Un día, estudiábamos la aplicación que iba de un vector de tres números a uno de dos: de (a, b, c) a (a, b),. La profesora preguntó si ésta función tenía inversa. Yo al principio dije “Sí”. pero la profesora dijo: “¿Estás seguro?”. Yo lo pensé mejor y dije: “No, no . Porque cada imagen tiene más de una antiimagen (por ejemplo (1,2,1) y (1,2,2) tendrían como antiimagen (1,2).
Esta idea de dar la vuelta ala aplicación la hice, mentalmente, de una manera “espacial”, por decirlo así, ya que no escribí nada, sino que improbisé, cambiando de opinión en apenas unos segundos.
En ocasiones, aciertos de este tipo me han servido para constatar que no estaba perdido en clase (o que, si acaso, otros estaban mucho más perdidos que yo).
Otro acierto que me ayudó a coger confianza fue una vez que la profesora de Filosofía y Matemáticas preguntó qué cosa habíamos estudiado que era isomorfa a un álgebra booleana. Yo respondí que era la lógica proposicional, y resultó que estaba en lo cierto
Expondré otra ocasión en que descubrí un isomorfismo parecido. Esto ocurrió en los entrañables Foros del Rincón Matemático, un sitio de internet donde he encontrado gente con muy altos conocimientos de matemáticas (a los que agradezco que tengan además paciencia con mi ignorancia).En dicho foro , un usuario llamado Lau Luna propuso un rompecabezas:
“Un árbol binario completo parte de un nudo del que salen dos ramas; después cada una de estas se bifurca en un nuevo nudo, y así infinitamente. Del primer nudo parten dos ramas nuevas, de cada uno de los demás parte una sola rama nueva y continúa una rama antigua.
“El problema es que parece haber una demostración de que el conjunto de las ramas es no numerable y una demostración de que es numerable.
“PRIMERO. Cada rama contiene un número infinito de elecciones entre izquierda (I) y derecha (D), de manera que las ramas pueden biyectarse con las secuencias binarias infinitas del tipo (i,d,i,d,d,i,i,i...) Es claro que el conjunto de tales secuencias es no numerable, de hecho es biyectable con P(N), puesto que cada secuencia define un único conjunto de naturales y cada conjunto de naturales está definido por una única secuencia: supongamos que 'I' significa 'no está' y 'D' significa 'sí está'; entonces la secuencia que define al conjunto de los naturales mayores que 3 es (i,i,i,i,d,d,d,d,d...). En consecuencia, el conjunto de las ramas es no numerable.
SEGUNDO. Hay una forma sencilla de numerar las ramas: de izquierda a derecha y de arriba a abajo; para ver esto es útil dibujar una parte inicial del árbol, cosa que yo no puedo hacer aquí. Luego el conjunto de las ramas es numerable”.
Poco después a mí se me ocurrió un rompecabezas parecido. Aunque no terminaba de entender el problema planteado por Lau Luna, de algún modo lo “visualicé”, y propuse lo que me parecía un juego parecido: considerar los números reales entre 0 y 1, puestos en base binaria:
0'000
0,100
0,010
0,110
0,001
0,101
0,011
0,111
.......
¿No se podrían enumerar en este orden todos los números reales entre 0 y 1? Se podría objetar que no podemos llegar a conseguir un número irracional, puesto que tiene una expresión decimal infinita. Pero, según esta objeción, tampoco podríamos encontrar un conjunto infinito numerable simplemente con el método de incrementar en 1 cadanúmero natural a partir de 0.
Un moderador El Manco contestó lo siguiente:
“El ejemplo es excelente porque es exactamente el mismo que el de las ramas de LauLuna expresado de otra forma. Pero NO, en tu lista NO están TODOS los números reales ni mucho menos, sino SOLO los que tienen una expresión decimal finita en binario ("muy pocos")”.
De algún modo vago, mi intuición espacial había captado el juego de Lau Luna, y lo había transformado en un problema numérico. Creo que encontrar este tipo de isomorfismos es una característica fundamental de los descubrimientos matemáticos (si bien mis isomorfismos tienen un nivel de primaria en comparación con los que descubren los matemáticos).
