el libro. Pero el hecho de consultar el libro habría variado su estado cerebral. Es como el problema, que hemos visto en otro lugar, de el cerebro tratando de conocer el cerebro.

Como dice Daniel Dennett en su libro Brainstorms, una tormenta simulada no es una tormenta. Consta de impulsos eléctricos viajando a través de circuitos de silicio, y no de moléculas de aire atmosférico. Igualmente una simulación del cerebro no es inteligente.

Como reconoce el propio Hofstadter un programa jugador de de ajedrez no tiene ningún concepto de por qué está jugando a ajedrez, o del hecho de que es un programa, o de que está en una computadora, o de que tiene un oponente humano. No tiene ideas sobre qué es ganar o perder.

En Las sombras de la mente, Roger Penrose pone el ejemplo de un programa de inteligencia artificial que tuvo serios problemas en darse cuenta de que cuando el pie izquierdo de abraham Lincoln estaba en Washington, lo más probable era que su pie derecho también estuviera en Washington. Este ejemplo demuestra que aquel programa no tenía ninguna compresión genuina. Penrose pone otros ejemplos, como un error garrafal de Deep Thougth, el famoso programa de ajedrez que, en una partida, perdió de forma estúpida unas tablas seguras por el beneficio a corto plazo de capturar una torre, pese a que esta captura le llevaba obviamente a la derrota. Es evidente que Deep Thougth estaba programado para conseguir ventajas materiales, pero carecía de la visión estratégica que da una comprensión genuina. Al comer la torre con un peón, rompía una barrera de peones que le garantizaba las tablas. (Pero, en realidad, ni siquiera se daba cuenta de lo que estaba haciendo).

Parecido argumento es el de la habitación china de Searle. Searle imagina un anglohablante en una habitación, manejando las instrucciones sintácticas de un programa para hablar en chino. El anglohablante no conoce nada de chino, y las instrucciones para manejar el programa están en inglés. Searle pregunta: ¿el anglohablante entiende algo de chino? Parece ser que no. Pero, en realidad, el funcionamiento de los programas informáticos es igual a esto: un manejo ciego de símbolos.

Hay muchas cosas propias del conocimiento humano intuitivo que el computador no puede entender. Por ejemplo, en un cuento de Woody Allen, Agatón le dice a Woody Allen: “Oh , me encontré con Isósceles. Tiene una idea estupenda para un nuevo triángulo”.

Este chiste, por ejemplo, es entendido por la mayoría de la gente sin problemas. En realidad se basa en varios sobreentendidos. “Isósceles” todos imaginamos (aun si no sabemos griego) que debe querer decir algo así como “lados iguales” o “ángulos iguales”, ya que este triángulo tiene la propiedad de tener dos lados o dos ángulos iguales. El prefijo “iso” (que aparece en palabras como isomorfo) imaginamos que se refiere a la igualdad. Lo gracioso es que Woody Allen, sabiendo esto, se imagina que Isósceles podría ser el nombre de un filósofo, que sería el descubridor de ese tipo de triángulo. Y efectivamente Isósceles suena como Aristóteles, Sócrates, etc. El ser humano actúa por conjeturas, aproximaciones, esbozos de teorías acerca de lo que ve y oye. En cambio la máquina es incapaz de estas cosas. La máquina necesita una especificación previa de cómo debe actuar en una situación dada. Aun si a la máquina se le introducen elementos de azar, no se logrará nada. Pues un ser humano que actuara al azar iría a la deriva, y no acertaría casi nunca.

Por ejemplo, un amigo mío defendía que la máquina se mete en un bucle infinito porque, a diferencia del ser humano, no se cansa, y sigue, dale que dale como el conejito de las pilas Duracel. Pero no veo que se podría conseguir con que el ordenador se cansara. Pongamos que el ordenador busca determinada propiedad X, pero se cansa cuando llega al número 1.000. El ordenador dice que ningún número tiene la propiedad X. Ahora bien, ¡podría ser que el 1.001 tuviera la propiedad X!

En una ocasión, un profesor, al que había preguntado por el problema de los bucles infinitos, me respondió no era necesario que el ordenador recorriera los números naturales en su orden natural. Podía recorrerlos en un orden diferente, incluso al azar. Lo que yo pensé entonces es que el profesor no había entendido mi pregunta. Una aseveración acerca de teoría de números se refiere a los números naturales: a un número infinito de números. Este espacio es inabarcable, independientemente del orden en que se recorra. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach: todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. La demostración o refutación de dicha conjetura (si es que es posible) requiere intuición directa, matemática. Nada que ver con una máquina funcionando hasta que se pare cuando un número no cumpla la conjetura. Por cierto, ¿y si no se parara nunca?

Para algunos, la conclusión es que hay una serie de conceptos del conocimiento matemático y del conocimiento intuitivo que los computadores nunca lograrán imitar. Sin embargo, no estoy seguro de que esta coclusión sea la correcta. La conciencia no se puede simular. La inteligencia humana siempre será superior a la de un iordenador. O no (como dijo el otro).

Una tortuga en los juegos olímpicos

2010-01-13T09:02:00.000-08:00

La paradoja de Aquiles y la tortuga se debe a Zenón de Elea. Este filósofo del siglo V a.c., defensor de las ideas de Parménides propuso una serie de paradojas en las que negaba la posibilidad del movimiento. A la más famosa (la de Aquiles y la tortuga) se referirá Borges en dos breves ensayos: “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” y “Avatares de la tortuga”. Dada la importancia que da Savater a la obra de Borges hubiera sido divertido titular este capítulo “Savateres de la tortuga”, sin embargo he creído que dado que los juegos olímpicos proceden de Grecia, no era incongruente hacer correr a la tortuga en uno de ellos. Lo primero sería la exposición de las paradojas de Zenón. Lsa primera de ellas es la de la . Dicotomía. Carl B. Boyer, en su "Historia de la matemática" la expone así:

“La primera arfirma que antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero aún antes de recorrer ésta deberá recorrer el primer cuarto de la distancia inicial, y antes aún el octavo, y así indefinidamente a través de una cantidad infinita de subdivisiones. El corredor que quiere iniciar su carrera debe realizar un número infinito de etapas sin ninguna primera en un tiempo finito; pero es obviamente imposible agotar una colección infinita y, por tanto, el mismísimo comienzo del movimiento es imposible”

La segunda de las paradojas ––la que utilizará Borges–– es la de Aquiles y la tortuga.

“La segunda de las paradojas es parecida a la primera, salvo que ahora la subdivisión indefinida es en sentido progresivo en vez de regresivo; aquí nos encontramos a Aquiles ‘el de los pies ligeros’ compitiendo en una carrera con una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial, y en la paradoja se trata de demostrar que Aquiles, por muy velozmente que corra, no podrá alcanzar ni, por supuesto, adelantar nunca a la tortuga, por muy El lenguaje de las matemáticaslentamente que ésta se mueva. Pues para cuando Aquiles haya alcanzado la posición inicial de la tortuga, ésta habrá avanzado alguna distancia aunque sea pequeña, y cuando Aquiles haya recorrido esta distancia, la tortuga habrá avanzado algo más lejos, y así el proceso continúa indefinidamente, con el resultado de que el veloz Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga”.

No es la única paradoja de Zenón que trata, ya que se refiere en el poema “Cosas” del libro El oro de los tigres al

“Instante en que la flecha del eleata
Inmóvil en el aire da en el blanco”

“En la Flecha sostiene Zenón que un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo, y que lo que siempre ocupa un lugar igual a sí mismo no puede estar en movimiento; por lo tanto, la flecha está en reposo en todos los ionstantes durante su vuelo, luego su movimiento no es más que una ilusión”.

Quienquiera saber la paradoja del Estadio que consulte a Carl B. Boyer,(Historia de la matemática, Alianza Universidad) pags. 109 y 110. Con lo expuesto ya tenemos bastante para lo que me interesa en este caso.

Borges da una solución a la segunda paradoja de Zenón. Suponiendo que Aquiles está a 10 metros de la tortuga y que ésta avanza 10 veces más lento que Aquiles, Aquiles avanza 10 metros, la tortuga un metro. Aquiles avanza un metro, la tortuga la décima parte de un metro. Aquiles avanza la décima parte de un metro, la tortuga avanza un centímetro. La solución, es decir, el punto en que Aquiles alcanza a la tortuga es la suma de la serie 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000, es decir 1,1111111111...

Borges relaciona la crítica aristotélica al argumento de Zenón con su “argumento del tercer hombre”.

“Aristóteles interroga si los muchos hombre y el Hombre ––los individuos temporales y el Arquetipo–– tienen atributos comunes. Es notorio que sí; tienen los atributos generales de la humanidad. En ese caso, afirma Aristóteles, habrá que postular otro arquetipo que los abarque a todos y después un cuarto”

Borges atribuye a un tal Patricio de Azcárate esta versión, quizá más clara:

“Si lo que se afirma de muchas cosas a la vez es un ser aparte, distinto de las cosas que se afirma (y esto es lo que pretenden los platonianos), es preciso que haya un tercer hombre. Es una denominación que se aplica a los individuos y a la idea. Hay, pues, un tercer hombre distinto de los hombres particulares y de la idea. Hay al mismo tiempo un cuarto que estará en la misma relación con éste y con la idea de los hombres particulares; después un quinto y así hasta el infinito”

Éste argumento, que puede parecer un tanto sofisticado y hasta traído por los pelos se parece a una nueva paradoja que inventará Lewis Carrol, una nueva variación sobre el tema de Aquiles y la tortuga. Douglas Hoftstadter dedicará una parte de su libro tanto a la paradoja original de Zenón como a la de Lewis Carrol. De hecho, buena parte de su libro consiste en supuestos diálogos de Aquiles y la tortuga sobre temas de filosofía o de la matemática moderna. Curiosamente, Borges, en su libro, cita también la paradoja de Lewis Carrol. La Enciclopedia Oxford de Filosofía es poco misericordiosa con Lewis Carrol:

“Llegado en las postrimerías del agonizante programa de la lógica aristotélica, sus contribuciones a la lógica formal son inevitablemente insignificantes, residiendo su único valor perdurable en el testimonio de su inimitable talento para diseñar silogismos extraordinarios. El artículo filosóficamente más importante de Carrol es característicamente el original y engañosamente luminoso “What the tortoise said to Achiles” [Lo que la tortuga le dijo a Aquiles} publicado en Mind (1895). En él plantea un serio problema acerca de la epistemología de la inferencia válida, demostrando que la aceptación de una regla de inferencia no puede ser identificada con la aceptación de una proposición condicional”.

El diálogo es, efectivamente, típico de Lewis Carrol, tanto que casi podría aparecer en Alicia en en el país de las maravillas. Empieza con Aquiles subido en el caparazón de la tiortuga después de haber completado su carrera. El diálogo comienza con el planteamiento de dos premisas y una conclusión

A)Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
B)Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
Z)Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.

Entonces, para demostrar z, la tortuga alega que es necesario aceptar primero una nueva premisa.

C)Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.

Pero si el hecho de que A , B y C sean verdaderas hace verdadero Z, la tortuga añade que antes de hacer la inferencia se debe presuponerAvatar lo siguiente:

D) Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.

Pero antes de admitir esto habría que admitir otra proposición:

E)Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera.

La tortuga añade “Hasta que yo haya admitido eso es claro que no tengo por qué admitir Z. De modo que se trata de un paso totalmente necesario. ¿Lo ve usted?”

Como se puede observar, la paradoja se parece mucho a la paradoja aristotélica mencionada por Borges y, en este contexto, no es extraño que el argentino citara la de Lewis Carrol.

Otro autor que habla de las paradojas de Zenón es Keith Devlin en su libro El lenguaje de las matemáticas. Hablando de la paradoja, Keith Devlin dice que

“el rompecabezas de Zenón es una paradoja genuina si se considera el espacio como atómico, consistente en una multiplicidad de puntos adyacentes, y el tiempo como formado por una sucesión de instantes discretos”.

Me parece dudoso que sea una “paradoja genuina”, si por esto se entiende una contradicción real. En el mundo real, Aquiles no tiene ningún problema para alcanzar a la tortuga. Además, el tiempo y el espacio podrían ser discretos, No está nada claro que no haya una unidad mínima de materia. Otra cosa es que para explicar el movimiento en el mundo real nos basta con la idealización de los llamados números “reales”.

Keith Devlin utiliza para refutar la paradoja de Aquiles y la tortuga la misma serie infinita de Borges.

S = 10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...

Pero añade la idea de multiplicar la serie por 10.

10 S = 100 +10 +1/10 +1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + 1/100.000...

A continuación hace la operación siguiente:

“Si ahora se resta la primera identidad de esta segunda, todos los términos de la parte de la derecha se cancelan por pares, con excepción del 100 inicial de la segunda serie”

Devlin llega al mismo resultado que habíamos obtenido más atrás mediante las siguientes operaciones:

10 S – S = 100
9S = 100
S= 100/9 = 11 1/9

Que coincide con el resultado que dábamos más arriba ya que 100/9 = 11.1111111111...

La teoría es una de las más fértiles ideas del pensamiento humano. En términos de cálculo infinitesimal, la paradoja de Zenón es, simplemente, la de una serie infinita de números cuya suma es finita (una serie convergente). Los descubrimientos de Leibniz y Newton (y más tarde Cauchy y Weierstrass) hacen que ya no nos maraville esta antigua paradoja. Cuando calculamos una integral, dividimos el área bajo una curva en infinitos rectángulos. El infinito, que alguna vez estremeció a los filósofos, hoy sólo nos sirve como un artificio del cálculo.

Prada: anatomía de un "genio"

2009-09-26T11:50:00.000-07:00

En los últimos años ha cobrado importancia en el mundo del periodismo la pluma de Juan Manuel de Prada. El mérito de Prada consiste en que es capaz de explicar en prosa brillante los conceptos más absurdos.

Prada llamó la atención del mundillo literario con un libro llamado Coños (no es que sea muy original, ya Gómez de la Serna había escrito un libro llamado Senos).

Ahora bien,en un momento dado, Prada se da cuenta de que el hedonismo no es original, que el 90% de escritores en el mercado son hedonistas. Y, como encima, su prosa (la de Prada) es más aburrida que un sermón de Monseñor Setién, el joven escritor decide cambiar de acera. En vez de defender el hedonismo, y hacer prosa combativa "de izquierdas" (por llamarlo de algún modo) se dedica a hacer todo lo contrario: se convierte en fundamentalista, se dedica a denunciar a la generación del 68, etc. Y el resultado es todo un éxito ¡Ahora vende muchos más libros que antes!

Un día, camino de Damasco, Prada se descubre cristiano ¡Y qué cristiano!: defiende el creacionismo, ataca la teoría de Darwin, en fin, adopta todas las posturas de los cristianos conservadores y de la derecha radical.

Ortega, para mofarse de Baroja, dijo que su novela Aurora roja era un manual de derecho político Yo también diré del libro de Prada que es un manual de derecho político. Pero no lo digo porque sea aburridísimo (que lo es). Yo, a diferencia de Ortega, lo digo en serio. Bien, ¿y cuál es la postura que defiende el manual...el libro de Prada? Bien, es un iusnaturalismo católico.

"Me lo explique" que diría Macario. La postura de Prada se resume así: "Existe un derecho natural, de origen divino" (no se sabe bien cuando entregó Dios estos preceptos de derecho natural: quizás lo entregó a Moisés en el Sinaí).

Consecuente con esta opinión, Prada apoya sus posturas, en muchos casos, en pasajes de la Biblia. (Desde luego, cada uno es muy libre de seguir las ideas que quiera: la Biblia o El capital, Voltaire o Adam Smith, etc.)

Pero ¿por qué deberíamos seguir las enseñanzas de la Biblia? Después de todo: ¿quién dice que la Biblia es palabra de Dios? ¿quien nos lo garantiza? Lo curioso del tema es que quien dice esto es...la propia Biblia.

¿Habrá alguien que no se dé cuenta de que aquí hay un problema? es lo que se suele llamar "círculo de fundamentación".

Ando lejos de querer que los creyentes abandonen su fe. Que sigan ellos con su fe, y que me dejen a mí tener la mía.

Pero si (como yo creo) no se puede demostrar la existencia de Dios, o la verdad de la Biblia, no veo porque habría que aceptar las posturas de Prada, y no otras (socialdemócratas, liberales o lo que sea). Igualmente, las posturas creacionistas de Prada se basan en sus personales creencias, y no en ningún dato científico.

Algún otro día seguiré tratando de estos temas. De momento lo dejo aquí.

La utilidad del argumento diagonal

2009-08-09T10:35:00.000-07:00

El argumento diagonal de Cantor es conocido de todos los matemáticos, y de gran parte de la gente que se dedica a disciplinas afines: física, ingeniería, etc.

En primer lugar expondré el argumento ee Cantor, y luego me dedicaré a discutir su utilidad

Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.

0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766

Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números

El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).

Por muy esotérico que parezca el argumento de Cantor, lo cierto es que se utiliza con gran frecuencia en disciplinas como la lógica y la teoría de computación.

Leyendo librops como Computability de Cutland, Lógica para matemáticos de A. G: Hamilton, El desarrollo de la lógica de los Kneale,o incluso el libro de divulgación Gödel, Escher, Bach de Hofstadter, uno se da cuenta de la ubicuidad de las demostraciones de tipo diagonal.

Por ejemplo la demostración de que existen funciones que no son recursivas primitivas, o la demostración de que el conjunto de las funciones recursivas totales no es recursivamente enumerable.

Lo que es más, hay teoremas importantes, como el problema de la detención de la máquina de Turing o el teorema de Gödel ¡que también usan argumentos de tipo diagonal!

La paradoja de Russell también utiliza una especie método diagonal (aunque en este caso, el carácter diagonal del razonamiento resulta, seguramente, menos obvio).

Otras demostraciones, como la existencia de números reales no computables (debida a Turing) o la demostración de que existen gramáticas que van más allá de las que producen los autómatas finitos, si bien no utilizan el método diagonal ¡utilizan el conceptpo de conjunto no numerable de Cantor!

Así, resulta sorprendente, el hecho de que teorías matemáticas tan esotéricas como las de Cantor tengan una aplicación en campos mucho más prácticos como la teoría de computación y la informática.

(La teoría de Cantor ha sido extremadamente controvertida. No obstante, si prescindiéramos de ella, habría que amputar una parte muy importante de los hallazgos de la lógica a lo largo del siglo XX).

Las matemáticas y "Los crímenes de Oxford"

2009-05-18T14:47:00.000-07:00

La fenomenal película Los crímenes de Oxford trata (entre otras cosas) el tema de las series matemáticas. Los tests para medir el CI suelen utilizar series de números.

Por ejemplo, ¿cuál es el siguiente término de esta serie?

1, 2.....

Fácil, ¿no? la mayoría de nosotros propondría 1, 2, 3 (la serie aritmética). Ahora bien, también podría ser 1, 2, 4 (la serie geométrica). Y también podría ser 1, 2, 6 (esta serie se calcula a partir del factorial, 1!, 2!, 3!, es decir 1, 1·2, 1·2·3...). También podríamos tener la serie 1, 2, 9 (1⁰,2¹, 3²...), , o la serie 1, 2, 5 (1, 1+1, 1+2+2,1+3+3+3,...) etc.

De hecho, existe un método, la intepolación de Lagrange, por el cual, para n puntos, siempre se puede escribir una ecuación que pase por esos n puntos.

¿Cómo distinguir, entonces, si un conjunto de n puntos obedecen a una ley o están situados al azar?

Gregory Chaitin escribió lo siguiente:

"If the law has to be extremely complicated[...]then the points are placed at random,[...] not in accordance with a scientific law. But if the law is simple, then it's a genuine law of nature, we are not fooling ourselves".

Conviene tener en cuenta esta teoría de Gregory Chaitin.

Dentro de las series de números naturales, uno de los subconjuntos es la de las series módulo 10. Para obtener las series módulo 10, cojemos las series normales, y, al 15 lo convertimos en 5, al 20 en 0, al 134 en 4, etc.

Como las series módulo 10, constan de un número infinito de términos, cada serie módulo 10 es biyectable con un número real.

Pero los números reales entre 0 y 1 son no computables con probabilidad 1. Es decir que la mayoría de los reales entre 0 y 1 no son computables. Sólo un número infinitesimal de los reales entre 0 y 1 son computables.

Por tanto, de entre las series infinitas de números naturales, sólo una cantidad infinitesimal de ellas es computable. La mayoría de series de números reales son aleatorias, en el sentido que da Chaitin a esta palabra.

Keynes y la crisis de la bolsa

2008-11-22T09:05:00.000-08:00

Hay un pasaje muy bueno de Keynes sobre el tema de la especulación en la bolsa.

Estas tendencias son una consecuencia difícilmente eludible de que hayamos logrado organizar unos mercados de inversiones "líquidos". Generalmente se admite que, en interés público, los casinos deben ser inaccesibles y costosos, y tal vez eso mismo sea cierto en el caso de las bolsas de valores. El hecho de que los pecaos de la bolsa de valores de Londres sean menos que los de Wall Street, quizá no se deba tanto a las diferencias en el carácter nacional, como a la circunstancia de que, para el inglés de tipo medio, Throgmorton Street es inaccesible y muy costosa en comparación con Wall Street para el mismo tipo de norteamericano. La comisión del corredor de bolsa, los fuertes cargos de los comisionistas y el pesado impuesto sobre operaciones o traslado de títulos que se paga a la Tesorería, gastos todos estos que acompañan a las operaciones en la bolsa de Londres reducen la liquidez del mercado[...] lo bastante para eliminar gran parte e las características de Wall Street. La implantación de un impuesto fuerte sobre todas las operaciones de compraventa podría ser las mejor reforma disponible con el objeto de mitigar en Estados Unidos el predominio de la especulación sobre la empresa.

El espectáculo de los mercados de inversión modernos me ha llevado algunas veces a concluir que la compra de una inversión debe ser permanente e indisoluble, como el matrimonio, excepto por motivo de muerte o de otra causa grave, y esto será un remedio útil para nuestros males contemporáneos; porque tal cosa forzaría a los inversionistas a dirigir su atención solamente a las oportunidades a largo plazo; pero un pequeño examen de este recurso nos lleva a un dilema, y nos muestra cómo la liquidez de los mercados de inversión a menudo facilita, aunque algunas veces impide, el curso de nuevas inversiones. Porque el hecho de que cada inversionista individual se haga la ilusión de que su compromiso es "líquido" (aunque esto no puede ser cierto para todos) calma sus nervios y lo anima mucho más a correr el riesgo

La idea más interesante de este pasaje es la siguiente: todos los inversionistas creen que podrían convertir su inversión en líquido. Pero esto no es posible.

Si todo el mundo quiere vender sus acciones la bolsa se desploma. Si todo el mundo quiere sacar el dinero de sus depósitos, los bancos se hundirán.

El capitalismo sobrevive porque la gente tiene la "ilusión" de la liquidez.

El capitalismo funciona mientras la gente tiene confianza en el capitalismo, y en el funcionamiento de los mercados.

En este sentido, el capitalismo no puede resistir sin cierto carácter "especulativo".

Todo el tinglado está basado en que la gente no va a vender todas sus acciones y a sacar todo el dinero de sus cuentas al grito de "maricón el último".

Pero estas cosas mejor no contarlas a nadie. Porque, como la gente pierda confianza en el capitalismo, nos vamos todos a la porra.

Economía y ecología

2008-06-24T09:39:00.000-07:00

Continuamente oímos hablar del mal que hace el hombre al entorno natural. A veces surgen autores que tratan el tema de una forma optimista, como lo hace Bjorn Lomborg en su libro "El ecologista escéptico".

Sin embargo los optimistas olvidan dos factores:

1) que el crecimiento de la población, se ha acelerado de tal manera en los últimos siglos que ha pasado de ser lineal a exponencial.

2) que la gente demanda, en todas partes, cada vez más bienes de consumo.

Como la población sigue creciendo, y como el número de objetos de consumo que tiende a desear cada persona es virtualmente infinito, no hace falta ser un genio para darse cuenta de que caminamos hacia la catástrofe.

Yo creo que hay dos posibilidades:

a) que acabemos comiéndonos a los humanos

b) un gobierno mundial que controle la natalidad y se encargue de que se produzcan las cosas verdaderamente necesarias, en vez de anegarnos en un mar de mierda (con perdón).

Mucha gente objetará que el gobierno mundial es algo utópico. Bien, puede ser. Pero alguien como Bertrand Russell (que no puede ser reputado de imbécil) proponía el gobierno mundial para salvarnos de la guerra nuclear. Hoy, con la crisis ecológica, un gobierno mundial sería aún más necesario.

Lo cierto es que gran parte de las cosas que se consumen son basura. Había una serie británica de los años 70, "Caída y auge de Reginald Perrin" en que un tío se hacía rico vendiendo basura.

Libros como la "Teoría de la clase ociosa" de Veblen o "La sociedad opulenta" de Galbraith sostienen que el capitalismo se dedica a producir un montón de bienes, muchos de los cuales son inútiles, pero sirven para demostrar el status superior de quien los consume.

Si no hay un goierno mundial, al menos debería haber un acuetdo mundial para controlar la natalidad y la producción

Hay quien cree que a mayor población, mayor número de productores,y por tanto mayor prosperidad.
Bien. Eso sería cierto si los recursos o materias primas fueran infinitos.

Lo curioso es que la mayoría de economistas razonan como si los recursos fueran inagotables.

Cuando alguien (como Galbraith) discrepa de la opinión general, lo tachan de hereje, y ni siquiera lo consideran economista.

La única forma de evitar el desastre es limitar la natalidad y mantener la producción en los límites de lo sostenible. Deforestar el Amazonia para producir libros tipo El código Da Vinci o discos como los de operación triunfo o Britney Spears es un comportamiento completamente estúpido. El consumo compulsivo nos incita a consumir más, aun si lo que consumimos es únicamente basura.

Intuición matemática

2008-01-20T00:53:00.000-08:00

Este blog no pretende exponer descubrimientos ni novedades en las matemáticas. He de reconocer que sólo he cursado unas pocas asignaturas de matemáticas en la universidad, principalmente de lógica y álgebra. A diferencia de Poincaré o Penrose yo no puedo explicar cómo se hacen descubrimientos en matemáticas, porque yo no he hecho ninguno. Sin embargo, contaré algunas experiencias psicológicas de mis pequeños aciertos en mate, aunque sea descubrir mediterráneos.

Un día, estudiábamos la aplicación que iba de un vector de tres números a uno de dos: de (a, b, c) a (a, b),. La profesora preguntó si ésta función tenía inversa. Yo al principio dije “Sí”. pero la profesora dijo: “¿Estás seguro?”. Yo lo pensé mejor y dije: “No, no . Porque cada imagen tiene más de una antiimagen (por ejemplo (1,2,1) y (1,2,2) tendrían como antiimagen (1,2).

Esta idea de dar la vuelta ala aplicación la hice, mentalmente, de una manera “espacial”, por decirlo así, ya que no escribí nada, sino que improbisé, cambiando de opinión en apenas unos segundos.

En ocasiones, aciertos de este tipo me han servido para constatar que no estaba perdido en clase (o que, si acaso, otros estaban mucho más perdidos que yo).

Otro acierto que me ayudó a coger confianza fue una vez que la profesora de Filosofía y Matemáticas preguntó qué cosa habíamos estudiado que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo respondí que era la lógica proposicional, y resultó que estaba en lo cierto

Expondré otra ocasión en que descubrí un isomorfismo parecido. Esto ocurrió en los entrañables Foros del Rincón Matemático, un sitio de internet donde he encontrado gente con muy altos conocimientos de matemáticas (a los que agradezco que tengan además paciencia con mi ignorancia).En dicho foro , un usuario llamado Lau Luna propuso un rompecabezas:

“Un árbol binario completo parte de un nudo del que salen dos ramas; después cada una de estas se bifurca en un nuevo nudo, y así infinitamente. Del primer nudo parten dos ramas nuevas, de cada uno de los demás parte una sola rama nueva y continúa una rama antigua.

“El problema es que parece haber una demostración de que el conjunto de las ramas es no numerable y una demostración de que es numerable.

“PRIMERO. Cada rama contiene un número infinito de elecciones entre izquierda (I) y derecha (D), de manera que las ramas pueden biyectarse con las secuencias binarias infinitas del tipo (i,d,i,d,d,i,i,i...) Es claro que el conjunto de tales secuencias es no numerable, de hecho es biyectable con P(N), puesto que cada secuencia define un único conjunto de naturales y cada conjunto de naturales está definido por una única secuencia: supongamos que 'I' significa 'no está' y 'D' significa 'sí está'; entonces la secuencia que define al conjunto de los naturales mayores que 3 es (i,i,i,i,d,d,d,d,d...). En consecuencia, el conjunto de las ramas es no numerable.

SEGUNDO. Hay una forma sencilla de numerar las ramas: de izquierda a derecha y de arriba a abajo; para ver esto es útil dibujar una parte inicial del árbol, cosa que yo no puedo hacer aquí. Luego el conjunto de las ramas es numerable”.

"

Poco después a mí se me ocurrió un rompecabezas parecido. Aunque no terminaba de entender el problema planteado por Lau Luna, de algún modo lo “visualicé”, y propuse lo que me parecía un juego parecido: considerar los números reales entre 0 y 1, puestos en base binaria:

0'000
0,100
0,010
0,110
0,001
0,101
0,011
0,111
.......

¿No se podrían enumerar en este orden todos los números reales entre 0 y 1? Se podría objetar que no podemos llegar a conseguir un número irracional, puesto que tiene una expresión decimal infinita. Pero, según esta objeción, tampoco podríamos encontrar un conjunto infinito numerable simplemente con el método de incrementar en 1 cadanúmero natural a partir de 0.

Un moderador El Manco contestó lo siguiente:

“El ejemplo es excelente porque es exactamente el mismo que el de las ramas de LauLuna expresado de otra forma. Pero NO, en tu lista NO están TODOS los números reales ni mucho menos, sino SOLO los que tienen una expresión decimal finita en binario ("muy pocos")”.

De algún modo vago, mi intuición espacial había captado el juego de Lau Luna, y lo había transformado en un problema numérico. Creo que encontrar este tipo de isomorfismos es una característica fundamental de los descubrimientos matemáticos (si bien mis isomorfismos tienen un nivel de primaria en comparación con los que descubren los matemáticos).

La máquina de componer música

2007-11-06T09:16:00.000-08:00

Toda obra de arte es una combinación de elementos discretos. En el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel” aparece la idea de una biblioteca de todos los libros posibles, bajo la forma de variaciones con repetición de todos los signos del alfabeto.

Todos los cuadros se pueden reducir a una colección de píxels coloreados, q ue puede codificarse mediante números enteros.

Igualmente, una obra musical puede reducirse a una curva continua, o a un conjunto discreto de unos y ceros codificados en un CD. Una vez, mi vana imaginación inventó la biblioteca de Bach que contenía todos los discos posibles.

En una entrada anterior me preguntaba si se podría hallar por azar en la biblioteca el Canon de Pachelbel. La respuesta es que no. Martin Gardner se pregunta si puede existior un algoritmo que discrimine cuales son las grandes composiciones.

En 1792 se publicó un libro atribuido a Mozart donde se mostraba un método de componer mediante tiradas de dados tantos valses como se quieran. El sistema permite componer 11^14 valses de inequívoco sabor mozartiano.

Con losd ordenadores actuales se puede escribir obras musicales en el estilo de Chopin, aunque probablemente no serán obra maestras. Paradójicamente, resulta más difícil comnponer una melodía popular con gancho. Como dice Martin Gardner "La música contemporámnea está tan llena “de aleatoriedad y disonancia que uno duda si repetir lo que dijera Mark Twain de la música de Wagner: es mejor de lo que suena."

Se han construido programas de ordenador que producen combinatoriamente textos de filosofía postmoderna carentes del menor sentido.

Todavía esperamos que un ordenador produzca algo que pueda competir con Yesterday o con Angie.

Las máquinas de Turing y el infinito

2007-07-08T09:45:00.000-07:00

Existen conjuntos de números que nunca podrán ser generados por una máquina de Turing. Por ejemplo, los subconjuntos de N. El conjunto Partes de N es no numerable mientras que el conjunto de funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo, numerable.

Existen funciones que nunca podremos calcular, por muy avanzados que sean los computadores que usemos.

Las funciones que pueden imaginarse son funciones de N a N. Ahora bien, imaginemos todas las funciones de N a {0,1}. Es evidente que son menos que las funciones de N a N.

Para cada subconjunto X de N hay una función característica:

f(n)=1 si n pertenece a X
f(n)=0 si n no pertenece a X.

Pero los subconjuntos de N forman un conjunto no numerable. Y el conjunto de las funciones computables por máquina de Turing es, a lo sumo numerable. Por tanto, existen funciones que no pueden ser computables.

Por último, existen números reales que nunca podremos generar mediante máquinas de Turing. Veamos, un número real como Pi es computable si existe una máquina de Turing tal que cuando el input es 0 genera la parte entera del número, cuando el input es 1 genera la primera cifra decimal del número, cuando el input es 2 genera la segunda cifra decimal del número, etc. Bien, pues como el número de máquinas de Turing es, a lo sumo, numerable, existen infinitos reales que no son computables.

Todas estas pruebas se basan en la teoría de los números transfinitos de Cantor. Uno de los problemas de la teoría de los números transfinitos es que no es falsable. Por ejemplo, nunca vamos a conseguir un número infinito numerable de máquinas de Turing. Por lo que nunca vamos a comprobar si las pruebas que usan números transfinitos son reales o son una fantasmagoría.

"Caos y orden" de Escohotado

2007-06-19T21:45:00.000-07:00

Publico esta reseña de un libro ya viejo por dos motivos. El primero es que el libro me parece ejemplificador de cierta actitud de ignorancia y hostilidad hacia la ciencia. El segundo que hace tiempo publiqué una versión reducida de este artículo en una revista, versión de la que no me siento demasiado satisfecho. Con el fin de corregir aquella torpe "versión reducida", publico en mi blog una edición más amplia, en la que tengo el espacio suficiente para discutir con mayor amplitud el libro en sus virtudes y defectos.

1.

La teoría del caos podría definirse en pocas palabras diciendo que en algunos procesos existe una enorme sensibilidad a las condiciones iniciales.

En mi opinión se confunde a los lectores cuando se hace equivaler el caos a aleatoriedad o indeterminismo. Indeterminismo, propiamente dicho, se da en el mundo microscópico de la física cuántica. Pero no está nada claro que este indeterminismo a escala subatómica nos afecte a nosotros (del mismo modo que no afecta excesivamente a la trayectoria de la Tierra la masa de un piojo). Si no es de indeterminismo, ¿de qué se trata entonces? Yo lo llamaría intratabilidad. En teoría de la computación se dice que es intratable un problema tan complejo que el ordenador no tiene capacidad de procesarlo. Muchos problemas colapsarían hasta los más potentes ordenadores. Por ejemplo, un modelo del clima que partiera de la situación de todas y cada una de las moléculas de la atmósfera es un ejemplo de problema intratable.

Para hacer más tratables este tipo de problemas se hace uso de la estadística, con lo que se simplifica mucho, reduciendo el comportamiento independiente de miles de millones de moléculas a una serie de pautas a gran escala. Sin embargo, los modelos a gran escala no pueden captar los pequeños detalles. Y estos pequeños detalles (paradigmáticamente, la mariposa que mueve sus alas en Australia) hacen que, a largo plazo, el modelo predictivo falle. Ésta es la razón por la que los pronósticos meteorológicos para un futuro más allá de cinco días tienden a fallar.

Muchos libros se han escrito en los últimos años acerca del caos. Muchos de ellos son honestos, inteligentes, dan exposiciones sencillas y resultan útiles para entender qué demonios es esa cosa del “caos”.

Quien se acerque al libro de Escohotado con el objetivo de aprender un poco sobre qué es el caos, seguramente, saldrá decepcionado. En general este libro mezcla un montón de cosas que no tienen nada que ver, la teoría del caos y la física cuántica, la crisis de la mecánica newtoniana y la crisis de las sociedades autoritarias, etc.

De entre todas estas mezclas y confusiones, una que me parece fundamental es la confusión entre los aspectos socio-económicos de la ciencia y sus aspectos puramente teóricos.

Dicho con un ejemplo sencillo: un sistema totalitario que (como el imaginado por Orwell en 1984), dedicara una gran inversión a convencer a la gente de que “2 + 2 = 5” quizá podría convencer a alguien de que eso es una verdad científica. Pero, aun así, el que juntara dos manzanas con otras dos manzanas, seguiría teniendo cuatro manzanas.

Escohotado coge ideas de aquí y de allá, con frecuencia alude a observaciones de científicos y, tal vez, cree que con eso está asegurado el rigor.

Cuando dos científicos descalificaron su libro en dos reseñas hostiles, Escohotado se justificó alegando que todo lo que escribe está tomado de autoridades en la materia. Bien, puede ser, pero con un montón de fragmentos de autoridades científicas adecuadamente sacados de contexto y distribuidos en un collage habilidoso se puede construir una teoría irracional, del mismo modo que al alejarse de algunos cuadros de Dalí, la Madonna se transforma en una oreja, o Gala en Abraham Lincoln.

Pero además, parece como si Escohotado ignorara que la ciencia no se hace apelando a autoridades. El científico estudia los fundamentos de la ciencia en un manual y, luego, si se trata de un científico empírico, comprueba lo que ha estudiado mediante prácticas en un laboratorio. Si es un matemático, simplemente, aprende a argumentar de forma lógica a partir de premisas autoevidentes.

Pero Escohotado no hace nada de esto, sino que expone los manjares precocinados de diversos científicos, y los mezcla en un singular plato combinado de producción propia. Es como si cogiera algo de Arzak, otro poco de Berasategui, lo de más allá de Arguiñano, todo mezclado, metido en el microondas y añadiéndole una salsa propia, made in Escohotado.

Por otro lado, las ideas que un científico expone en un libro divulgativo (a diferencia de las que expone en revistas especializadas, dirigidas exclusivamente a sus colegas) son debidamente simplificadas y, con frecuencia, reducidas a un slogan[1].

Escohotado mezcla un montón de cosas, utilizando el caos más como un slogan que como un concepto bien definido. El libro de Escohotado, no sé si define bien el caos, pero, acaso, lo ejemplifica.

2.

Uno de las ideas fundamentales de Escohotado es el paralelismo entre la ciencia y la sociedad. A la física newtoniana corresponde el orden teocrático. A la teoría del caos, el orden democrático.

Esto esconde una falacia. A diferencia de la física cuántica, la teoría del caos no se opone al determinismo de la física newtoniana. El comportamiento del clima o de un fluido son fenómenos explicables en términos de física newtoniana, por más que sean caóticos. Como dice Ian Stewart “el caos es fundamentalmente un concepto de mecánica clásica”.

El caos no es un paradigma alternativo a la mecánica de Newton, sino una extensión de la mecánica newtoniana a fenómenos complejos.

Sin embargo, lo fundamental para Escohotado no es la argumentación científica, sino el aspecto político. Como hemos dicho, Escohotado ve una correlación entre el triunfo la teoría del caos y el auge de los regímenes democráticos.

Escohotado parte de una idea, en algunos aspectos, muy sugestiva: la de que, en ocasiones, a partir de un estado desordenado puede surgir orden.

Esta idea me parece interesante, y en otros lugares la he defendido con el ejemplo de Thomas Huxley, según el cual un mono escribiendo a máquina durante suficiente tiempo acabaría (por puro azar) por escribir el Salmo 24.

Considero necesario insistir en que, por muy raras que sean estas ocasiones, existen momentos en que una estructura compleja surge del puro azar. Sin ir más lejos, la vida.

Sin embargo, Escohotado no utiliza la idea de que en ocasiones surge orden a partir del azar como argumento en una polémica con los creacionistas, sino que lo utiliza para defender una especie de anarcocapitalismo.

El argumento de Escohotado viene a ser el siguiente: el azar siempre crea orden, por tanto, el mercado es siempre superior al control estatal.

Esto es objetable. Por un lado, el azar no siempre crea orden. La mayoría de lo que escribe un mono son series de letras sin ningún sentido.

Por otro lado, el mercado sin una organización estatal, nos llevaría a una lucha de organizaciones mafiosas. Es lo mismo que propugna la trilogía de El padrino de Coppola. Como el estado es corrupto por naturaleza debe dejarse a los mafiosos que arreglen sus asuntos entre ellos.

Por otro lado, sin leyes que la regulen, la competencia por los recursos naturales sería terrible, y acabarían por expoliarse todas las fuentes de riqueza natural.

3.

Lo más interesante del libro de Escohotado son los capítulos dedicados a la economía. Creo que si el libro se hubiera centrado exclusivamente en esto hubiera sido un buen libro.

Adorno decía de Spengler que parecía ansioso por liquidar su capital de conocimientos humanísticos con el objeto de invertir en la industria pesada. Algo parecido podría decirse de Escohotado, salvo que éste donde invertiría sería en las nuevas tecnologías.

Desde la creación de la Sociedad Anónima como empresa capaz de beneficios infinitos y de pérdidas limitadas, hasta las empresas compradas de forma que el pago de la compra se efectúa hipotecando la propia empresa, el libro de Escohotado llama la atención sobre una serie de puntos escasamente conocidos del mundo económico, que resulta muy interesante tener en cuenta.

En contraste con las austeras categorías de los científicos y los políticos (que sufren constantes y demoledoras críticas por parte de Escohotado), la fauna de los tiburones de la bolsa y los especuladores financieros tiene toda su simpatía. Esta postura lo emparenta, una vez más, con los anarcocapitalistas, que buscan la desaparición total del estado, con el objeto de que las empresas hagan sus negocios sin ningún problema.

Evidentemente, Escohotado es un anarquista. Pero los viejos anarquistas (véase el ejemplo de la Escuela Moderna de Ferrer y Guardia) querían sustituir la oscuridad de la superstición por las luces de la ciencia y el progreso.

En cambio, Escohotado ataca a la ciencia como si ésta fuera autoritaria, y no precisamente la que nos iba a liberar del oscurantismo (como creyeron los ilustrados). No se trata de que Escohotado tenga miedo a que los avances de la biogenética produzcan razas inferiores o superiores (lo que, al fin y al cabo, sería razonable). Se trata de otra cosa.

Escohotado protesta contra un supuesto "autoritarismo" de la ciencia newtoniana. y cree encontrar en la teoría del caos, una salida democrática y libertaria (naturalmente, juzgar de esta manera la ciencia en términos políticos es una soberana estupidez).

Escohotado se centra en los aspectos más problemáticos de la ciencia. Por ejemplo, habla de una supuesta crisis de los fundamentos de las matemáticas, cuyo mayor ejemplo es, al parecer, la existencia de funciones continuas no diferenciables. Sin embargo, un historiador de la matemática como Carl Boyer no considera que la aparición de las funciones continuas no diferenciables supusiera una crisis del análisis matemático. Todo el periodo de Cauchy (que para Escohotado es de crisis total), para Boyer es de avance fructífero.

Con respecto al teorema de Gödel (que para Escohotado es la otra gran crisis de la matemática), Boyer encuentra que, pese a su importancia teórica, apenas ha tenido repercusiones en la matemática práctica de cada día.

En realidad, Escohotado ni siquiera se detiene demasiado en estas cosas. Despacha en dos líneas un tema como el teorema de Gödel, al que Douglas Hofstadter dedica casi 1.000 páginas. No importa: el lector queda asombrado de que el autor sepa tanto de tantas cosas diferentes. Mientras el lector sigue mudo de asombro, Escohotado ya ha pasado a la crítica de los juicios sintéticos a priori de Kant o al comportamiento de las partículas suspendidas en un fluido.

En resumen, me parece que el libro de Escohotado es (como ya han señalado otros de sus reseñadores) un ejemplo de impostura intelectual, que utiliza conceptos científicos, sin saber cómo ni para qué. Aunque el estilo es desenvuelto, la actitud de Escohotado le lleva a unos párrafos de absurda grandilocuencia, como cuando habla de “La sacrosanta casa del infalible profeta numérico”, para referirse a la ciencia.

Por otro lado, la insistencia en considerar que las leyes de la ciencia son tan arbitrarias como las leyes de, por ejemplo, una constitución, le lleva a un extremo relativismo que resulta indefendible.

[1] Puestos a hacer sociología de la ciencia (que tanto le gusta a Escohotado), yo diría que en algunos libros sobre el caos se trata de presentar esta teoría (de por sí importante) como más revolucionaria de lo que ya es.

El motivo es obvio: en la medida en que a un científico se le considere revolucionario y creador de un nuevo paradigma, mayor será su prestigio, y mayor será la dotación de sus proyectos de investigación.

De ahí la avalancha de propaganda sobre el caos, que da la impresión de que la ciencia está en el límite de la catástrofe, casi al borde de lo irracional.

Sin embargo, no creo que la teoría del caos sea tan innovadora, ya que ni siquiera es tan radical como la física cuántica (cuyo indeterminismo ha llevado a más de uno por caminos peligrosos).

La época nefanda que nos ha tocado vivir

2007-05-29T13:48:00.000-07:00

En los últimos tiempos, numerosos agoreros hablan de lo nefasta que es la educación de nuestra época. Se llega a decir que un bachiller de hace años sabía más que un licenciado de la época actual. Esto son grandes exageraciones.

Por otro lado, es evidente que el título universitario ha dejado de ser algo sólo accesible a los privilegiados. “[En 1975] el 69% de la población tenía sólo estudios primarios, el 12% estudios medios y no alcanzaba el 2% la proporción de quienes habían realizado estudios superiores” (Charles Powell, España en democracia, 1975-2000). Hoy en día, las estadísticas aireadas por los medios de comunicación dicen que el porcentaje de titulados universitarios entre 25 y 64 años estaría en España en torno al 25% y el porcentaje de estudiantes que inician estudios universitarios en las nuevas promociones está en torno al 40%. Es decir, ¡hay más titulados universitarios hoy que bachilleres hace 35 años!

Además, me parece muy dudoso que un bachiller del franquismo tuviera la excelencia que le atribuyen los que le cantan elegías. Quizás antes se hacían menos faltas de ortografías. Pero sólo hay que ver los documentales para ver lo engolado y ridículo de la retórica de los gobernantes e incluso muchos de los intelectuales de la época. Hay que decir que para 1972, la educación había avanzado mucho: tengo un libro de matemáticas de COU de editorial Bruño de ese año, y entonces ya se estudiaba la moderna teoría de conjuntos.

Actualmente, en primer curso de cualquier ingeniería se estudia no sólo teoría de conjuntos, sino estructuras algebraicas, matrices, espacios vectoriales y bastantes cosas más (normalmente en la asignatura de Álgebra). En los colegios, se estudia menos de teoría de conjuntos que en 1972 (quizás porque hoy día se considera poco pedagógica). Pero los ingenieros de hoy saben mucho más que los bachilleres de ayer (de eso no hay duda) e incluso probablemente que los ingenieros de ayer: muchas asignaturas, como la programación informática, entonces ni existían, y hoy son la clave del desarrollo tecnológico. Naturalmente, esto es debido mucho más al avance tecnológico que a las reformas educativas (en muchos casos inútiles y hasta contraproducentes).

Algunos dirán que el desastre educativo actual no se demuestra precisamente en las ciencias sino en las humanidades (antaño llamadas “letras”).

Véase una semblanza de lo que era el estudio de Filosofía en España en aquellos años.

“Quien, a diferencia de Víctor[Sánchez Zavala], cedía a una comprensible tentación y no iba a tomar apuntes a clase, podía sacar partido de exactamente tres títulos a lo largo de aquellos años. Eran éstos el manual de filosofía de Millán Puelles y el de historia de la filosofía de González Álvarez, catedráticos respectivamente de los cursos primero y segundo, comunes a todas las especialidades; luego, ya entre filósofos, la Filosofía del saber de don Leopoldo Eulogio Palacios, único catedrático de Lógica. De este último volumen tenemos los de entonces un recuerdo particularmente afectuoso, pese a que, por comparación con él, nos ha costado luego justipreciar a Monty Python. No vacile el lector en buscarlo por las bibliotecas. Allí encontrará inolvidables distinciones entre arte indumentaria y arte edificatoria, las dos destinadas a cubrir al hombre con distintos grados de rigidez, o pesquisas sobre la categoría ontológica que, con castiza pluma, se llamaba trastulo, bagatela o fruslería, ejemplificada por la muleta del torero. Hay mucho más, estoy seguro, y mejor todavía.

“Si esta era la lógica, la psicología y la antropología estaban ambas en manos de un señor Fagoaga y su hermano simétrico. Nada de libros en este caso. Se aprobaba la segunda materia mediante un examen tipo test que incluía preguntas del orden de ¿Cómo son los chinos?, para lo cual la única respuesta correcta era Laboriosos”. (Carlos Piera, “Alrededores de Víctor Sánchez de Zavala”, Revista de occidente nº 196, septiembre 1997, pags. 74-88).

El relato de Fernando Savater sobre la filosofía que se estudiaba en la época (Fernando Savater, Mira por donde. Autobiografía razonada) es igualmente demoledor: la única lógica que enseñaba el profesor titular de la Complutense era la tomista (si bien, el profesor sustituto era Alfredo Deaño, experto en lógica matemática que años después publicaría un exitoso manual).

Si esto era en Madrid, qué sería en las universidades de provincias (sólo que entonces había muy pocas facultades en provincias).

En comparación con el paupérrimo curriculum de la Filosofía al franquista modo, la que yo estudié entre 1995 y 1999 era un Gran Salto Adelante (por utilizar la metáfora del amigo Mao). Estudiábamos la lógica matemática (no la tomista) y hasta llegamos a dar el teorema de Gödel (y eso en una universidad de provincias, la UPV-EHU). Dábamos incluso una asignatura sobre álgebra y teoría de conjuntos (Filosofía y Matemáticas I) y otra sobre historia de la física cuántica. Estudiamos las corrientes más modernas del pensamiento humanista (como la semiótica) y también los filósofos modernos más pujantes (como Popper y Thomas Kuhn) además de los clásicos que se estudiaron siempre: Platón, Aristóteles, Kant…

En resumen. Puede que la enseñanza primaria y secundaria de hoy sea deficiente. Puede que mucha gente llegue a la universidad sin grandes instrumentos conceptuales. Puede (y puede ser una rémora para el país, sin duda). Pero, al menos, la educación superior se ha democratizado y, además, ha mejorado en muchos aspectos. Tenemos más universitarios y más preparados que nunca.

Pensamientos célebres

2007-05-27T12:11:00.000-07:00

"Desde que los matemáticos se han dedicado a estudiar mi teoría de la relatividad, he dejado de entenderla” (Albert Einstein)

"No se preocupen por sus dificultades con las matemáticas. Les aseguro que las mías son mayores" (Albert Einstein)

“Entre todas las virtudes de Dios destaca una: su inexistencia” (Abraham Magnus)

“El poder para legalizar un partido no es nada comparado con el poder de la Fuerza” (Darth Baader)

“A thing is obvious mathematically after you see it”(Carmichael)

“How dare we speak of the laws of chance? Is not chance the antithesis of all law?” (Bertrand Russell)

"El más pequeño de los números infinitos es el límite de los enteros finitos, aunque todos ellos estén a una distancia infinita de ese límite" (Bertrand Russell”)

“Las matemáticas pueden definirse como la disciplina en que nunca sabemos de qué hablamos ni si lo que decimos es verdad” (Bertrand Russell)

“Calculus required continuity, and continuity was supposed to require the infinitely little; but nobody could discover what the infinitely little might be” (Bertrand Russell)

La Biblioteca de Bach

2007-05-06T20:56:00.000-07:00

A imagen de "La Biblioteca de Babel" se me ha ocurrido muchas veces conjeturar otro objeto ideal, lo que llamo la Biblioteca de Juan Sebastián Bach. Ésta, que quizá deberíamos llamar “discoteca”, se compone de todos los sonidos susceptibles de ser grabados en un CD. Veamos: en primer lugar, una primera aproximación la tendríamos en todas las melodías posibles, pero además cada melodía podría ser tocada más alto o más bajo en la escala musical; además cada melodía puede ser tocada con distintos acompañamientos, puede ser cantada o tocada con diferentes instrumentos, si es cantada lo puede ser por personas con diferente timbre de voz, etc.

La tecnología antigua, de las cintas de cassette o de los discos de vinilo era analógica. Se grababan en el soporte unos ruidos procedentes de una fuente de sonido, y se reproducían al pasar por el radiocassette. Pero el sonido del compact disc no se reproduce analógicamente. El compact disc tiene toda la información sobre el sonido que reproduce en forma de unos y ceros. Pues bien, esto es lo que hace el CD: guarda la información en forma de bits, y luego la reproduce al producir sonidos de una determinada longitud de onda. Esto ha posibilitado que veamos la discoteca de Juan Sebastián Bach como una biblioteca: un número limitado de combinaciones de símbolos, en este caso unos y ceros, es decir de bits de información. Si supiéramos cuántas unidades de información, cuántos unos y ceros caben en un compact disc podrímos saber cuántos compact disc distintos era posible grabar. Tiene que ser una cifra astronómica. Imagínese, las canciones de Elvis Presley cantadas por el cantante de Pet Shop Boys, las sinfonías de Beethoven dirigidas por Von Karajan o por otro director famoso, yo qué sé, Luis Cobos, cualquier nueva variación responde a una distinta combinación de sonidos que queda registrada digitalmente. De hecho un compact disc es capaz de guardar 650 megabytes de información, es decir más de 650 millones de bytes. Como un byte son 8 bits, hay 2^5200.000.000 posibles compact disc.

El sonido responde a una determinada longitud de onda y amplitud, y eso es lo que almacena y reproduce el compact disc. Es como la diferencia entre un computador analógico y uno digital. El analógico registra señales continuas, mientras que el computador digital registra señales discretas. Por ejemplo, el computador digital no registra las variaciones de temperatura, sino que registra la temperatura en cada segundo, y sobre esa base, traza una línea que se parece a una línea de desarrollo en el tiempo. Las magnitudes o variables analógicas tienen un rango de variación continuo de valores, pudiendo tomar cualquier valor dentro de un intervalo definido en el campo de los números reales (números como 1,3456 o Pi). Las magnitudes o variables digitales sólo pueden tomar valores discretos, estando sus valores definidos dentro de intervalos fijados en el campo de los números enteros (1, 2, 3, -1...). La información analógica es tal que, se podría imaginar, es potencialmente infinita dado que el conjunto de los números reales es denso: entre dos números reales, por muy cerca que estén entre sí, siempre hay otro. Sin embargo, algún límite debe de haber, debido al tamaño de la aguja del tocadiscos, por ejemplo. Además, es probable que exista una unidad mínima de materia.

Dentro de los discos de la Biblioteca de Bach son más los dodecafónicos que los normales, ya que son más las combinaciones posibles entre los doce sonidos de la escala que entre las siete notas. Aún más son los discos ruidistas, ya que el caos de unos sonidos sin hilazón alguna es más probable, por motivos de entropía, que las combinaciones de los doce sonidos de la escala. Recuérdese que hablamos de todo sonido susceptible de ser grabado por un compact disc, desde un gorrión a una tormenta, pasando por los ruidos más informes que pueda generar un sintetizador, o los que encontramos recorriendo las radios al azar. Incluso hay fragmentos de la Biblioteca de Babel en la biblioteca de Bach, por ejemplo, varios capítulos del Quijote grabados en compact disc. El lector se habrá dado cuenta que la mayoría de los discos de la Biblioteca de Bach serán al estilo de John Cage, es decir, vanguardismo ruidista más que al estilo de Bach. Sin embargo, me gusta el nombre de biblioteca de Bach, porque Bach exploró el concepto de todas las variaciones posibles en casos como las variaciones Goldberg. Woody Allen decía en Stardust memories que creía que las variaciones Goldberg eran algo que habían hecho los señores Goldberg en la noche de bodas, es decir que las confundía con el Kamasutra otra forma de combinatoria, esta vez no sólo finita sino más bien exigua (Roland Barthes habla en uno de sus ensayos de la gramática sexual de Sade, que recuerda, también al Kamasutra).

Es difícil obtener una de las grandes composiciones de la Biblioteca de Bach por un método azaroso. Sería como ganar el premio de la lotería mil veces. ¿Cuántas posibilidades hay de obtener, a partir de una generación de sonidos al azar el de Canon de Pachelbel? Pues, igualmente difícil sería encontrar una composición audible entre todas las de la Biblioteca de Bach. ¿Es posible que todas las músicas de la biosfera (las especies animales y vegetales) hayan surgido del puro azar? Los creacionistas siguen pensando que no. Ellos argumentan que sería como un mono tecleando una máquina de escribir. Para el caso podríamos imaginar al mono aporreando un piano, o escribiendo sinfonías en un pentagrama.

Sin embargo, esta imagen (la de que un mono escribiendo a máquina acabaría por producir un texto inteligible) fue propuesta, curiosamente, por uno de los más feroces defensores del darwinismo: Thomas Huxley. La idea es que, dado suficiente tiempo, pueden aparecer estructuras complejas a partir del azar.

Los creacionistas argumentan que no hay tiempo suficiente para que se lleve a cabo la evolución. En realidad, la selección no se hace aleatoriamente, viajando al azar por el espacio del diseño, sino que existe la selección natural, que elige las copias más interesantes (o para ser exactos, descarta las más fallidas). Exactamente como el método hipotético-deductivo en la ciencia, el azar propone un montón de hipótesis y la naturaleza es la que descarta las más inútiles para la subsistencia. La naturaleza es el crítico literario que nos dice si esta copia es equivalente al Quijote o a Hamlet y debe replicarse, o es un libro que merece caer en el olvido.

OFF TOPIC: Fernando Márquez. Con él llegó la polémica

2007-05-04T19:13:00.000-07:00

Fernando Márquez fue un componente de Kaka de Luxe. Luego formó el grupo Paraíso (donde compuso la canción Para ti, a la que Diego A. Manrique llamó “himno de toda una generación”). Luego, con La Mode hizo el disco El eterno femenino, uno de los mejores de la historia del pop español. Recientemente se reeditó su disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80, que vio la luz por primera vez en el año 86

El Zurdo conserva su lengua viperina, y recuerda numerosas anécdotas de la movida. En una reciente entrevista en Onda Regional de Murcia contó cosas sobre Carlos Berlanga. En una época, después de compartir formación en Kaka de luxe, el Zurdo y Carlos Berlanga emprendieron el proyecto de Paraíso, pero aquello no llegó a fructificar. Según cuenta, el Zurdo, el concepto de Paraíso era de Carlos Berlanga. Berlanga quería hacer “una música muy acústica, un poco infantil”, y fue en esa línea que Fernando Márquez compuso una canción como Para ti, una de las canciones emblemáticas de la movida. El Zurdo contó en esa entrevista que Carlos Berlanga estaba enseñando a los músicos sus canciones. “Llegó Antonio Zancajo, se puso a tocar, haciendo una cosa muy virguera, y Berlanga le dijo: No es así. Zancajo le contestó: Estaba afinando. Después de eso, Berlanga se sintió tan humillado que quiso echarle del grupo. Carlos Berlanga quería que los músicos fueran esclavos a su servicio, pero tenían que tocar peor que él. Pero él sabía tocar muy poco, con lo cual hubiera sido un caos”.

Como sé que al Zurdo le gusta la polémica, le pregunto qué piensa del fenómeno comercial (que no musical) de OT. “No pienso. Pero no creo sea peor que la literatura teledirigida por el grupo PRISA (tan bien denunciada por Gª Viñó en su libro El País: La cultura como negocio) o que Pérez Reverte sea académico. Al menos, todo el asunto de OT resulta menos obsceno desde el punto de vista ético, aunque musicalmente, desde luego, apeste (no creo que más que fenómenos anteriores como la canción del verano o que la pseudocanción con mensaje de sujetos como Sabina)”. El Zurdo no ha aprendido mucha diplomacia desde sus tiempos de Kaka de Luxe. A propósito de Para ti (“es el tema que me da de comer”) la emprende con Almudena Grandes. “Su momento más sórdido tal vez sea que Almudena Grandes, sin sentir seguramente el menor aprecio por quien la escribió, usase una metáfora del Para ti para titular una novela suya”. Ya que estamos con los temas polémicos, le pregunto por unas declaraciones que hizo sobre Mecano en El Mundo, donde dijo que el nacimiento de Mecano era “el símbolo apocalíptico de que todo se iba a la mierda y de que llegaba la mentalidad industrial". Sin embargo él mismo versioneó Solo soy una persona de José María Cano. El Zurdo, citando uno de sus textos, me habla de “la pretenciosidad filistea” de José María Cano tras romperse el grupo “más cercana al pompierismo de un Cecil B. De Mille recreando Bayreuth con walkyrias de gran tonelaje que a la sensibilidad de un Visconti dirigiendo a la Callas” con lo cual concluye que Sólo soy una persona “fue más el sonido casual de la flauta que nos cuenta la fábula, y no el comienzo de un lenguaje propio lleno de momentos y recodos mágicos” A mí, personalmente, no es Sólo soy una persona la canción que más me gusta de Mecano, pero el inconformismo de Fernando Márquez me parece saludable, en un mundo tan aburguesado. En la radio, El Zurdo se quejaba de que ha tenido muchos problemas por tener una actitud de Quijote, y recordaba la crítica que le dedicó Patricia Godes en la Historia del rock de El País. “Era como una esquela que hablaba de mí en pasado, como un cantante que estaba ya muerto y enterrado”. Luego añade: “Fue la primera que habló de mí como un Quijote, y creo que dio en el clavo”. Le pregunto por Alaska y sus grupos: Pegamoides, Dinarama y Fangoria. “Me gustan mucho los Pegamoides (creo que son el grupo más redondo y perfecto que dio la Movida). De Dinarama me gusta sobre todo el primer LP. Y de Fangoria me aburre todo, desde sus canciones hasta su look (que no sólo me aburre sino que me quita las ganas de vivir y me dificulta la digestión)”.

Le hablo de La Mode, de su disco El eterno femenino (considerado por Efe eme entre los 100 mejores de la historia del pop español) El disco en cuestión está muy recargado de teclados tecno, (cosa que, en mi opinión, forma parte de su encanto). “Creo que lo que falla precisamente son los teclados (salvo en algunos temas ––El único juego de la ciudad, Aquella chica, Las chicas de la Inter o El eterno femenino donde sí se mantiene una cierta brillantez inasequible al paso del tiempo). Un Charlie Mysterio les habría sacado muchísimo más partido manteniendo la sensación de modernez, como puede comprobarse escuchando el reciente Con paciencia”.

Del disco 1984, la canción En cualquier fiesta me parece de una gran sensibilidad, con algo de masoquismo, porque fabula la decadencia. “Es un tema recurrente. La misma cara b del single, Panorama iba sobre lo mismo. También las canciones inspiradas en Alaska, Carolina y Aquella chica”. Me acuerdo de la canción Erección (“Siente como se levanta un imperio / mira como se levanta hasta el cielo…”), con su dialéctica casi sadomasoquista. “La idea me la dio un fragmento del film Network en el que Faye Dunaway (que encarna a una agresiva ejecutiva de tv), yaciendo con un decrépito William Holden (ex/compañero recién dimitido por representar los valores de la tv primigenia, más ética y tal), llega al orgasmo mientras calcula índices de audiencia de su nuevo programa”.

Recientemente se ha reeditado (con tres canciones nuevas) Pop Decó. La exposición internacional de los 80. Pop Decó empezó como un grupo tecno. Pero su concierto de presentación fue un desastre. Como dijo El Zurdo en aquella entrevista en la radio: “Las cintas pregrabadas sonaron mal y quedamos desacompasados. Alguna gente pensaba que era como el Metal Machine Music, una cosa conceptual”. Ahí se acabó Pop Decó Sin embargo, años después, Fernando Márquez resucita Pop Decó. “Había dejado La Mode, porque no podía dar conciertos, y Mario Pacheco me ofreció seguir grabando en Nuevos Medios y pensé en recuperar aquel repertorio de Pop Decó”. El disco Pop Decó. La exposición internacional de los 80 lo produjo y arregló Teo Cardalda. “Pop Decó era tecno, pero el disco lo arregló Teo Cardalda con una instrumentación mucho más convencional. Suena algo a glam-rock y eso me gusta. Me gusta mucho más la música de los 70 que la new wave”. Considera que de todos sus discos es el mejor producido.

Se puede estar en desacuerdo con muchas de sus valoraciones, pero Fernando Márquez siempre causa polémica. Autor de muchas de las canciones más emblemáticas de los 80, sigue representando una actitud musical independiente, en las antípodas de los chicos de Operación Triunfo, que triunfan entre la juventud más conformista.

El teorema de Gödel (2)

2007-04-02T05:43:00.000-07:00

La forma de codificar de Gödel es muy interesante.. Escribir una fórmula lógica es permutar una serie de signos en una serie de espacios, de forma que Gödel atribuye un número a cada signo y un número a cada espacio que ocupa el signo. Para los espacios o lugares que ocupan los signos se utilizan los números primos. 2 para el primer lugar, 3 para el segundo, 5 para el tercero, etc. Para los signos números convencionales. Por ejemplo 59 para “f1”, 3 para”(“, 15 para “x1”, 5 para “)”. Así “f1” se codifica con el número 2^59. Que quiere decir “f1 en el primer lugar”. Tengamos por ejemplo

“f1(x1)”

f1 en el 1º lugar= 2^59
( enel 2º lugar= 3^3
x1 en el 3º lugar=5^15
) en el 4º lugar= 7^5

El número que surge de multiplicar (2^59 · 3^3 · 5^15 · 7^5) es el número de Gödel de la fórmula “f1(x1)”.

Hay otra manera menos complicada de poner los números de Gödel. Por ejemplo, supongamos que “a” se traduce como 123, e “=” como 111. Entonces, “a = a” se traduciría como:

123111123

Como se ve, ésta es una forma de reducir todas las fórmulas lógicas, y con ello todas las verdades de la aritmética a números. Pero las verdades de la aritmética tratan sobre números, y estas mismas verdades están codificadas por números. Supongamos que la fórmula 123 dice que “1=0”. (Obviamente, esto es una falsedad). Tengamos, ahora, la fórmula

“a no es un teorema en el sistema de Gödel”

Cuando en esta fórmula el signo a es sustituido por el número 123, tenemos una afirmación ambigua, ya que dice a la vez:

“123 no es un teorema en el sistema de Gödel” y “1=0 no es un teorema en el sistema de Gödel”.

Ahora se trata de construir una cadena que se refiera a sí misma[1]. Por ejemplo, tengamos la siguiente fórmula, donde S0 significa el sucesor de 0, o sea 1:

a = S0

Esta fórmula lleva el número 262,111,123,666. Bueno, pues sustituyamos a por el número 262,111,123,666.

La fórmula quedará así

SSSSSSSSS……SSSSS0= S0
262,111,123,666 eses

Esto demuestra que se puede introducir el número de Gödel de una fórmula dentro de la propia fórmula.

Esto lleva a Gödel a construir un extraña fórmula. Esa fórmula afirma (aproximadamente) lo siguiente:

“La fórmula que lleva el número 15215 no es demostrable”

Pero esa misma fórmula, en la demostración de Gödel, lleva el número 15215. Naturalmente es indiferente que lleve este número u otro, lo fundamental es que existe una fórmula que dice:

“Esta fórmula es indemostrable en el sistema”.

Veamos. Esta fórmula está diciendo una verdad, porque, efectivamente, la fórmula no es demostrable en el sistema. Pero, por mucho que sea verdad, no se puede demostrar, ya que si se demostrara sería mentira. Supongamos que se demuestra: en ese caso está diciendo mentira, ya que afirma su propia indemostrabilidad. Por tanto, es una afirmación verdadera que no es demostrable en el sistema.

Por artificioso que parezca, éste es el principal argumento que se utiliza para demostrar que la inteligencia no es mecanizable.

En la Biblioteca de Gödel hay cuatro tipos de cadenas de signos:

1) los teoremas (las verdades que vienen generadas por el programa)
2) las verdades
3) las cadenas bien formadas
4) el resto de las cadenas de signos
5) los números que no corresponden a números de Gödel

Los teoremas, la clase más restringida, son aquellas verdades que han sido demostradas en el sistema. Como hemos visto, hay proposiciones que son verdaderas pero que no son demostrables en el sistema. El conjunto de las verdades es más amplio que el de las verdades demostrables en el sistema, precisamente por el hecho de que hay verdades que no son demostrables como las paradojas del tipo de la de Gödel. Más amplio aún es el conjunto de las cadenas bien formadas. Pues puede haber una cadena lógica bien formada pero que exprese un significado no verdadero como “A y no A” o “3 + 2= 4”. De hecho, por ejemplo, la expresión “p & ¬p”, que significa, precisamente, “p y no p” es una cadena bien formada de la lógica proposicional, y por ello debe tener un lugar en la biblioteca de Gödel, pero no es un teorema, y ni siquiera una verdad no demostrable. Aún más amplio es el conjunto del resto de las cadenas de signos, es decir, todas aquellas cadenas que están mal construidas, tales como “(((((((((((((“, por ejemplo.

Resumiendo, tendríamos cadenas que expresan un teorema demostrable, lo que podríamos ejemplificar con una oración del tipo “2 + 2 = 4”, tendríamos verdades no demostrables como “Esta afirmación no es demostrable en el sistema”. Tendríamos cadenas bien formadas pero que no son verdades y, por último, cadenas que no están bien formadas. Esta última distinción podríamos ejemplificarla, en el lenguaje natural, con la diferencia entre las frases “Llueve y no llueve” y “lluevxsdfghhjklñ”. La primera es falsa, pero la segunda, simplemente, está mal formada. Tenemos, pues, el conjunto de todas las cadenas, y dentro de él un conjunto más restringido, el de las cadenas bien formadas. Dentro del conjunto de las cadenas bien formadas tenemos el conjunto más restringido de las verdades, y dentro de éste el conjunto aún más restringido de las verdades demostrables en el sistema.

Por último hay números que no son números de Gödel.

La biblioteca de Gödel puede tener un programa para discriminar cuáles son las cadenas bien formadas. Obviamente, tiene un programa para discriminar cuáles son los teoremas, porque un sistema formal que produce teoremas es lo mismo que un programa informático. Pero lo que no tiene es un programa para generar las y sólo las que son verdaderas. El conjunto de las fórmulas bien formadas es recursivamente enumerable, y también lo es el conjunto de los teoremas. Pero el conjunto de las verdades no es recursivamente enumerable.

El teorema de Gödel sufre una autorreflexión del tipo del mapa de Iglaterra que estaba sobre el suelo de Iglaterra, ya que para codificar las verdades acerca de los números naturales utiliza los números naturales. Pero esto genera una autorreflexión que acaba por producir verdades que son indemostrables en el sistema. Es como esa porción del mapa que es irreproducible en el mapa (porque contiene el propio mapa).

[1]Sigo el ejemplo y la demostión de Douglas Hofstadter en "Gödel, Escher, Bach"

Encuestas

2007-03-05T01:27:00.000-08:00

Recientemente, se hizo una encuesta en un foro de internet donde salía un 20% de votantes a IU. Teniendo en cuenta que este partido tiene aproximadamente un 5% de los votos, algo estaba mal en la encuesta.

Para que un sondeo tenga valor, debe realizarse aleatoriamente. Los componentes de aquel foro no eran una muestra insesgada de la población. Por ejemplo, gran parte de la población no participa en los foros (personas mayores, no poseedores de ordenador, quizá personas de bajo nivel cultural). Hay otros aspectos, como la ideología de los moderadores del foro (o del medio de comunicación) donde se hace la encuesta, que también pueden influir.

Por ejemplo, hay sondeos en medios afines a la derecha donde el 98% de la gente coincide con las ideas del PP. Esos sondeos están claramente sesgados. Esos sondeos no valen de nada.En algunos casos, en esos programas, hay un sociólogo, que sabe esto, y se calla, prestándose a una payasada.

Hace 70 años hubo una encuesta en EEUU a 2.000.000 de habitantes en que Franklin Delano Roosevelt salía perdedor. Naturalmente Roosevelt ganó. El elemento que hizo que la encuesta fuera sesgada fue que se hizo por telefono, y no todo el mundo tenía telefono.No importa cómo de grande sea una muestra. Si es sesgada no sirve para nada.

De hecho, una muestra puede ser sesgada aunque sea una muestra infinita. Por ejemplo, si yo escojo como muestra todos los números racionales entre 0 y 1, tengo una muestra infinita. Y en esa muestra no existe un sólo número irracional. Sin embargo ¡existen números irracionales entre 0 y 1!

Esto prueba que no sirve de nada que la muestra tenga un tamaño tan grande como se quiera. Si la muestra está sesgada, los resultados no sirven de nada.

El teorema de Gödel (I)

2007-03-02T23:07:00.000-08:00

Hofstadter compara el teorema de Gödel a una curiosa idea. Supone un gramófono de alta fidelidad que pueda producir todos los sonidos posibles. El gramófono se llama X y hay un disco que se llama “No puedo ser escuchado por el gramófono X”. Resulta que si se pone ese disco en el gramófono, éste produce unos sonidos que destruyen el propio gramófono. Es posible usar un gramófono de baja fidelidad, que no producirá esos sonidos y no se autodestruirá. Pero entonces ya no será un gramófono que produzca todos los sonidos posibles.

El sistema de Gödel es una parte de la teoría de la computación. Uno de los conceptos fundamentales para entender el tema de la teoría de la computación es lo que los matemáticos llaman conjunto recursivamente enumerable.

¿Qué es un conjunto recursivamente enumerable? Un conjunto A es recursivamente enumerable si la función f(x) :

f(x) = 1 ( si x pertenece a A)
f(x) = indefinido (si x no pertenece a A)

es computable

Que un conjunto sea recursivamente enumerable es equivalente a que el conjunto sea generable por computador. Un conjunto es recursivo, si tanto él como su complemento son recursivamente enumerables.

En muchos casos el concepto de recursivamente enumerable se usa solo para subconjuntos de N (el conjunto de los números naturales). Por ejemplo, los primos son un conjunto recursivo en N. Consideremos otro conjunto, como los números que forman la sucesión de Fibonacci.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Los números de Fibonacci consisten en una serie en la que todo número excepto los dos primeros es la suma de los dos precedentes.

1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5= 8

Yo mismo he ideado un programa en Q-Basic que genera la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci es un típico ejemplo de programa sencillo y también un ejemplo de conjunto recursivamente enumerable. De hecho, un conjunto es recursivamente enumerable si puede ser generado por algún programa. En su libro, Hofstadter produce la serie de Fibonacci por lo que él llama una red de transición recursiva. De hecho, la serie de Fibonacci es un programa muy sencillo, que es usado en los lenguajes de programación para aprendices. Consideremos otro programa de Q-Basic . Un programa que produzca la serie de los números primos hasta un número dado, que el usuario debe introducir en el ordenador. Por ejemplo, el conjunto de los números primos es recursivamente enumerable. Pero ¿el conjunto de los números no primos es recursivamente enumerable? Sí, basta con generar un programa que nos dé todo número m, tal que exista un número n (mayor que 1 y menor que m) para el que se cumpla que el resto de m dividido entre n da 0. Cuando sucede a un conjunto que tanto sus elementos como los elementos que no pertenecen a ese conjunto (los primos como los no primos) son generados mediante sus respectivos programas de ordenador, se dice que ese conjunto es recursivo. Se dice también que tanto el conjunto (los primos) como su complementario (los no primos) son recursivamente enumerables. Es decir, que si el conjunto P es recursivamente enumerable y el conjunto complementario de P es, también, recursivamente enumerable, P es recursivo.

Se plantea la interrogante de si todos los conjuntos recursivamente enumerables son, a su vez recursivos. Lo cierto es que no. Existen conjuntos cuyos elementos son generables mediante un programa, pero no tenemos un programa para generar todos y cada uno de los elementos que no pertenecen al conjunto.

Hofstadter supone que tenemos un conjunto I (por ejemplo los primos) y un conjunto O (Por ejemplo, los números compuestos). Juntos I y O abarcan todos los números naturales. El problema es que hay conjuntos en que podemos generar todos los números del conjunto I, pero no hay programa para generar todos los números del conjunto O.

“Es importante fijarse en que, si los miembros del conjunto I fueran generados siempre en orden creciente, podríamos en todo momento caracterizar a O. El problema es que muchos conjuntos r.e. [recursivamente enumerables] son generados a través de métodos
que diseminan los elementos en un orden arbitrario, así que nunca se sabe si un número omitido largo tiempo obtendrá, esperando un poco más, su inclusión”

Si alguien, al tropezar con estas reflexiones, se asombra de que sea posible que tengamos programa para generar un conjunto pero no para generar su complementario, no debe preocuparse, ya que el mismo Hoftadster confiesa su asombro al ver que no todos los complementos de conjuntos recursivamente enumerables eran recursivamente enumerables. Lo compara a una figura, tal que su borde se pudiera discernir, pero no pudiera verse el borde del fondo que hay entorno a la figura.

“Resultó que yo estaba acertado acerca de los primos, pero equivocado en general, lo cual me asombró, y continúa asombrándome todavía hoy”

Por ejemplo, para todo programa, el conjunto de los inputs para los cuales el programa se para es recursivamente enumerable. Pero no es necesariamente recursivo. Por ejemplo, hay muchos programas, que para determinados inputs, se pierden en un bucle infinito.

Gödel supuso que el conjunto de las verdades matemáticas era recursivamente enumerable. y se dispuso a fabricar un sistema lógico (el equivalente de un programa informático) para generar todas las verdades y sólo las verdades de la matemática. Este programa, además, decidiría, dada una proposición matemática, si ésta era verdaera o no.

La idea de Gödel puede parecer, en principio, muy alejada de la de la Biblioteca de Babel, pero, como veremos, tiene algunas semejanzas. (en realidad algo análogo a lo que lo que Gödel se planteaba parece incompatible con la idea que tenemos de la Biblioteca de Babel: se trataría de buscar un procedimiento para discriminar todos los volúmenes de la Biblioteca que dicen verdad). La Biblioteca de Babel no existía en la realidad, pero era un objeto que podíamos imaginar. Del mismo modo, la Biblioteca de Gödel, es decir aquella Biblioteca que contiene todas las verdades de la aritmética es un objeto concebible, ya que Gödel dio las reglas de su codificación. De hecho, para ser más exactos habría que decir que el procedimiento para discriminar cuáles son las verdades en el mundo de la Biblioteca de Gödel es la demostración lógica, que viene a ser una forma restringida y más técnica de la demostración filosófica. La forma de codificar la Biblioteca de Gödel puede parecer alambicada. En primer lugar hay que reducir todas las verdades de la aritmética (en principio, restrinjámoslas a las afirmaciones acerca de números naturales) a fórmulas lógicas. Esto es esencial, ya que si queremos que las verdades de la aritmética sean demostradas hay que reducirlas inevitablemente a fórmulas lógicas. En segundo lugar, Gödel inventa un código por el cual reduce las fórmulas lógicas a números naturales. Tenemos pues tres niveles:

1) En primer lugar todas las verdades aritméticas sobre los números naturales
2) En segundo lugar las fórmulas lógicas que expresan cada una de esas verdades
3) En tercer lugar los números naturales que codifican esas fórmulas lógicas

Aquí encontramos una suerte de autorreflexión, ya que los números naturales sirven para codificar verdades sobre los números naturales. Como veremos, esto dará lugar a una paradoja que será el resultado fundamental de Gödel.

Las paradojas de la lógica y los ordenadores

2007-03-01T10:55:00.000-08:00

Uno de los problemas fundamentales de las matemáticas son las paradojas. Un ejemplo visual de lo que es una paradoja es la llamada paradoja del mapa, citada por Borges en su ensayo “Magias parciales del Quijote”

“Las invenciones de la filosofía no son menos fantásticas que las del arte: Josiah Royce, en el primer volumen de la obra The world and the individual (1899), ha formulado la siguiente: ‘Imaginemos que una porción del suelo de Inglaterra ha sido nivelada perfectamente y que en ella traza un cartógrafo un mapa de Inglaterra. La obra es perfecta; no hay detalle del suelo de Inglaterra, por diminuto que sea, que no esté registrado en el mapa; todo tiene ahí su correspondencia. Este mapa, en tal caso, debe contener un mapa del mapa, que debe contener un mapa del mapa del mapa, y así hasta lo infinito’...”

Un ejemplo literario de paradoja autorreflexiva aparece en la novela Cien años de soledad. Al final de Cien años de soledad de García Márquez, un personaje descifra unas escrituras cuyo contenido es precisamente Cien años de soledad. ¿Cómo la novela Cien años de soledad puede ser un libro que está dentro de la propia novela? Igualmente, el Quijote aparece dentro del Quijote como una novela.

Estas paradojas son formas gráficas de visualizar lo que son las verdaderas paradojas de la matemática.

La mayoría de las paradojas están relacionadas con el tema de la autorreflexión. Se trata de oraciones que, de algún modo, se refieren a sí mismas (del mismo modo que el mapa de Inglaterra contenía un mapa de sí mismo). Una paradoja célebre surge de la siguiente frase:

El número más pequeño que no se puede expresar con menos de 25 símbolos

Pero esta frase define a ese número con menos de 25 símbolos (si una palabra es igual a un símbolo), por lo que se produce, una situación paradójica. Algo parecido sucede con la siguiente frase:

Los números a los que no se hace referencia en esta frase

Efectivamente, si la frase no hace referencia a un número, entonces hace referencia a él. Y si hace referencia a él, entonces no hace referencia a él. Hay otra frase muy curiosa, la siguiente:

Estha fraze tiene tres errores

¿Dónde está el tercer error? Resulta que el tercer error es que el enunciado de la frase dice que la frase tiene tres errores, cuando solo tiene dos. Pero si esto es verdadero, ¡entonces decir que hay tres errores ya no es un error! Por tanto habría dos errores. Un momento ¡pero entonces hay tres errores! Esto no acaba nunca.

Otras paradojas, más al nivel del lenguaje común, pueden ser: Perdonen las disculpas. O la frase ¿Contestará a esta pregunta con un no? (esto me recuerda el chiste del gallego al que le preguntan si es verdad que los gallegos nunca contestan claramente con un sí o un no, y el gallego contesta: “No sé, puede”).

Imaginemos la frase:

Este enunciado no es autorreferente

No existe una forma de que un enunciado explicite el hecho de no ser autorreferente, sin que el enunciado sea autorreferente. De parejo modo, no hay forma de decir que un objeto no existe sin otorgarle una existencia como objeto del lenguaje (pensemos que tenemos símbolos para hablar de cosas que nadie ha visto, como Dios o el conjunto vacío).

El problema de las proposiciones autorreflexivas es que pueden analizarse de dos formas contradictorias. Por ejemplo, véase la proposición “Este enunciado es falso”.

1) Este enunciado Es falso
-----sujeto----------- predicado

Ésta sería una lectura sintáctica (hablando según lo haría un lingüista más que como un lógico). Hasta aquí no hay ningún problema. No es para hacerse ilusiones, ciertamente, ya que esto también es cierto para “Las ideas verdes duermen furiosamente”. Bien, desde el punto de vista sintáctico la frase es correcta. Ahora bien, si hacemos una lectura semántica, nos encontramos con que, la estructura profunda de esta oración sería:

2) “Este enunciado es falso” Es falso
----------sujeto------------------ predicado

Puesto que el enunciado es autorreferente. Si el argumento “Este enunciado es falso” es falso, entonces, por el principio del tercio excluso, no tiene más remedio que ser verdadero. Pero, en cuanto verdadero, no hace otra cosa que afirmar su propia falsedad.

.¿Qué sucede con nuestros amigos los ordenadores? ¿Entienden las paradojas? Pues va a ser que no. Un computador tiene unos transistores, cada uno de los cuales, tiene dos estados, encendido y apagado. No puede ser que un transistor esté, a la vez, encendido y apagado. El computador asigna un valor de verdad a una proposición, 1 ó 0, pero no puede asignarle, a la vez, los dos valores de verdad. Suponiendo que pudiéramos comunicar al computador una paradoja (algo complicado) lo más probable es que éste quedara en un estado en el que se perdería en un bucle infinito.

¿Qué es un bucle infinito? Una analogía se encuentra en el ensayo de Borges “Magias parciales del Quijote”.

“Algo parecido ha obrado el azar en Las Mil y Una Noches. Esta compilación de historias fantásticas duplica y reduplica hasta el vértigo la ramificación de un cuento central en cuentos adventicios, pero no trata de graduar sus realidades, y el efecto (que debió ser muy profundo) es superficial, como una alfombra persa. Es conocida la historia liminar de la serie: el desolado juramento del rey, que cada noche se desposa con una virgen que hace decapitar en el alba, y la resolución de Shahrazad, que lo distrae con fábulas, hasta que encima de los dos han girado mil y una noches y ella le muestra su hijo. La necesidad de copiar mil y un secciones obligó a los copistas de la obra a interpolaciones de todas clases. Ninguna tan perturbadora como la de la noche 602, mágica entre las noches. En esta noche, el rey oye de boca de la reina su propia historia. Oye el principio de la historia, que abarca a todas las demás, y también -de monstruoso modo- a sí misma. ¿Intuye claramente el lector la vasta posibilidad de esa interpolación, el curioso peligro? Que la reina persista y el inmóvil rey oirá para siempre la trunca historia de Las Mil y Una Noches, ahora infinita y circular...”

En un bucle infinito, el ordenador hace lo siguiente: Se encuentra en un proceso que, en un momento dado X, le manda recomenzar el proceso hasta que llega a X donde vuelve a recomenzar el proceso hasta que llega a X...¿tiene esto final? No, naturalmente, salvo que en muchos casos el ordenador nos dice que la memoria ha sido desbordada.

El hecho de que los ordenadores se metan en un bucle infinito cuando aparece una paradoja nos indica que no pueden entenderla. Esto aparece explicitado en famosos descubrimientos matemáticos como el teorema de Gödel o el problema de la parada de las máquinas de Turing.

Isomorfismos o el mapa del imperio

2007-02-28T21:27:00.000-08:00

Uno de los más bellos cuentos de Borges es “Del rigor de la ciencia”, el famoso cuento en que aparece el mapa del Imperio que es del tamaño del Imperio

“...En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas".

El cuento de Borges tiene paralelos en las matemáticas. Por ejemplo, en el isomorfismo entre dos estructuras.

Cuando descubrimos un isomorfismo entre dos estructuras, lo que sucede es que el estudio de una puede reducirse al de la otra. Hemos descubierto una analogía entre dos estructuras, que dos estructuras son la misma en algún aspecto.

En cierto modo es como si una de las estructuras fuera un mapa de la otra estructura, de forma que todas las ciudades y todas las carreteras entre las ciudades de la estructura A tienen equivalente en la estructura B.

Las estructuras isomórficas son matemáticamente equivalentes, cualquiera que sea la naturaleza de sus elementos. Del conjunto de ellas puede tomarse una cualquiera como modelo.
Los resultados que sobre esta estructura modelo se consignan, son directamente aplicables a cualquier otra estructura isomorfa a ella, sin más que "traducir" la naturaleza de sus elementos y relaciones.

Cuando estudiaba Filosofía, teníamos una asignatura llamada Filosofía y Matemáticas. Yo no me enteraba de nada en esa asignatura, hasta que vimos el concepto de isomorfismo y el de álgebra booleana. La profesora dijo que había una cosa que habíamos estudiado ya que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo me di cuenta de que era la lógica proposicional.

A partir de ahí sentí que ya no estaba tan perdido en la asignatura, y además, incluso me empezó a entrar una afición por las matemáticas, cosa que no había tenido nunca.

En cierto modo el pensamiento matemático surge de esa manera, cuando descubrimos analogías entre las cosas nuevas que todavía no conocemos, y las cosas que conocemos bien.

En un lenguaje coloquial, también utilizamos la analogía, que es una especie de isomorfismo. Por ejemplo, llamamos a una constelación el Can, o la Osa Mayor, porque recuerdan a un perro o a una osa. Son a los cielos, lo que los animales a la vida terrestre. “Valdano es el Cicerón del fútbol”. Es decir, Valdano ocupa en el fútbol la misma posición que Cicerón en la filosofía.

En las matemáticas se dan los únicos ejemplos verdaderos de isomorfismo. Así por ejemplo, la lógica proposicional es isomorfa a un álgebra booleana y, al mismo tiempo, el álgebra booleana lo es a un álgebra de conjuntos.

El álgebra booleana es un álgebra especial que opera con sólo dos números, 1 y 0. Sus leyes son diferentes a las del álgebra habitual

La teoría de conjuntos tiene su jerga particular. Por ejemplo, habla de intersección y unión. Por ejemplo, la intersección del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los españoles que son negros. La unión del conjunto de los negros y el conjunto de los españoles son todos los que o bien son españoles o bien son negros (o bien ambas cosas).

El conjunto universal son todos los elementos del universo: en este caso sería todos los hombres y las mujeres, toda la humanidad. El complementario de un conjunto son los elementos que no pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo el complementario del conjunto de los españoles son todos los hombres y mujeres que no son españoles. Por último, el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento.

En la proyección del álgebra booleana sobre el álgebra de conjuntos decimos que el 1 es el conjunto universal; y el 0, el conjunto vacío. Se pueden, pues, trasladar conceptos de las leyes del álgebra booleana al álgebra de conjuntos. Así, “a·1= a” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto universal es el conjunto a. “a·0= 0” significa que la intersección entre el conjunto a y el conjunto vacío es el conjunto vacío. “a+1=1” (ley que no es válida en el álgebra habitual, pero sí en el álgebra booleana, donde no existe un número mayor que 1) quiere decir que la unión del conjunto a y el conjunto universal es el conjunto universal. “a+0=a” quiere decir que la unión de a y el conjunto vacío es a.

(Recuerdo que estuve matriculado una asignatura que trataba sobre isomorfismos, llamada Teoría de Modelos. De forma asombrosa para tratarse de una difícil asignatura de lógica, se había apuntado un montón e gente. La gente que cogía esa asignatura no era de Filosofía. Era gente de otras carreras que cogía la asignatura como de libre elección. Al parecer, había algunos niños y niñas de Pedagogía que creían que esa asignatura enseñaba a ser modelo de pasarela. Que era como una escuela de modelaje).

La idea de isomorfismo se puede trasladar a las ciencias naturales. Así pues, si la ciencia hace predicciones sobre la realidad, es porque debe haber un isomorfismo entre la teoría científica y la realidad.

La apoteosis de la descripción científica sería una copia a escala 1:1 del objeto que se quiere describir, tal como lo ejemplifica Borges. El mejor mapa del imperio sería un mapa del mismo tamaño que el imperio. El mejor modelo del universo sería otro universo exactamente igual que el actual. (Ya Platón decía que la mejor descripción de Cratilo, sería otro Cratilo).

Naturalmente, lo que Borges evidencia es que esto son absurdos. Lo que la ciencia busca, en realidad, son unas ecuaciones que describan con fidelidad una serie limitada de fenómenos no la totalidad de las cosas.

Ian Stewart (¿Juega Dios a los dados?. Barcelona, Crítica, 2001) imagina un computador que calculara todas las variables del universo en un instante, para predecir cual sería el universo en el siguiente instante. Uno de los problemas que se plantea es dónde escribiría el computador los datos, ya que tiene que manejar como mínimo seis variables, la posición y la velocidad, para cada partícula del universo.

Además, el computador debería estar fuera del universo, porque si no, el hecho de hacer el cálculo afectaría al estado del universo, por lo que la computadora se metería en un bucle infinito, pues debería calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular el resultado después de calcular, así ad infinitum.

Una paradoja semejante la propone Hofstadter (The Mind’s I). Supongamos que Aquiles quiere saberlo todo sobre el estado de su cerebro. Lee un libro donde aparece pormenorizadamente el estado neuronal de Aquiles, neurona por neurona y sinapsis por sinapsis. Entonces conoce el estado del cerebro de Aquiles antes de leer el libro. Porque, por el hecho de leerlo, su estado cerebral ha variado.

Naturalmente, lo que se saca como conclusión es que la ciencia hace una simplificación del mundo, un modelo a escala reducida. De ahí las imperfecciones de la ciencia. Pero, también, gracias a ello es que la ciencia resulta manejable.

Geometría e inducción

2007-02-21T15:39:00.000-08:00

Creo que algunas leyes abstractas se pueden explicar de maneras intuitivas, geométricas. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la multiplicación.El resultado 5·3=3·5 se puede ver con el siguiente dibujo:

o o o o o
o o o o o
o o o o o

La propiedad conmutativa consiste en que, al girar este objeto 90º, sigue habiendo igual número de o´s. (Esto se puede mostrar también, por ejemplo, con latas de coca cola).La propiedad de que 1 +3 +5 + 2n-1= n^2 se puede mostrar con la siguiente sucesión de figuras (que se pueden figurar, con latas de coca cola, de manera que formen verdaderos cuadrados):

o

o o
o o

o o o
o o o
o o o

o o o o
o o o o
o o o o
o o o o

Naturalmente que (para probar este resultado) se necesita inducción. Pero eso puede llegar mucho más adelante. Lo esencial es despertar la curiosidad sobre las matemáticas. Las demostraciones pueden llegar en una etapa posterior.

La demostración por inducción funciona de la siguiente mamera

Hay que demostrar que si

1 + 3 +5…+(2n-1) = n^2

entonces

1 + 3 +5…+ n+ (2n+1) = (n+1)^2

Pero, sumando (2n+1) en el primer y segundo miembro de la primera igualdad tenemos que:

1 + 3 +5…+ (2n-1) + (2n+1) = n^2 + (2n +1)

Pero, efectivamente, (n+1)^2 = n ^2 + 2n +1 Por tanto, hemos demostrado que ambas sucesiones son equivalentes para cualquier número natural.

El infinito de Cantor

2007-02-17T14:00:00.000-08:00

La teoría de Cantor se basa en la idea de que un conjunto es infinito si puede ponerse en aplicación biyectiva con un subconjunto de sí mismo.

La aplicación biyectiva consiste en hacer corresponder a cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo.

Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 4
Al 3 corresponde el 6
Al 4 corresponde el 8

Esto es una aplicación biyectiva entre los números naturales y los pares

Hay una paradoja acerca de esto. Imagínense un hotel de infinitas habitaciones, en el que todas las habitaciones están ocupadas. Llega alguien al hotel, y no hay habitación para él. El dueño del hotel cambia al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 3, al de de la habitación 3 a la habitación 4. Pregunta: ¿en qué habitación se metería al nuevo huésped? El dueño podría meter en el hotel, incluso, al doble de huéspedes. Cambiaría al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, al de de la habitación 2 a la habitación 4, al de de la habitación 3 a la habitación 6…..y así tendría desalojadas la mitad de las habitaciones del hotel, con el objeto de incluir nuevos huéspedes.

Tengamos los números reales entre 0 y 1 ordenados en una tabla, de tal manera que se pueda trazar una aplicación biyectiva entre los naturales y los reales entre 0 y 1.

0,143201
0,121234
0,132114
0,123345
0,124654
0,134766

Imaginemos que esta lista sigue hasta el infinito…Será entonces posible construir un nuevo número real comprendido en el intervalo entre 0 y 1 por el procedimiento de colocar en el lugar de la primera cifra decimal del primer número 1+1 en el lugar de la segunda del segundo número 2+1, en el lugar de la tercera cifra del tercer número 2+1, y así sucesivamente. Pero este número real no sería ya idéntico a ninguno de los incluidos en la tabla, ya que es distinto de cada uno de ellos, por lo menos en una cifra decimal. Veámoslo con números

El número 0,233467... no puede estar en ningún lugar de la lista, porque difiere del primer número en la primera cifra, del segundo en la segunda, del tercero en la tercera, etc. Pero, supongamos que en la lista hemos puesto todos los números reales entre 0 y 1 ¡nuestro nuevo número no estará en la lista! Esto significa que el intervalo de los números reales comprendido entre 0 y 1 es no numerable (es un infinito mayor que el de los números naturales).

Si se tratara de establecer una aplicación biyectiva entre los números naturales y los reales, se agotaría la serie de los números naturales (suponiendo que esto fuera posible, pero no lo es) antes de que se pudiera recorrer en su totalidad el subconjunto de R que comprende tan sólo a los números reales comprendidos entre 0 y 1. Podría suponerse que esto es debido a que, dados dos números reales, por próximos que estén, siempre existe otro entre ellos. Pero esto no es así. El conjunto de los números racionales es un conjunto denso (entre dos números racionales, por muy cerca que estén, siempre se puede encontrar otro). Pero, sin embargo, existe una forma de ordenar el conjunto Q de los racionales de tal manera que pueda establecerse una aplicación biyectiva entre el conjunto de los racionales y el conjunto de los naturales.

1/1
2/1
1/2
1/3
2/2
3/1
4/1
3/2
2/3
1/4
1/5
……..

Esto no sucede con respecto al conjunto de los reales. Como dice Carl Boyer:

“Tanto Galileo como Leibniz habían pensado que la ‘continuidad’ de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, es decir, del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera hay siempre otro. Sin embargo, los números racionales gozan de esta propiedad a pesar de que no forman obviamente un continuo”

No hay que confundir la densidad con la no numerabilidad. Podría pensarse que los números reales no sean muchos más que los racionales, ya que éstos también tienen una expresión decimal infinita. Pero hay que tener en cuenta que los racionales suelen tener expresiones decimales periódicas, es decir más ordenadas que los irracionales (que son la mayoría de los reales, los reales que no son racionales). Así, por ejemplo, la expresión decimal de 1/ 3 es 0,33333... Hay muchas más formas desordenadas que ordenadas (como en el cuento de Borges “La Biblioteca de Babel”, donde aparecen todos los libros posibles mediante variaciones de todas las letras del alfabeto y los libros inteligibles son una minoría) y por eso debe haber más irracionales que racionales. Además, hay que tener en cuenta que un conjunto es enumerable si puede ordenarse uno a uno con el de los números naturales, y esto, que sucede a los racionales (como hemos visto), la prueba de Cantor demuestra que no puede suceder a los reales.

En algún caso se ha sugerido aplicar el método diagonal a los racionales. Tengamos una lista de todos los racionales:

0,12345…
0,23450…
0,01234…
0,54321…
0,23451…

Aquí, nada garantiza que el número diagonal 0,24332 sea racional. Podría ser perfectamente un irracional. Véase el siguiente ejemplo

0,66666
0,33333
0,50000
0,25000
0,77777

Los números de la lista son todos periódicos, y en cambio en la diagonal no es posible discernir ningún tipo de periodicidad.

Claro que si vamos sacando nuevos dígitos podría encontrarse la periodicidad del número diagonal (pero es mucho más probable no encontrarla).

El procedimiento diagonal se puede aplicar a los irracionales, pero no a los racionales. Sucede algo parecido con la demostración de que no existe una enumeración efectiva de las funciones recursivas totales de una variable (que utiliza un método diagonal). Como se sabe, esa prueba no se puede aplicar a las recursivas parciales. Porque para las funciones recursivas parciales no podemos garantizar que la máquina de Turing dé un resultado.

Sobre "La Biblioteca de Babel"

2007-02-16T08:37:00.000-08:00

“La Biblioteca de Babel” es uno de los cuentos más famosos de Borges. Se trata de una biblioteca que contiene el conjunto de todos los libros posibles. Tal como lo expresa el propio Borges:

“Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verídica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones de cada libro en todos los libros”.

Un buen día, se encuentra un libro que tiene dos páginas enteras inteligibles: Su contenido eran “nociones de análisis combinatorio, ilustradas por ejemplos de variaciones con repetición ilimitada”. Precisamente la Biblioteca es un ejemplo de variaciones “con repetición ilimitada” o, simplemente, de variaciones con repetición.

Supongamos que la Biblioteca consta de libros de 500 páginas, cada uno con 2000 letras por página. En total cada libro tendría 1.000.000 de letras. Supongamos que hay 100 signos distintos. En total, el número de libros de la Biblioteca sería 100^1.000.000.

Daniel C. Dennett imagina que la Biblioteca podría ser ordenada alfabéticamente, pero la idea de Borges es que los libros de la Biblioteca estarían ordenados al azar. Aun si los libros estuvieran ordenados por orden alfabético, resultaría, por ejemplo, que "Don Quijote" estaría a una distancia astronómica de "La Regenta" (en realidad "Don Quijote" no estaría en la Biblioteca, pero uniendo quizá 4 ó 5 volúmenes se podría obtener todo el libro). Pero supongamos que "Don Quijote" sólo tuviera 1.000.000 de letras. En este caso habría 100.000.000 de mutantes con un error de una sola letra. Pero imagínense cuantos mutantes habría con una media de 2.000 errores, la mayoría de los cuales serían copias relativamente fieles de "Don Quijote". Si naciéramos en la galaxia "Don Quijote" estaríamos toda la vida viendo tan sólo copias de ese libro.

Pero imaginemos, como quiere Borges, que los libros están distribuidos al azar. En ese caso, en la Biblioteca de Babel es mucho más fácil encontrar un libro sin sentido que un libro escrito con correcta sintaxis y semántica en castellano. Ello se debe a que son muchas más las combinaciones de letras sin ningún significado que las que son correcto castellano. Esto es algo semejante a lo que ocurre con los números irracionales. Como se sabe, los números irracionales tienen una expresión decimal caótica, mientras que la expresión decimal de los racionales es periódica. Pero existen muchos más números con una expresión decimal caótica que con expresión decimal periódica. Ésta es una forma intuitiva de visualizar la mayor cardinalidad de los irracionales (es decir, el hecho de que hay más irracionales que racionales)

Racional: 1,4141414141414141414141414141414141…
Irracional: 1,3457892146807213585423468426847871…

¿Juega Dios a los dados?

2007-02-12T12:51:00.000-08:00

Según algunas teorías científicas, el universo, continuamente estaría bifurcándose en mundos paralelos. Esto se debe a la física cuántica. En el mundo cuántico no existen los objetos como tales. Un electrón cuando se observa se comporta como una partícula, y cuando no se observa, como una onda de probabilidad. En el mundo macroscópico no tiene sentido que algo sea a la vez una onda y una partícula. La onda de probabilidad se interpreta como la existencia de varios mundos superpuestos. La física cuántica funciona sólo en el mundo de lo microscópico, no en el mundo macroscópico. Al observar nosotros una partícula (o al percibirla una máquina) la onda de probabilidad colapsa, y se transforma en una partícula discreta. Por eso vemos, por ejemplo, un balón y no una onda de probabilidad.

La teoría de la relatividad general deja de valer cerca de la gran explosión porque no incorpora “el principio de incertidumbre, el elemento aleatorio de la teoría cuántica que Einstein había rechazado desde la idea de que Dios no juega a los dados”. No obstante, señala Hawking, “todas las evidencias indican que Dios es un jugador impenitente. Podemos considerar el universo como un gran casino, en que los dados son lanzados a cada instante y las ruletas giran sin cesar”. Entonces, ¿de dónde procede la apariencia de regularidad de nuestro mundo?: “Podemos pensar que regentar un casino es un negocio muy arriesgado, porque nos exponemos a perder dinero cada vez que se lanzan los dados o la ruleta se pone a girar. Pero en un número grande de apuestas, las ganancias y las pérdidas dan como promedio un resultado que puede ser predicho, aunque no lo pueda ser el resultado de cada apuesta particular [...] Los propietarios de los casinos se aseguran de que la suerte promedie a favor suyo. Por esto son tan ricos. La única posibilidad de ganarles es apostar contra ellos todo el dinero en unos pocos lanzamientos de dados o vueltas de la ruleta”. Esto mismo sucede con el universo. “Cuando éste es grande, como en la actualidad, hay un número muy elevado de lanzamientos de dados, y los resultados se promedian a algo que podemos predecir. Por esto las leyes clásicas de la física funcionan en los sistemas grandes. Pero cuando el universo es muy pequeño, como lo era en los tiempos próximos a la gran explosión, sólo hay un pequeño número de lanzamientos de dados y el principio de incertidumbre resulta muy importante”.Como ejemplo de lo que cuenta Hawking he hecho el experimento de comprobar cuántas tiradas de cada cara del dado salen con mil tiradas y con un millón de tiradas. Las tiradas están generadas por un programa de ordenador que diseñé para generar números aleatorios de 1 a 6.. Es una suerte poder hacerlo por ordenador. ¡Sólo hay que imaginarse lo pesado que sería tirar un millón de veces un dado!

-----1.000 tiradas -------1.000.000 de tiradas

uno ------182------------------------166.773-------
dos ------185------------------------166.665 ------
tres -----146 ------------------------166.471 ------
cuatro ---149 -----------------------166.646------
cinco ----151 ------------------------166.685-----
seis-------187 -----------------------166.760 -----

Como se ve, al aumentar el número de tiradas, la frecuencia con la que sale cada una de las caras tiende a aproximarse. En teoría podría salir un millón de veces el número 6, pero en la práctica hay una posibilidad entre 6^1.000.000 de que esto suceda. En la práctica, la estadística dice que a la larga las seis caras del dado saldrán el mismo número de veces (pero para esto es necesario que el dado no esté trucado).

Hawking dice que lo mismo que en el mundo de la probabilidad cuando hay pocas tiradas, en el mundo de lo muy pequeño que observa la física cuántica, hay fluctuaciones debidas al azar. El indeterminismo del mundo cuántico no se debe a nuestra ignorancia de sus procesos, sino que al parecer en el mundo cuántico no hay partículas que tengan a la vez una posición y una velocidad inherentes, sólo hay ondas de probabilidad. El principio de incertidumbre, la existencia de aleatoriedad e indeterminismo en la física cuántica se identifica en términos de existencia de mundos paralelos en los que la historia se desarrolla de modo diferente a en el nuestro. Stephen Hawking habla de que existe la posibilidad, en un universo paralelo, de que Belice gane todas las medallas posibles en la Olimpíada, aunque esto sea muy improbable. En la distribución estadística de los universos, en la mayoría Belice ganará muy pocas medallas. En un pequeñísimo tanto por ciento puede ganar un número importante de medallas. Puede existir, ciertamente, un universo en que gane todas las medallas. Supuestos millones de millones de universos, alguno habrá en el que Belice consiga todas las medallas

La cuadratura del círculo

2007-02-12T11:54:00.000-08:00

Uno de los problemas que, desde tiempo inmemorial, ha interesado a los filósofos es el del infinito. Borges ha tratado en sus cuentos este tema. “El libro de arena” es uno de los últimos cuentos de Borges. Trata de un libro que tiene un número de páginas infinito. Cuando uno abre una página en que aparece la ilustración de un ancla y cierra el libro, las probabilidades de volver a encontrar la página que vio anteriormente son computables en cero. Los números de páginas en el libro están desordenados. Por ejemplo, una página es la 999 y la siguiente es la 40.000. En este libro es necesario que la numeración sea así. ¿Por qué? Porque es imposible llegar a la primera página. También es imposible llegar a la última. Con los números pasa igual. Los números racionales forman un conjunto denso, lo que quiere decir que entre dos racionales siempre se puede encontrar otro racional. Un ejemplo parecido al del libro en el que no se puede encontrar el final lo tenemos en el conjunto de los racionales menores que 2. ¿Cuál es el mayor número de este conjunto? No es el 2, porque el 2 está fuera del conjunto. ¿Será el 1,99? No, porque el 1,999 es mayor que el 1,99. Y el 1,9999 mayor que 1,999. Y así sucesivamente. Conclusión: no existe un número mayor, un máximo de ese conjunto. (No digan que lo es un número con un número infinito de 9s, porque este número, en realidad, es igual a 2). Igual sucede con el libro. Entre un determinado lugar del libro (cualquiera que éste sea) y el final siempre existen infinitas páginas.

El cuento de Borges nos recuerda una de las ramas más interesantes de la matemática: el cálculo infinitesimal. Los griegos eran reacios a tratar con el infinito. Aristóteles creía que se podía tender al infinito al contar 1, 2, 3…etc. Pero no consideraba que podía existir un infinito actual, es decir un infinito dado todo de una vez. El “libro de arena” de Borges es, en realidad un infinito actual, y, de hecho, esta idea florece en la matemática actual, que considera el infinito como el paraíso de los matemáticos. A pesar de las reticencias griegas al infinito, Eudoxo y Arquímedes desarrollaron una especie de cálculo infinitesimal: el cálculo de exhaución.

Leibniz (uno de los creadores, junto con Newton del cálculo infinitesimal) afirmaba que un círculo era un polígono de infinitos lados. En el límite, una circunferencia de radio infinito nos parecería una recta. Esto puede parecer paradójico. Pero considérese por ejemplo, la Tierra. Cuando estamos sobre la Tierra no nos damos cuenta que es esférica, y sólo cuando nos alejamos (como los astronautas) podemos ver que es esférica. Esto se debe al gran tamaño de la Tierra. Pues, si tuviéramos una circunferencia infinita, no podríamos percibir su curvatura. En estos aspectos del cálculo, se echa mano de Arquímedes, pero “deconstruyendo” un tanto sus ideas. Se utiliza el método de exhaución de Eudoxo y Arquímedes para fundamentar el cálculo diferencial e integral. Como dice Bourbaki: “el nombre de Arquímedes no es casi siempre otra cosa que un reclamo para vender una mercancía, sin duda de gran valor, pero de la que el propio Arquímedes no se hubiera hecho responsable. Y esto sucede mucho más todavía con la diferenciación. Si una curva, cuando se trata de su rectificación, se asimila a un polígono de infinitos lados, aquí un arco ‘infinitamente pequeño’ de curva es asimilado a un segmento ‘infinitamente pequeño’ de recta”.

En el cuento de Borges “Abenjacán el bojarí muerto en su laberinto”, aparece un laberinto circular, pero tan inmenso que su borde parece recto. Borges cita aquí a Nicolás de Cusa. Nicolás de Cusa consideraba que en una circunferencia infinita el arco (curvo) entre dos puntos coincidiría con la cuerda (recta) entre esos dos mismos puntos. Todo esto fue un antecedente del cálculo infinitesimal.

El cálculo infinitesimal consiste en la diferenciación y la integración. La integración proviene de una serie de problemas que ya eran familiares a los antiguos griegos. La cuadratura del círculo es uno de los problemas que fascinaron a los matemáticos de la antigüedad y que les siguieron fascinando a lo largo de 2.000 años. Se trata de hallar, con regla y compás, un cuadrado que tendría la misma superficie que un círculo dado. Este cuadrado estaría entre el cuadrado inscrito y el cuadrado circunscrito. Pero esto es imposible. Este resultado se debe a que Pi, el número que relaciona el radio del círculo con la longitud de la circunferencia es un número trascendente, es decir un irracional que no es el resultado de ninguna raíz. El interés que tiene la cuadratura del círculo es que el intento de cuadrar superficies curvas llevaría al cálculo integral. “Cuadrar” quiere decir reducir el área de una superficie curva a la de un superficie recta (como por ejemplo uno o varios rectángulos). Una vez que se reduce a una figura recta, la superficie del círculo puede reducirse a un cuadrado.

Hemos hablado de cómo los inventores del cálculo infinitesimal (Leibniz entre ellos) concibieron la circunferencia como un polígono de infinitos lados. Esto se refiere precisamente a un intento de cuadrar superficies curvas, esto es, de reducir figuras curvas a figuras rectas, cuyas medidas son más fáciles de calcular. Se trata de inscribir, primero, el cuadrado en el círculo. Más adelante, se inscribe un polígono con el doble de lados que el cuadrado, es decir, con ocho lados, todos iguales. Luego uno de dieciséis lados. Así se va aproximando el área del círculo. El resultado sólo sería exacto si el polígono tuviera infinitos lados. Naturalmente, no se puede obtener la superficie exacta. Sin embargo, se pueden obtener buenas aproximaciones. Este método está basado en el que usaron Eudoxo y Arquímedes. Hoy se conoce como cálculo integral, y es una de las partes fundamentales del análisis matemático. Hemos dicho que la integración surgió como un método de rectificación de curvas. Los griegos, desde Eudoxo, calculaban el área de una figura curva dividiéndola en figuras rectilíneas que tuvieran aproximadamente su misma área. Consideremos el dibujo del área que cae bajo una función dividido en rectángulos, con el objeto de que la suma de estos rectángulos nos dé el área que cae bajo dicha función. De ahí el símbolo de la integral inventado por Leibniz, que semeja una S. Desgraciadamente, para que la suma de los rectángulos diera exactamente el área bajo una curva el número de rectángulos habría de ser infinito. Una buena aproximación se lograría con 100 rectángulos, mejor aún, con 10.000, todavía mejor con 1.000.000 de rectángulos. Sin embargo, pese a aumentar el número de rectángulos, el resultado no se aproxima tan rápido como desearíamos. Ello se debe a que R (el conjunto de los números reales) es un continuo y los datos que maneja el computador son discretos.

El bucle infinito

2007-02-12T11:44:00.000-08:00

Hola amigos. Este blog nace con la intención de dar a conocer algunos artículos divulgativos sobre temas como el cálculo, la física cuántica y otros temas similares.

Admito que no soy ningún genio en esto de las mates, pero tengo una gran curiosidad sobre estas materias. Que nadie espere grandes descubrimientos . Así pues, sin más animo a quien quiera participar a que lo haga remitiendo sus comentarios.